M (OC
tation diagonale) onaune résistance à la flesion p^^^^i^tangf =
Cxic' b' c
•Tx- -« ou rrjois moindre que si la sollicitation était parallèle à c.
Et, à égale superficie de la section , Ton a seulement la même résis-
tance ta ^ ÎR flexion qu*avec une seotion carrie.
Aussi, comme il est difficile d'empêcher que ractlon ne devienne un peu oblique, quand oe ne serait que par suite d'une légère torsion due à ce que la charge n'agit pas exactement au milieu de la largeur b de la pièce , les constructeurs évitent d*employer des pièces de champ trop minces ou de rendre trop grand le rapport
j de la hauteur à la largeur, afin de prévenir le déversement dénoté
par la formule > et, aussi, une sorte de flexion de la pièce dans le sens de la hauteur de la section.
Si l'angle 9 du plan de sollicitation n'est pas déterminé ou si la pièce peut être sollicitée transversalement sous toutes les inclinaisons, il faut prendre VinclineMOn la plus dangereuse. Ce sera,
iiuant à la rupture par flexioui celle qui a pour Valeur tang ? = i s'
06, et on aura, pour cette sollicitation qui est perpendiculaire à une des diagonales,
riDs petite léiîstancé à la ritptnre
pftr flok», ou Mimoiiim de -- ^^ s •^ R 0
Il est évident, au reste , que la plus grande flexion est donnée par 9 = 0 on f = ^ selon que r< ou > V% on, pour le rectanglei selon que b> ou <c.
SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLlDbS.
(Du n» itO).
S 6. Section parrée. — Les expressions précédentes, en faisant 6 = c 9 donnent
SoUiciUtion dans un I ,6* ca6* w' ao«-»o •
plan parallèle i / Béaist. à U llenon I=iô = -TS- = 7ô = 0,08333 w» l'un des côtés 1 ^-^ " "
M.àlarttpt.par fiex. -, = ^ = ^ = « •"' = ©^^^^w'
Sollicitation oblicioe
p M = £ = îîL = 0,08333<»* (comme poor la soOicilatioo
parallèle, et, cek, quel qœ soit «p ) M 6 i i '
R 6 C0S9 + sin9 6(cos 9 + sin 9)
ca'
Sollicitation diagonale (ou sous l'inoliniison la plus dangereuse)
R 6v'2 Qy/2 '
S 6. Section circulaire pleine, rayon r.
I = 2^ »= ÏÎL* = ^ «• = 0,079677ui«
s 7. Section circukàre ividée (section de tuyau) ; rat/on extérieur r'; intérieur r"
= it(r^ — r"»), o' = r'
l r''' — r"*<ùr'(i ir"*\ 1 V'''/ #
ART. IV. RUPTURE PAR FLEXION. i3S
(DU H* itie;
r* 4- r'* SI l'on fait le rayon moyen — ^ — = r, et Tépaisseur r' — r" — e,
ont
= ,[(, + ey(,|y]=2»re..' = r + |.
I «r^ + ë \/?î: * + àP \ — = = V e . M*.
{Voyez les conséquences , note du n" 110).
% 8. Frise en considération des troncatures qui augmentent la valeur de Vexpression —, ou jrde la résistance spécifique à la rupture. — Diaprés ce qu'on a dit au $ 8 de la note du n* 113 (p. 100) comme Texistence de fibres inutiles ou susceptibles de rompre d'abord seules^ ne diminue en rien la résistance du reste, il convient, à regard des sections pour lesquelles le quotient-; augmente en en retranchant une partie ou en les supposant tronquées, d'attribuer à ce quotient sa plus grande valeur, résultant de la troncature qui le rend un maximum.
En conséquence il faut, si Ton veut avoir des expressions plus
exactes de la résistance spécifique à la rupture -? ou ^ multiplier
celles qui sont données aux % précédents ou suivants par des nombres un peu au-dessus de 1, comme ceux du S 8 cité de la note du n« 113.
