SECT. h «tmXAlIGft DB5 SDUIWSt

(Dun-tM).

__ i— mn 6 1' - M

Si nonsprenoDs 1— m=:0,l, l»n = 0,i2, oes formules nous donneront les dimensions suivantes :

B = 87,240, G = 213,846-; épaisseor du coips 8,72& |

Épaisseurs du Mmalles — — ^ =? 12,7705,

OU la section figurée d*autre part en ponctué rond et qui offre, avec la même superficie et la môme résistance à la rupture que la section en lignes pleines, une résistance à la flexion bien supérieure, car son moment dMnertie est

ou plus que triple du moment d'inertie I de la section en lignes pleines.

8*. Si maintenant, en conservant la nouvelle hauteur G a= 212,85 ainsi que la largeur 87,2 des semelles, nous réduisons l'épaisseur de la semelle supérieure aux deux tiers, c'est à-dire à 8,51 en augmentant d'autant l'épaisseur de la semelle inférieure ou en la portant à 17,04 1 conformément aux deux lignes horizontales en ponctué allongé^ les formules du S 16 donnent

La résistance à la rupture est sensiblement augmentée puisqu'on a maintenant 286370 au lieu de 254749, et la résistance à ta flexion , mesurée par la valeur de I, est fort peu diminuée et toujours un peu plus que triple de ce qu'elle était avec la section primitive en lignes pleines.

A* On aurait eu sensiblement le môme résultat en augmentant la largeur de la semelle inférieure ponctuée au lieu é^ augmenter son épaisseur. Et Ton aurait eu un profil plus conforme au conseil généralement donné de rendre le plus égales possibles les épaisseurs des diverses parties des pièces en métal fondu*

Aai. IV. AUPTUB£ PAA FUXlONft 153

(oa n* ttO).

De la discussion contenue dans ce paragraphe et dans le précédent* et à laquelle nous aurions pu donner plus d*étendoe sans eo épuiser Tutilité pratique, nous pouvons tirer ces conclusions :

A égale hauteur et à égale superficie, une pièce en métal ou autre matière pour laquelle la résistance permanente R'» à la compression longitudinale excède très^senslblement la résistance R« à Fextenslon, résiste plus & la rupture éloignée si la semelle inférieure ou étendue de sa section en double T a plus de surface que la semelle supérieure ou comprimée, que si ces deux semelles sont égales, pourvu que Tinégallté ne soit pas telle que le rapport des distances du centre de gravité aux deux bases supérieure et infé-

R' rieure excède-^, ou qu'elle n*aille pas jusqu'à produire du côté

Ko

devenant concave des compressions longitudinales ayant pour con-^ séquence des dilatations transversales plus dangermues que les dilatations longitudinale» du côté devenant convexe; pourvu aussi qu'il n'en résulte pas de déversement ni de flexion latérale de la semelle comprimée.

Ce rapport-limite -=p serait Ix si la matière était d'égale contex-

tore en tous sens; il paraît convenable (Jusqu'à recherchea ultérieures) de le réduire à 3 pour les fontes et à 2 pour les fers.

Mais, même en lui donnant sa plus grande valeur A, le calcul prouve que la résistance à la rupture obtenue avec les semelles inégales n'excède Jamais les 3/2 de celle qu'on a avec des semelles égales pour même surface et même hauteur.

Et la résistance élastique à lajlexion est considérablement diminuée par l'inégalité des semelles qui , ainsi , augmente beaucoup la flèche sous même charge.

En accroissant des 0,A aux 0,7 la hauteur d'une section à semelles égales, on obtient, pour même superficie, l'excédant de ré* sistance à la rupture qui est susceptible d'être obtenu en les rendant inégales pour même hauteur.

Et l'on augmente en môme f^mps, dans une plus forte proportion, la résistance élastique à la flexion.

156 SElh:. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(Du a> tM).

Lors dODC qu^on ne sera pas gêné pour la hauteur. Il sera avantageux d*emplojer, à Taugmenter, la plus grande partie de Texcédant de matière de la semelle inférieure de la section non sjmétrique qu'on aurait proportionnée de manière à offrir égalité de résistance sur les deux bases. Toutefois, la hauteur doit être limitée par la crainte du déversement (§$ A et 13) susceptible d'être produit par une charge légèrement oblique, et par celle de faciliter la flexion latérale de la semelle supérieure pressée longitudinalement. On devra, par la même considération, conserver aux semelles une certaine grandeur, et, le plus souvent, pour les fers laminés, faire la semelle supérieure égale à Tautre, les expériences de rupture citées à la fin du S 13 de la note du n" 113 ne paraissant pas offrir de motifs suffisants pour la faire plus grande que la semelle infé* rieure.

Dans chaque cas il conviendra de se rendre compte, par les formules exactes du $ 16 , ou par un calcul numérique de moments statiques et de moments d'inertie fait sur Tépure (surtout lorsque la section n'aura pas exactement la forme d'un double T à angles droits et prononcés) , des résistances comparées de diverses formes avant d'adopter la forme définitive.

Nous reviendrons, au reste, sur ce siget dans la partie expérimentale en discutant les résultats obtenus, auxquels il nous sera sans doute donné de joindre ceux d'épreuves toutes récentes, faites en grand sous la direction de M. Morin.

8 19. Discussion relative aux sections en croix ou à nervures

égales dans deux sens rectangulaires. — On emploie quelquefois pour les arbres tournants des machines, ou bien pour les poteaux et les bielles , des pièces à quatre nervures égales appelées aussi pièces à côtes ou à ailes, ou axes emplumés (fealhered axis). Nous allons voir qu'elles n'offrent, à égales quantité de matière, que peu ou point d'avantage sur les sections circulaires quant à la flexion, à moins que les nervures ou ailes ne soient très-fortement saillantes, ce que d'autres considérations doivent faire souvent exclure.

Ces sections sont les suivantes.

Le moment d'inertie de chacune est le même autour de tous les axes tracés sur leur plan par leur centre de figure. On prend con-

(Du D* IM).

' îo

stamment pour valeur de o' le maximum de distance 'de la fibre la plus éloignée, pour les diverses positions de cet axe.

1* Simple croix cTéquerre, Soient c la longueur des doubles bras, e leur épaisseur, on a

ou

t JL--

On trouve en conséquence

Lorsque - = 1 («impie carré), ;;;i = TS ~ 0,0833,

1,2 0,0820 0,12tô

1,5 ... • 0,0807 (minimum) . . 0,126S

La résistance à la rupture par la flexion augmente constamment

à mesure quele rapport- du double bras à Tépaisseur augmente; mais

la résistance -^ à la flexion élastique n'augmente qu'après avoir eu»

pour 6s= 1 , 5 . 6, un minimum très-peu dilTérent de la valeur 0,0796 relative à la section circulaire, et être redevenue ensuite, pour 6 =s 2tf , la même qu'elle était pour 6 = « ou pour le simple carré.

on voit, au reste, que Taugmentatlon de la résistance à la rupture

est peu rapide , et il faut que le rapport - atteigne 3 1/2 pour que

cette résistance — ^ d'une pièce à section en croix atteigne la va-*

SECT. I. RtUSTAIICS DO 80LIDIS.

(Dtt B* IM).

leur 0,14105 = — p qu'elles dans une pièce cylindrique ou à sec- (ion circulaire.

Nous nVons pas calculé -7 eu égard ^aux au^entations de va-

leur pouvant résulter de la supposition de troncatures qui diminuent v' plus que I, parce que, lorsque Taxe du moment d'inertie est parallèle à la base supérieure AB = «, les deux conditions du S 8 de la note du n* 113 (p. 99 et 100) pour qu^une troncature augmente

le quotient -7 sont, ici, (c— e)e' > 2c*c et {r— c)e» > ce* (c+e) qui

ne se trouvent remplies ni Tune ni Tautre; d*oû il suit que la seule troncature capable d'augmenter la résistance consisterait à échaacrer un peu un angle tel que A lorsque Taxe du moment est CD perpendiculaire à OA, ce qui ne produirait qu'une augmentation négligeable.

2* Section carrée avec quatre nervures. On a, 6 étant le côté du carré servant de noyau, c la longueur d'une double nervure y compris la largeur de ce noyau, et e l'épaisseur deç nervures

ia=:i*H-2(c-*6)e, I=i [ec«— c6«4- (e— 6)e»+ 6*1

tr' s= ta plus grande des deux longueurs

OD==Î6v/2

Ou la 1'* longueur tant que v n'at-

teint pas

ou que la sec-

tion n*est pas inscriptlble dans un

cercle, en sorte qu'on ait OA=OD;

Et la 2* longueur ensuite.

e 1 D'oè , en adoptant ^ s g =r 0,2 s

4i7« IT. UPfUM 9àM rUXIOH. 459

(Da D* IM).

6r I =; i (eml sans nirfves) ^ ss 0,9888» r^ » 04i76

1,8 0,088A 0,li2fo

1,8 • • • 0,09&3 • . • • • Mi07

6n TO!t qu'à égale surface de section la résistance élastique est d*abord diminuée par Taddition de nervures; puis, passé la valeur ^ = 196= W 2 — f g j qui rend la section Inscrlptible dao« un cercle, cette résistance est augmentée. Quant à la résistance à la rupture par flexion, elle augmente d'abord jusqu'à t = i,& puis

die diminue, et redevient, pour | = 1,8, ou pour les nervures

dont la sallie est un peu moindre que la demi-épaisseur du noyau , peu différente de ce qu'elle était sans nervures; eUe n'augmente que pour des nervures plus saillantes. Et elle n'atteint la valeur

0,1410 relative au cercle que pour t ^^ 3 environ , ou pour des ner-'

vures ayant leur saillie égale à la largeur du noyau.

Une troncature qui consisterait seulement à échancrer ou cfaanflreiner un pou l'angle P ou l'angle A parallèlement aux diagonales

Dï't A!ff' aoigmenteralt trop peu ~, pour qu'il y eût lieu de tenir

compte de cette augmentaiioa (S 8 do la note du jt US)* Si ella consiste à accourcir la double nervure verticale en lui donnant une longueur C| un peu moindre que celle c conservée h la nervure ho-

Bl«ont8le,p<kiviont,pQirp'gOA,^^^*'"^^' /"^ ^/^ '^ ^' dont la dérivée par rapport à C|

160 SECT. I. BfiSISTARGB Ml S0U0B8.

ne sera négative» quand 6 s= 5e, que pour - <6,225« ou ^ < 1,2/|5.

Gomme cette valeur de ^ est moindre que celle V^'^d) = ^»A pour iSl^elle on cesse de prendre v' =: OD = ^ 6 v/2 pour commen*

cer à prendre v' == oA =: ^ V^^* + «* • on volt que -7 n*augmentera

pas en diminuant la 4ongtteur delà double nervure verticale.

La prise en considération des troncatures possibles ne changera donc pas sensiblement les conclusions précédentes.

3* Seciioji carrée avec quatre nervures en prolongement des diagonales. Soient

b le côté du carré,

c la longueur d'une double nervure y compris la diagonale qu'elle prolonge, et e son épaisseur.