Et ces expressions seront, encore , plutôt au-dessous qu'au-dessus de la résistance réelle d'après ce qu'on a dit page 101 et que l'expérience confirme y de la petite part que les fibres comptées comme inutiles ne laissent pas de prendre à cette résistance.
Il* 1
Ainsi , au lieu de -7 = -^jr w« = 0,11785 »o« du S 5 pour le carré
SEGT. I. BÊSI8TANCE DES SOLIDES,
( Do II* f M).
I 1 iiSA JL ^
sollicité dfagooalement on prendrait •p—'Y^ 0,13131»*,
si la matière résiste sensiblement pins anx compressions qu'aux extensions ou réciproquement ;
Et ^ = ^^P^ u)* = 0,1242 to* si elle résiste autant aux unes
n Dy2
qu'aux autres ou s*il y a incertitude.
Au lieu de -,= -r-j- *»• = o,l&10A7ci)* pour le cercle, on prendra
-, = -V-7 — ^' = 0,l&2024ti>* pour une troncature haut et bas. »' 4V"
Et ainsiules autres , même pour le cas de Jlexion oblique en y appliquant les principes du $ 8 de la note du n*" 113 lorsqu'on croira devoir pousser Tapproximation à un pareil degré* ce dont on peut ordinairement se dispenser.
S 9. Cas ou les troncatures auraient effectivement lieu. —Si Ton a retranché leajlbres dites inutiles en fondant les pièces de métal ou en taillant les pièces de bois, il est évident que pour com'parer les résistances des sections à superficie égale ^ il faut mettre à la
places de co la surface de la section tronquée ou débarrassée des parties répondant à ces fibres.
Alors 1*. S'il est question d'un carré sollicité, diagonalement et tronqué seulement à Vangle supé^ rieur ouàFangle inférieur^ comme au premier exempledu $ 8 de lanote du n» 113, p. 95 et 96, on a
et par conséquent
I u>« 2 12^i>2T* + a87»-lBT*-fT*
2* S'il s'agit du même carré , tronqué à la fois et symétrique-
ART. IV. RUPTUBB PAB FtEZIOM. 155
• ( Du n» lt#).
ment à ces deux angles, comme an deuxième exemple, p. 97, on aara
3^ Enfin si ce même carré est tronqnê également aux quatre angles, comme il conviendra si c*est la section d'un arbre tournant
de machine, il faudra retrancher ^ de Texpression de I| (page 97)
relative au cas de deux troncatures et on aura b)> = 5*— 27*6*, et
Où il ne faut pas supposer y plus grand que ^.
Si Ton se sert de ces expressions tK>ur chercher quelle troncature il faut faire dans chacun de ces trois cas pour avoir la plus grande
résistance -; à superficie égale (o on trouve ceci :,
Cas (1*), ou d*une seule troncature. Ce maximum de résistance pour (Il constant est obtenu en faisant y = i c'est-à-dire en supprimant entièrement le demi^arré supérieur ou en réduisant la section à un triangle rectangle isocèle, la base tournée du côté dilaté si c'est par dilatation que la matière risque le plus de céder. Inutile de dire que cette forme de section n'^est pas la plus avantageuse entre toutes celles qu*on peut donner si Ton a le choix d'autres formes.
Ca^(2'),oudedeuxtroncaturesducarré8oUlcitéd!agOttalementOn
a le maximum de ^ pour 10 constant en faisant, y = ; Qt ce maximum
Cas (S*) de quatre troncatures, il faut, pour ie marlmnm, faire Y = ô ce Q^l retient à remplacer le carré sollieité {àtrallèlement h
( Da n* tt#].
ses diagonales par un carré sollicité parallèlement à ses côtés. G^est ce qu*on poavalt prévoir d'après ce qu'on a vu (S 5} de la supériorité de résistance dans cette dernière situation. Mais si la pièce est tournante « comme la supériorité disparaîtrait lorsque la diagonale deviendrait verticale, il conviendra de tronquer en octogone régulier. Et si Ton admet de nouvelles troncatures produisant plus de huit côtés, on est conduit simplement à ce résultat « que la forme circulaire est la meilleure pour le contour de la section d'une pièce tournante fléchie successivement dans tous les plans passant par son axe de figure (Voyez ci-après $ 19;.