Le moment d'inertie se compose de celui r^ (ec^+ ce*— e^) de la

'^'Tl croix d'équerre qui resterait en enle-

vant les quatre triangles tels que ABC, ^ et de quatre fois le moment d'inertie

•: x^ de ce triangle. Comme on a ses côtés:

^. c^X J AB=BC=6^-2BD=6-^-e,

^^ et par conséquent Taire de ce triangle

tù'=\ (6— e\/3)' , on peut, pour son moment d'inertie autour de a

la diagonale LU du noyau , appliquer la formule

Cl)

I (y»+ y*+ î^+ 1/"^+ y*y + îfy")

du s 6 de la note du n* 82 , en sabstltuant les ordonnées de ses

trois sommets A, B, G, y= j, y'-= g, y"=6-j — ^. Le sex-

tinôme entre parenthèses se réduit ^ ^"^T* ^"'^P^^^*^^ P^^ q*

(na D* f M).

quadruplant et ajoutant le moment dUnertie de la croix , on obtient

On a '

t?' = OK=: 5 V'^M^

et Taire « = 6« + c* + 2e (c-— 6v'2). D'où, adoptant ^=| ou Tépaisseur des nervures égale au quart du côté du carré :

lA résistance à la flexion élastique augmente constamment Mais la résistance à la rupture par flexion n'augmente qu*après avoir diminué; elle ne vient & surpasser sensiblement celle 0,14105 du cy-

lindre ù section circulaire que pour t = 3 ou pour des nervures

comme celles de la figure, et qui sont très-saillantes. De môme que pour le cas précédent, la troncature d'un angle en

chanfrein n^aogmenteralt p que d*ane manière négligeable ; et toute

rédoction de la double nervure verticale à une longueur moindre

que c, diminuerait -., quand | =- et | s= au moins v^- Il n*f &

pas lieu de prendre les troncatures en considération.

162 S£G'r. 1. nÉSlSTANGE DES SOLIDES.

Du n» f tO).

4* Section composée (Tun noyau circulaire àe rayon r et de

quatre nervures ayant une épaisseur e éi une saillie s. •* On peut la partager : 1* en un rectangle de largeur « et de hauteur 9r+2i; 2^ en deux autres

'^'y'ivv}^^^z3 reotanglei de hauteur e et de largeur

quatre portions do cercle p*m'm"p comme celleif qui ont été considérées au (S**) du $ S de la note du

n** 8& , et pour lesquelles Tare am'^ := x' = arc sin x- . On a donc «=tf (2r+ 2à) + 2e (s 4 r — Wi* — t^ + 4r« ^^ — arc sin -\

c i Ce qui donne, en adoptant - = 5 •

Simple cerclo ^ = 0,07958 ; — ,- = 0,14105'

Les nervures augmentent constamment, à égale superficie, la résistance à la flexion, mais elles diminuent d'abord la résistance à la rupture par flexion, qui n'arrive à surpasser ce qu'elle était sans nervures ou pour la simple section circulaire, que lorsque la saillie de celles-ci atteint 1 fo<-< 1/2 le rayon du noyau.

AQT. IV. RUPTUaii PAn FLEXION. 103

191. Considérons un solide prismatique (Fig* 9) encastré horizontalement à rcxtrémitéA» et chargé à l'autre extrémité M d'un poids. Nommons

r le moment de rupture > évalué conformément aux n~ il3 et suivants, d*afrès la figure de la section transversale du solide ;

P le poids suspendu à Textrémité M du corps;

a la distance horizontale de la section A à la direction du poids P ;

s la longueur AM du solide \

f la flèche de courbure CM.

Par le même motif que pour la section carrée avec nervures, {1 n'y pas lieu de s'occuper ici des troncatures possibles.

Conclusion de ce % 19. — On reconnaît ainsi qu*îl y a nécessité absolue , avant d'adopter un profil à nervures ou à quatre ailes ^ de se rendre exactement compte des résistances qu'on peut en attendre à égale quantité de matière.

Et même, si Ton considère que les arbres de transmission de mouvement, pour lesquels surtout on a imaginé ces sortes de profils, sont en même temps soumis à la torsion, et que les nervures ont fort pou d'Influence sur la résistance à la torsion, comme on verra aux notes des n""* 156 à 160 , en sorte qu'à égale quantité de matière elles diminuent très-sensiblement cette sorte de résistance, on partagera, quoique par une autre raison, l'avis de M. Tredgold {Practical essay on ihe sirength of cast iron , 182/^) qui préfère, pour ces arbres, les sections circulaires sans nervures.

Les sections en croix paraissent ainsi devoir être réservées pour les pièces sollicitées debout, comme les poteaux et les bielles , et à la condition que les bras de la croix seront assex longs pour aug-

monter très^sensiblement -^ ou la résistance élastique à la flexion,

qui est ce qu'il y a d'essentiel à considérer dans les pièces sollicitées de cette manière.

iC}'i SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

La rupture tend à se faire dans la: section A, et les conditions do réqnilibrc sont exprimées par

t = Pfl , d'où P = - ;

ou à peu près , en supposant que la coiffbe du solide est Té-

3/* lastique du n*" 86 , ce qui donne s=:a-]- -^^

122. Considérons présentement un solide prismatique (Fig. 40); posé horizontalement sur deux appuis , et chargé au milieu. Nommons

2P le poids suspendu au milieu A du solide ; a la moitié CM de la distance des appuis ; f la flèche de courbure AC ;

o( l'angle de la tangente à la courbe en M, M' avec l'horizontale MM'.

La rupture du corps tend à s'effectuer au milieu A. L'effort exercé contre Pappui M (abstraction faite de la considération du frottement sur cet appui) est une force normale à la courbe du solide ; dont la composante verticale est P ^ et la composante horizontale P tang a. Par conséquent , en supposant que la

courbe du solide est l'élastique du n** 86^ d*où tanga=~^,

les conditions de l'équilibre s'expriment en posant

t = P.a + P7tanga, ou v=zPa ({ + ^\;

d'où

ART. IV. ftUPTURE PAR FLEXION. 165

123. Considérons un solide prismatique droit encastré iiorizontalement à une extrémité , comme celui qui est représente Fig. 9) et chargé de poids distribués arbitrairement sur la longueur AM.* Nommant

X la distance horizontale d'un point quelconque du solide à

rextrémité A ; p la valeur du poids suspendu en ce points rapportée à Tu-

nité de longueur, et donnée en fonction de x; a la distance AC ;

on aura, pour exprimer l'équilibre

fa = \ dx , px.

Jo

124. Si les poids portés par chacun des éléments de la longueur du solide sont égaux entre eux, p est constante, et

l'on a

Ainsi le solide serait également rompu par un poids distribué conformément sur sa longueur, ou par un poids moitié moindre, suspendu à rextrémité B.

12ff. Lorsqu'un solide posé horizontalement sur deux appuis, comme on la supposé n** 122, est chargé par des poids distribués uniformément sur sa longueur, p représentant la charge correspondante h l'unité linéaire, on a pa eipa. tang a pour les composantes verticale et horizontale de la pression supportée par les appuis. Par conséquent, en supposant que la courbe du

solide est l'élastique du n^ 00, d'oii tang a = ^, les conditions de

l'équilibre sont exprimées par Téquation

v=pa.a + pa.fUkïïSa—pa^,

166 SEGT, 1. AÊSiSTANCfi DÈS SOLIDES.

OU

r = /w(^+/'tangaj, ou 2y/a= — 7^5^-

Ainsi [en négligeant lo carré de - | le solide est égalciiiciit

rompu par un poids distribué uniformément sur sa longueur^ ou par la moitié de ce poids placée au milieu.

12G. Lorsque le solide prismatique, posé horizontalenienl sur deux appuis^ est chargé à la fois du poids 2P placé au milieU; et du poids constant;? sur chaque unité de longueur, l'équilibre est exprimé par l'équation

t = [P+pa)a + (P-f pa)/*tang a — pa. ^ ,

ou

r = (P + />a)(a + /'tanga)-Ç,

d*où

^p , ar — />a (g + ^fUing a)

a-f-/*tang(x

Dans le cas dont il s*agit , en supposant la courbure du solide déterminée conformément à ce qui a éio fait n' 90, on a

3P -J- ^pQ \f

tanffa=: ^^ ; ., . — : cette valeur doit être substituée dans ° 8P + hpa a

les équations précédentes (*] .

(*) Cette expression de tang a résulte immédiatement delà division de la dernière par ravant-dernière équation du § 3 de la note

=1 j parce que la

substitution de cette expression à tang a dans celle de 2P du texte

ne donne que des termes en f ~ j trôs-pmlu.

ART. IV. BUPTUBK PAR FI.EXIQK, 167

127. Pour appliquer 1rs résultats prccéclonU h un corps donné, il faudra substituer à la place do r roxpression du moment do rupture qui convient h la figure de la section transvcrsalo de ce corps , conformément aux n"^ i 13 et suivant3. On donnera en* suite à la constante R la valeur qui convient à la nature du corps; et qui doit être déterminée par .l'observation.

Les observations au moyen desquelles on détermine la valeur do cette constante consistent h pincer horizontalement un solide prismatique sur deux appuis , à le charger au milieu par des poids de plus çn plus grands, çt à observer simultanément le poids qui cause la rupture , et la flèche de courbure qui a lieu h l'instant où cette rupturq est prête à s'opérer. La section transversale du solide étant up rectangle (Fig. 3) dont 1rs côtés sont

6 et c , on a (n« H5) r = R — *, et (n" 122), 2P = ^^

ou faisant abstraction du poids du solide. Donc ,

aPgtR . „,., , d'où U=s —

Sa étant rintervallo des appuis ^ 2P le |)oids placé au milieu de. la longueur du solide, fh flèche de courbure.

128.. Si Ton a égard au poids du solide, il faut employer l'expression de 2P du n" 126. En nommant 2n ce poids, c^?tlc expression devient

3(a + /*fanga) d'où

et Toit a

.3P + 2n Af

168 SECT. 1. RÉSISTANCE DBS SOUDES.

1919. Lorsque les solides ont une petite longueur, ou oe prennent qu'une faible courbure à l'instant de la rupture, on peut négliger les termes du second ordre introduits par laconsidéra*tion de cette courbure : on a alors, en faisant abstraction du poids du solide,

2P = Rg, d'où R = 2P.g; et^ en tenant compte de ce poids,

2P = R^-n, d'où R=(4P + n)^.

On va maintenant rapporter les expériences faites pour évaluer la résistance à la rupture de divers corps, et au moyen desquelles on peut déterminer les valeurs de la constante R.

149. Les circonstances de la flexion et de la rupture des bois, telles que les allongements et accourcissements des fibres, et la situation de la fibre invariable, ont été étudiées dans des expériences faites par M. Ch. Dupin , mais qui n'ont pas encore été publiées (**). M. Barlow, dans un ouvrage déjà cité, a donne quelques recherches sur cet objet. Elles apprennent que quand un prisme en bois fléchit progressivement, les fibres situées sur la face concave s'accourcissent plus que les fibres situées sur la face convexe ne s'allongent. Le rapport de raccourcissement des premières à l'allongement des secondes, égal à l'unité quand la flexion commence, croît progressivement jusqu'à devenir égal à 1,7 environ. La fibre invariable s'approche

(*} Expériences renvoyées, comme celles des n** A à 20, 22 à 76 et 94 à iii, et par les mêmes motifs, après le n* 168 au Complément des articles I à VI, en y ajoutant celles qui ont été faites depuis 1833.