S 10. Section elliptique , b e^ c étant le plus petit et le plus grand diamètre. — Le plan de sollicitation étant parallèle à c« on a
ICÔC , c - izb(^ __ wc" 1 c ,
I TC^C* tùC 1 4 /c I
Le plan de sollicitation faisant un angle 7 avec le côté c :
—= — = — j = — ni/ -. -^
% 11. Sections comparées ayant des formes ramenahles les unes aux autres (comme toutes les ellipses, ou tous les rectangles, etc.) en amplifiant ou réduisant dans une même proportion toutes les abscisses ou toutes les ordonnées parallèles à un axe principal d'inertie ainsi qu'au plan de sollicitation.
I = KtûC^ on proportioiinel à l'aire u et au carré de la banteiir e de la sectioo. -^ = IC'fdC on proporU<>DiM>l à l'aire et k la hantenr de la sectioa.
ART. IV. RtPTUBE PAR FLEXION. 137
( Du ■• RM}.
£t non-seulement la charge susceptible d*ètre portée Indéfiniment sans danger, mais môme celle de rupture immédiate , quelle que soit la loi qui lie les extensions ou compressions des fibres aux efforts qu'elles supportent, suit cette dernière proportionnalité (Voyez la note du n« 151).
S 12. Sections rectangles évidées symétriquement. — Elles peuvent Tétre de deux manières, ou en tuyau rectangulaire, ou en double T qrmétrique. Dans Tun comme dans l'autre cas, soient : 6, c la largeur et la hauteur du rectangle extérieur, b\c' celles du rectangle intérieur ou d'évidement qui, dans le second cas, est partagé en deux parties ayant 6' pour somme de leurs largeurs (figure page suivante)
w = eK? — ôV, i?'=j
j 5c» — 6V» w«c Te»
I bc^^b*c^ J^ le à c»
^- ^ -•v*-y/(r::|iy
Si par exemple on a — r— = ==x» ^**T= """*• ces expressions donnent
' = r2'6-T=^'^^*6Î2'-? = TV6-i7^=^'^«V5-6'
le solide résiste 3'«^571 plus à la flexion et 2'<»(«,362 plus à la rupture par flexion qu'un solide à section rectangle, de même super-
ficie CIO, pour laquelle le rapport t serait le même.
SBCT. I. lÊSISTAHCB DES SOUIIIS
(Dan»flt#),
$ 18. Rapport de la hauteur à la largeur d^une section simple^
hx
C cf
ment rectangle qui ojfrirait même résistance que la section en double T symétrique. Utilité de la forme en T pour s'*opposer au déverse^ ment. — Pour qu*uDe pièce ayant une aeotion rectangle pleine de même superficie résiste autant à
la raptore ou ait le même -^ que
la pièce en doable T symétrique, il faut C| et bi étant sa hauteur et sa largeur, qu'on ait cette équation, qui
s^obtient en égalant les expressions de -; du $ 3 et du S l^t
ài
Par exemple si r JL ==!£.=: ±ii faut que ^ soit jj| = 5'«'«,580
plus grand que ?, ou il faut que
^ = 11,16 si l'on a x = 2, ^, b
et = 16,74 si
De pareils rapports entre la hauteur c^ et la largeur b^ seraient trop forts d'après ce que nous avons dit, S A, du danger de diminution considérable de résistance que courent les pièces à section rectangle haute et étroite pour peu qu'elles déversent ou que la charge les sollicite dans un plan légèrement oblique au grand côté, ce qui a pour conséquence, comme on Ta démontré, de les ployer dans un autre plan bien plus oblique.