(**) Elles Tont été aux Leçons de Mécanique du Gonservatoire« publiéespar ce savant. On les donnera au Complément des art. I à VI.

ART. IV. BUPTUaE PAR FLEXION. 169

peu à peu de la face convexe. Dans les barreaux éprouvés par M. Barlow, elle a été observée communément^ lors de h rupture, aux 5/8 de la hauteur de la section^ à compter de la face concave.

Ces effets sont mis en évidence par une expérience remarquable, imaginée par Duhamel. Elle consiste à scier transversalement une pièce de bois du coté de la face concave , et à remplir le trait de scie par une cale de bois dur. La force de la pièce augmente un peu quand le trait de scie pénètre jusqu'au i /3 de l'épaisseur) elle est la même quand il pénètre jusqu'à moitié environ y et elle est peu diminuée quand il pénètre aux 3/4 de l'épaisseur. Cette expérience a été répétée par M. Barlovv, avec les mêmes résultats (*)•

Notions SUT les théories de la résistance à la rupture proposées par Galilée f et par Mariotte et Leibnitz.

130. La première consistait à placer l'axe horizontal d'équilibre au point inférieur de la section de rupture (Fig. H)» et k considérer la force intérieure développée en chaque point de cette section comme constante pour tous les points. Nommant

R la résistance pour l'unité do surfoce ;

b la largeur de la section ;

f^Uy fju les valeurs />m ^ pn de l'ordonnée du contour de la

section qui répondent à une même abscisse u; c la hauteur de la section ;

(*) Oq a dit ci-dessus ($$ 13 de la note du n* 113 et 18 de celle du n* 120} et Ton verra aux tableaux d^expériences, que c'est le contraire pour la fonte de fer*

(**) Renvoyés oomme les n** 130 à iftl«

170 3E0T. I. ntS|#TAKCE DES SOI.11)^.

on avûil ainsi

pour l'expression du moment de la résistance à la rupture. Cette expression^ dans le cas où la section est un }*eclapgle dont les côtés sont b,c, devient

Là théorie attribuée communément à Mariotte et h Leibnitz consistait à placer également Taxe horizontal d'équilibre au point inférieur de la section , et à supposer la force intcriouio développée en chaque point proportionnelle h la distance de . ce point à Taxe d'équilibre. Le moment de la réisistance à M rupture était alors

.— \ du\ l dv . y*.

c Jo JAw

Il devenait, dans le cas du rectangle

(*) Les considérations présentées par Galilée, le fondateur de la théorie de la résistance des solides, se trouvent à son Dialogo secundo^ Giomata secunda^ 1638 (*). Il place la puissaffce et la résistance aux extrémités d'un levier coudé ayant pour bras horizontal la longueur du parallélipipède ou du cylindre solide encastré, et pour bras vertical la moitié de la hauteur de ce solide ; et il conclut que les poids capables de le rompre par sollicitation transversale et par traction longitadioale sont entre eux en raison inverse de ces deux bras. D^où il déduit déjà que les prismes posés résistent en raison directe de la largeur et du carré de la hauteur et en raison inverse de la longueur; que ceux qui sont creux (comme les os, les

(1) Opert di GaiiUo GaUUi, é<|U, 17U, i. UI, p. 63, «rllclo «56.

AUT. I. RUPXUilE PAR FLEXION. 171

r Du n» IftO).

plumesy etc.) ont plus de résistance sous môme volume ; que, pour une largeur constante, il y aura égale résistance partout, si les hauteurs croissent comme les ordonnées d'une parabole dont les ab« scisses sont les distances du point d'application de la force transversale, etc.

La théorie de Lelbnitz est exposée aux Acia eruditorum, Lipsûe, 168/1, p. 319, dnnsun article intitulé : Demonsiraiiones nova dç resisteniiâ solidorum. Il place Taxe de rotation, comme Galilée, au bas de la section, mais le bras moyen vertical de son levier n'est plus que le tiers de la hauteur de la section rectangle.

Mariette plaçait déjà cet axe ou cette ligne des fibres invariables au milieu de la hauteur, en considérant, comme on fait aujourd'hui , des fibres étendues au-dessus et des fibres comprimées au-ilessous. Mais se trompant, ensuite, quant aux conséquences, d'une manière singulière qui revient à doubler en même temps un bras de levier et une force pour doubler leur produit (^), il trouve pour le moment des rédstanoes « la môme ebose que si toutes les parties s^tendalent » ou que si l'axe de rotation était au bas.

On s'étonne de voir, vingt ans plus tard, Jacques BernouUi commettre précisément la même méprise du simple au double (*) et affirmer que la poi-ition attribuée ti l'axe de rotation est tout à fait indifférente, même lorsque les forces sont des fonctions quelconques des extensions ou compressions. C'est que n'apercevant pas encore, comme Coulomb, le principe de nullité de la somme des actions intérieures horizontales, il cherche à échapper par un raisonnement, qui se trouve être faux, à la nécessité de déterminer d'abord la position de cet axe (Voyez ci-après note db n* 151).

(I) Traité (posUiumc] du Mouvement dei eaux, 4684, 5« partie, second discours, 43* alinéa.

(*) FcritahU hypothèse de la résistance des solides, «toc la Bérnooslratiop de U courbure des ressens, Icmme 4 (Académie des sciences, 4705; ou Jacobi Ùernoullii opéra omnia, t. U, p. 976}.

Remarque sur la théorie de la résistance à la rupture*

151. La théorie présentée dans les n*^ 112 et suivants est fondée sur l'hypothèse que les fibres longitudinales » à Tinstanf de la rupture, offrent des résistances proportionnelles aux extensions et contractions de ces fibres, et qui sont égales pour des extensions et contractions égaies. La situation de Taxe d'é« quiHbre est déterminée par la condition énoncée n" 77 et 78^ en sorte que cet axe est au milieu de la hauteur de la section , quand la section peut être partagée dans sa hauteur en deux parties symétriques , comme cela a lieu pour le rectangle et le cercle.

Si cette hypothèse était exactement conforme aux effets naturels^ les valeurs de la constante R déduites , au moyen des formules précédentes , des expériences sur la rupture rapportées dans les n** 94 et suivants, ne différeraient point des résultats obtenus par les expériences directes sur la rupture des corps produite par extension ou par écrasement. Lorsque cet accord n'a pas lieu , on doit l'attribuer . à ce que los fibres des corps n'opposant pas, quand la rupture vient à s'<^p;^rcr9 dos résistances égales à l'extension et à la compression, l'axe d'équilibre change de situation, en sorte que les expressions du moment de rupture ne s'accordent pas avec l'état du solide.

On doit remarquer toutefois, 1® que les principaux résultais obtenus précédemment n'en sont pas moins vrais; en sorte que les résistances des bases rectangulaires sont toujours proportionnelles à la largeur et au carré de l'épaisseur, et que les résistances des bases de figures semblables le sont toujours aux cubes des dimensions homologues. Les rapports seuls des résistances pour les bases des diverses figures sont changés. 2^ Dans les applications, on n'est point dans le cas de calculer les résistances respectives des corps en les considérant dans l'état qui précède la rupture: on les considère, au contraire, comme on le verra dans la suite, lorsqu'ils n'ont pu prendre encore qu^unc légère

flexion , qui n'en a point altéré réiasticité ; et les résultats précédents conviennent alors sensiblement à la manière dont la résistance s'exerce (*).

(*) S !• Proportionnalité des résistances aux largeurs et aux carrés des hauteurs des sections semblables ou seulement transformables les unes dans les autres en réduisant ou amplifiant dans une même proportion leurs ordonnées ou leurs abscisses. — La dernière remarque (2*) de Mavier, très-importante, nous a servi précédemment (note du n* iid, $$ 2, 3» 4, 13} à la justification de toutes les formules de résistance à la rupture éloignée, posées avec n, au lieu de R.

ISlais considérons maintenant ce qui a lieu pour la rupture immédiate ou prochaine.

Ce qu'il- dit à la remarque (1*), à savoir « que les résistances sont toii^ours proportionnelles à la largeur et au carré de Tépaisseur » est vrai non-seulement pour les sections rectangulaires comparées, mais encore, plus généralement (commo on va voir) pour les diverses sections qui» comme les ellipses, etc., sont ramenées les unes aux autres lorsqu'on amplifie ou qu'on réduit dans un même rapport, ou toutes les abscisses, ou toutes les ordonnées, ou à la fois les unes et les autres supposées parallèles et perpendiculaires à la ligne finale des fibres invariables; et, cela , quelles que soient les expressions inconnues des eCTorts de tension et de pression des fibres en fonction de leurs dilatations et contractions ; pourvu toutefois que ces dilatations et contractions soient encore, à Tinstant de la rupture, proportionnelles aux distances à cette ligne neutre , traversée alors par les fibres dont la longueur est restée ou est redevenue la même qu'avant la flexion, comme si les sections voisines étaient demeurées planes ou s'étaient cbangées en une même surface peu courbe ($ A de la note du n"" 80).

En elTet, soient

9 et {> les indices des fonctions des dilatations et contractions qui expriment les grandeurs des tensions ou pressions des fibres;

Et 8ol(^nt, pour V instant de lu rupture :

17^ SECr. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(Du n« iM).

r et i*! les distances, à la ligne neutre (quelle que soU alors la situation de. cette ligne), d'une fibre étendue et d^une fibre comprimée quelconques ;

v' et i/| les plus grandes valeurs do v et r^ ;

t' la dilatation de la fibre la plus étendue» ou de la fibre à la distance v' s

U et U| les largeurs de la section aux di^ti)nccs v, t^|.

La dilatation et la contraction des deux fibres quelconques à ces distances de la ligne neutre seront

t' -: et r —;.

On aura donc, M étant le moment des forces extérieures autour de cette ligne, les deux équations suivantes d'équilibre de translation longitudinale et de rotation

Or si, dans la première équation , 7n et n étant deux nombres quelconques, nous remplaçons U, Uj par mU, wiU, , et r, t/, r,, v\ dr, âv^ parrjr, wt?', nr^, 7iv\y ndv, ndv^ sans changer la dilatation-limite i' qui ne dépend que de la matière, elle sera encore satisfaite, car les fonctions 9, •! auront conservé les mêmes grandeurs pour les ordonnées nv, nt?| qu^elles avaient pour celles t*, v^ ; ce qui montre déjà que lorsqu'on remplace une section par une autre dont les abscisses soient celles de la première multipliées par m et dont les ordonnées soient celles de la première multipliées par w, la ligne neutre y occupe, à Tinstant où la dilatation t' infiniment peu dépassée détermine la rupture , une situation homologue à celle où clic était, ou telle que le rapport de ses distances à la fibre la plus étendue et & la fibre la plus contractée est toiiyours le rapport primitif de 0' à vV

Il en résulte qu'en falsanti dans le second membre de la deuxième équation, la même transformation, il exprimera la somme des mo-

ART, lY. RUPTCIIE PAR PLEXIOA. 175

(Du n« fol).

ments des forces intérieures à Tinstant de la rbpture du prisme ayant la nouvelle section , comme 11 Texprlmalt pour le prisme ayant la section primitive. Or^ M' étant lô nouveau moment, on aura» en divisant la nouvelle équation parrandenne»

TT = mn\

Donc les résistances do ces deux prismes, ou les moments capables de produire leur rupture Immédiate par flexion, sont bien pro« portionnelles aux largeurs et aux carrés des hauteurs des sections.