ART. IT. BUPTVRB PÀB rLBXIOM.
(DO n* flt#).
Il y a donc liea de donner en général* aux poutres on solives inétalUques , des côtes on une forme en double T. Leur résistance
au déversement dépend du rapport y des moments d*inertie princi*
paux de la section, V désignant celui qui est pris aotour de Taxe de symétrie parallèle à la hauteur c. Celui-ci a pour formule (toujours en nous bornant ici au cas où les deux semelles sont égales).
Son rapport à Tantre moment j^ {ix^ — b'c^) est
1' b* n* tn* + n — i . ,.,b — l/ 1 e—& 1
ï=c«;;?mn»-(m-l)(n~l)^""'^"*~r"=m'~T-=n
expression qui se réduirait à -2pourmoun=l,etquieslde la forme
générale K ^, K ayant les valeurs numériques données par le ta^ bleau suivant ;
6« Valeurs du dénominateur K de -^
Pour — = m
i&O SECT. I. RfiSISTANCB DES SOLIDES.
( Du n* ttP).
Or« comme les plus grandes valeurs des coordomiées u, v ($ 2)
b c sont Ici ^, -, si nous les substituons à u', v' dans l'expression
Ml 1 6* r
R ~ f û' • ^^^ *^^°^' ^^ mettant ^ ^ pour -r ,
jCOs?+ -psin?
Mil 1
— •=-;, , ■ , ( K Tariant génénlement de l.U à 3,21).
« ' ««^ l+Kjtang,
Le 1*' facteur de cette expression, -;, représente la résistance
de la pièce non déversée ou sollicitée bien perpendiculairement et au milieu des semelles.
Le 2*, — -, peut être remplacé par 1, Tangle r étant tot^ours
supposé petit.
La 8* montre que si là sollicitation oblique s'opérait suivant la
diagonale du rectangle circonscrit 6xc, ou si Ton avait ^ tang^ =1,
la résistance spécifique — serait réduite aux «-â ^ rô <1^ ^ valeur p relative à une sollicitation normale, tandis qu'elle est le ^ pour
une section pleine (S A) > en sorte que celle-ci résisterait plus au déversement que la section en double T.
Mais il en est autrement si , comme on doit toujours le supposer, l'obliquité de la sollicitation est faible. Si , par exemple, dans l'hypothèse ^^ = ^=^' = ï où l'on a K= 2,612, cette obliquité
est celle de la diagonale du rectangle plein 6|XC|, dont nous avons calculé tout à l'heure les dimensions et qui offrirait la même résistance, à surface égale, que le rectangle évidé b x c—b*xr\
ou si l'on prend tang9= -^ = r-r^r -. Le 3^ facteur sera alors
C| 0,0oU c
•+».•«»?; «*li '•"
M est , comme on voit , supérieur à ^. Cette considération et celle
d*une plus grande stabilité qui laisse moins de champ à la torsion résultant du déversement , assure une supériorité réelle aux pièces à double T symétrique sur les pièces à section rectangulaire mince et de champ d*égale superficie.
On voit toutefois qu'il ne faut pas s'exagérer cette supériorité.
S i&. Ccu de tévidement par plusieurs rectangles. — Si le rectangle 6xc est évidé par plusieurs autres
comme dans la figure cotée ci-contre où les plaques de tôle horizontales et verticale sont assemblées par des cornières, on aura simplement
fc^^6Vf 6V2 6V2 ,c 12 12 12 12 • ^"■2'
S 15. Section en T simple^ et enV, — Navier considère ces deux espèces de rectangle évIdé non symétrique à la Section IV* (ci-après n* A97). Epose Texpression de leur moment de flexion ou dMnertle autour de la ligne encore inconnue des fibres invariables et II dit de mettre» pour la distance do cette ligne à Tune des bases, sa valeur tirée de Téquation d'4hilibre de translation /vdci) = 0 du n* 78 qui exprime qu'elle passe par le centre de gravité.