% % Formules pour le calcul aigfj^oxvmùi^f des résistances à. la rupture immédiate ou prochaine^ principalement quand les sections sont rectangles *Pour ealculer les grandeurs de ces résistances en fonction du coefficient R de rupture par traction (ou du coefficient n' d'écrasement) 11 serait nécessaire» eomme on a déjà dit au S A de la note du n* 113, de connaître complètement la forme des fonctions que nous venons de désigner par 9 et par ^.

 défaut de cette connaissance, on peut substituer des expressions empiriques simples satisfaisant à peu près à ce qu'on sait de ces fonctions.

Dès 1702 Varignon a considéré (0 une variation non linéaire de la tension d'une fibre à Tautre, mais sans faire d'hypothèse sur sa loi. Jacques BcrnoulU dans son mémoire déjà cité , de 1705 (Vérltable hypothèse, etc.}, avance que « la compression d'une fibre croit nécessairement dans un moindre rapport que le poids comprimant» parce qu'autrement la fibre finirait «par être comprimée plus que de toute sa longueur » ce qui est absurde, et il admet 0 qu'il en doit être de même de l'extension parce qu'elle n'est qu'une compression négative. » Aussi, et eu égard à ce' qu'il regarde le résultat comme 1» même (note ci-dessus du n" 150) que si l'axe de rotation était placé au bas de là section ou qu'il n'y eût que des extensions, arrlve-t-ll, pour un prisme rectangulaire d'une matière dont A esi Ift fMstanee à la rupture par traction pour l'unité de superficie de sa base 6 x c, à un moment de rupture par flexion

(1) De la ÊUtiêianeê êê9 »oUdei pour tout ce qu*on peut faire éthypathèsif towehani la forcé ou ta iénacilé des fibrei, etc. (Académie des Bclcncefl, 470S).

176 SECT. I. RiSISTANGB DES SOUDES.

Da n* tu ).

6c' moindre que R -^ , ce qui lui fait croire sa tliéorie confirmée par

quelques expériences de Marlotte qui ont donné I/& à i/3 de n6c' pour des barres de bois et des tiges de verre.

Mais cette confirmation apparente résulte d'une compensation de Terreur que nous avons signalée à la fin de la note du n* 150, avec Terreur de Thypothèse sur la loi de variation des compressions ou extensions d'une fibre sous divers efforts, car les expériences faites depuis vingt-cinq ans surtout ont prouvé ($ S de la note du n" 21) qite ces compressions ou extensions croissent plus rapide^ ment que les efforts qui les produisent ^ contrairement à ce que suppose BernouUi , depuis Tinstant où elles commencent à avoir une partie permanente jusqu'à celui de Técrasement ou de la séparation.

Aussi M. llodgkinson (*) a-t-il donné un calcul où les efforts d'extension p et de compression P| sont représentés, pour les fibres, aux distances r, v^ de la ligne neutre, par des formules qui sont susceptibles d'être écrites ainsi, m et m^ étant des exposants numériques plus grands que 1, R et Ri les efforts d'extension et de compression à une même distance v' d(e la ligue neutre, et r, N| deux constantes positives, aussi > 1 (et qui sont celles qu'il appelle ti, ??', divisées respectivement par t'*-«, r'"r*)

formules où il lUt surtout la supposition m =s m^ -• 2. Nous préférons employer les formules suivantes :

<« '='['-(-fn-'.='.[-(«-îir]

où p, Pi représentent toi^ours Teffort d^extenslon et Teffort de

(*) ZsppeHmêmtal teuarAn^ «le., 4S46, an chapitre («m 199 et fulranti, aon trad^t par M. Flrel ) Inlitulè Tktoretical inqairp wilh regard to tke ttrenfth of Beami,

ABT. IV. RUPrUBK PAR FLEXION.

compression de deux fibres aux distances

quelconques v, r, de la ligne neutre, pour — j- I — ,-- ^ __ l'unité superficieJIe de leurs sections,

iZ. ^. ^ ^' ^' <3esgrandeurs linéaires égales ou sup6-

, ''' .-^yi' **/ rieures aux plus grandes valeurs p', r",

des distances ou ordonnnées v, o,, P. P, deux constantes (qui seraient évidem- "1^1' les valeurs des efforts p. p, aux ' '■ distances V, V,),

L'épure ci- contre manifeste ia raison de notre préférence.

Les courbes pleines sont celles que représente , pour m = 2, ù , 6 , 8 , 10 , la première de nos deux formules fl) (1 laquelle la seconde est semblable).