Dans le cours de FÉcole de Metz M. Michon a simplifié ce calcul en prenant d'abord le moment d'inertie par rapport à la base et en retranchant l'aire multipliée par le carré de sa distance au centre de gravité y distance qui s'obtient simplement, elle-même, en divisant par l'aire le moment statique de la section par rapport à la même base. Soient
Iill2 SECT. I. RÊSlSTiNCB DES SOUDES.
( Du n« t!M).
c la hauteur totale de la section.
h la largeur du corps vertical du T renversé, on la somme des largeurs des deux branches de 1U«
6'' la largeur de Tévidement qui est en deux parties pour le T.
cf* la hauteur de la table ou semelle» ou c— c'' la hauteur de révidement
On aura:
Moment statique par rapporta la base inférieure s ^^ + s ^^'^v
D'où A divisant par Taire w = 6c + 6V;
Moment d*inertie autour de la même base ^Ix^ + ^ h^'cf'^
t)'où, en retranchant eut?'* (théorème général du $ /ii de la note du n' 81, page 48).
La section en simple T est» au rester un cas particulier de la sui* vante.
% 16. Section en double T non symétrique. (Côté inférieur pris pour celui des fibres étendues).
Mous supposerons constamment désormais (comme les auteurs anglais) que le côté supérieur des sections est le côté comprimé, et que le côté inférieur est le côté des fibres étendues, parce que lé cas d*une pièce posée sur deux appuis est bien plus fréquemment it considérer que le i:as d*une pièce encastrée à un bout et sollicitée à Tautre.
Or les formules relatives à la section en double T où à deux semelles peuvent être obtenues facilement et soUs une fbrme simple comme il suit. « Soient :
ABT. lY. BDPTURE PAR FLEXION.
(Da n* tt#).
y~ ft -h ft-=&,
6 la largeur de la semoUe supérieure.
c la hauteur totale de la section,
6' la somme des la^rgeurs et c' la hauteur de Tévidement qui aurait lieu si la section était en simple T ou sMl n'y ayait pas de semelle inférieure.
£n sorte que 6 — 6' est Tépaisseur du corys de la section ou de la barre verticale du T.
c" la hauteur de la semelle inférieure » ¥ la somme des largeurs qu'elle ajoute en deux parties à côté de ce corps vertical.
r' et i/| = c — V* les distances du centre de gravité 0 ou de la ligne des fibres invariables à la base inférieure 6 — 6' + 6^^ et à la base supérieure 6; ou» ce qui revient au même, v, et xi\ les distances respectives des fibres invariables aux fibres les plus dilatées et aux fibres les plus comprimées.
Oa aura
Aire de la section , w ss 6c — 6 V + 6 V
Moment statique de cette aire par rapport à la base inférieure 6-6' -f 6"
Quotient, ou distance, à cette base inférieure, du centre de gravité O
Moment d'inertie de la section autour de cette même base inférieure
iUk 5ECT. I. RtSISTANC£ DES SOLIDES.
( Du n* t!M).
En retranchant wv'* ($ 4 de la note du n* 81) on aura cette expression assez simple du moment dMnerUe autour de la li^e des fibres InyarJables.
i gloc oc+oc) ^ bc—b'& + V'<f
D*où, résistance q)éeifiqae k la rupture du c6té dilaté :
1 a (6c- 6V + l/'c") (6c«-yc^ + l/'<n 1
Quant à o',, distance de la ligne des fibres invariables à la base supérieure ou aux fibres les plus comprimées, Il est égal à
On lui donne, ainsi Qu*à-7« les mêmes formes qu^à v' et -> en faisant
Alors
- = 6.C- 6'.c + 6".c"., ,.. = I y,iy;;;^y\