Elles nous paraissent plus propres à figurer les divers modes de variation qu'on peut supposer aux forces p en fonctiondes distances V, que lescourbes poncbiées,qui80Dtcellesquefournitla formule de M. Hodgkinson quand on y fait H = m (comme nous y serons obligés ci-après afin que la tangente soit verticale ou parallèle aux abscisses v pour c = v'), et dans laquelle on voit qu'il faudrait donner surtout à m des valeurs fractionnaires comprises entre 0 et 2, car, pour m > 2 on n'aurait que des lignes comprises entre la parabole ordinaire {m = 2] et la ligne droite (m=co), et ne pouïant guère servir; ce qui peut être dit aussi de la ligne m=i dont l'équation aurait une forme transcendante, car en cherchant la vraie valeur du- la première formuieHodgiknsonpour'm = H = lde¥ient p = R-^ /^l log^\ Au reste nos formules donnent la même chose que celles de

178 SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES. (Du n« 161).

M. Hodgkioson pour m oa m^ = 2 , savoir des expressions de la forme p oupi = At ^Bi^ (t étant la dilatation ou contraction), forme que Thabile physicien a reconnue satisfaire à peu près aux expériences sur les barres de fonte quand on ne les pousse pas tout à fait jusqu'à la rupture ou à Técrasement. Nous aurons d'abord, au moyen des formules que nous adoptons : Condition de Juste résistance (la rupture étant supposée commencer du côté étendu) :

p = R pour t> = v' ou

Condition pour qu'il y ait raccordement des deux courbes dont les coordonnées sont p et v, p^ et v, ; ou pour que les Taibles valeurs de p, Pi soient dans une même proportion avec les petites dilatations et arec les petites compressions • 3^ = ^^ pour t? = 0, r j = 0 , ou

Ensuite» en nous bornant désormais aux sections rectangles dont nous appelons 6 la largeur et c la hauteur :

fp' fr',

Condition d'équilibre de translation \ pdv = V pidi\ ,

Jo Jo

ou

-{?-;èj['-(-?)'"]!-.'.|^4i['-(-v^r"])

ou

rVl"2Y T 2 W^ i 2. 3 ÙV» •••7"" *\,i 2Vj 1 2 3V ■^•"\ {ou, eu égard à (3)

T""^2 3V"*" 2 • S ÛV» ' 2 2 3Vi 2 "" 3"~ âv? "" " *"

Condition qui, avec la précédente, servira à déterminer v\ v\.

ARTi IV. RUPtUftE PAR FLEXION. 179

(Du n« Iftl).

Condition d'équilibre de rotation : M = 6 \ pvdv + b\ PiVidv^^ , ou en substituant (1) :

ou

-, ,^ /mt-'* mm — 1 r'* 7ji7n — im — 2 v'^ \

ou , eu égard à (3) et à (2)

„ ,R ^ U 2-ÂV-^-T--l-5V"-"J-^"^ V3 y-W,-^-)

r - m — iv m — i m — 2 v*

§ 3. Pariicidarisations de ces formules. Explication de qtielques résultats d'expérience. Limites supérieure et inférieure, etc.

V Si Ton fait les exposants m =r m^ = i, les cinq équations do condition se réduisent à

C'est la supposition de variation simplement linéaire i ou de pro* portionnalité constante des elTorts aux dilatations ou contraotlons comme quand celles-ci restent très-petites; et on retombe sur les formules du texte.

2** Si) en faisant toujours m = ttii == i^ Ton omet la condition

de raccordement (3) -rr- = -^ ou si l*on substitue, approximati-^

Y Yj

vement, des variations linéaires aux variations réelles des. tensions et des pressions mais suivant deux rapports différents , on a «

^-^ P„'*-Pit,'« M-^/'^r'8 4.Pi«'»^.

i80 SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(DU n* flM}.

ou, vu que t?' + v\ = c,

Or si c'est, comme on le suppose, du cOté des fibres étendues qu*une

même force produit plus de changement de

longueur, ou si 77 < ir » on a r' > v\ ; ce

qu'on aperçoit également, si la ligne verticale AOA^ représente une coupe de la section rectangulaire par le plan de flexion , en traçant les lignes droites OB, 0B| dont les abscisses (verticales) sont v et v^ et dont les ordonnées(liorizontales) sont les forces p et Pi correspondantes; car pour que les aires OAB, OA^Bi soient égales, ce qui est la condition de Téquilibre de translation, 11 faut, puisque -r^: est moindre que .* * , que 0A= »' soit plus grand que OAi=

c bctt*

11 en résulte qu'on a v' > ^, et que le moment M = R -^ ^^

forces à Tinstant de la rupture excède la valeur R -2- donnée par la

théorie ordinaire* De même si la rupture commence du côt;^ des fibres comprimées,

6c* le moment M excède R'-^ , R' étant la résistance à Técrasement de

Tunité superficielle.

On voit déjà que Vinégalité des résistances des fibres à Vextension et à la compression , ces deux résistances étant assimilées empiriquement à deux fonctions linéaires , rend la résistance à la rupture par flexion supérieure à ce qu^on trouve quand on suppose ces deux résistances égales.

3* Mais la non-linéarité, ou Taccroissement des forces dans un rapport moindre que celui des changements de longueur des fibres est une seconde cause d'augmentation de la résistance*

Observons d'abord que lorsque la dilatation d*une fibre a atteint

( Dn n« iM).

sa limite , comme une faible augmentation qu'on lui fait subir produit la rupture ou bien fait décroître très-rapidement sa force de tension , il est naturel de regarder la courbe des tensions comme ayant à Tinstant de la rupture, pour t; = v\ sa tangente verticale ou parallèle à Taxe coordonné des v, d'autant plus que cet instant a été précédé d'une énenration graduelle.

Gela revient à supposer -£• = 0 pour v = v\ ou à prendre

(7) V = t;'. P = R /JC^^^- ^'^''^'î^

d'Où

SITY

GoDdiUon de necordement (3) : m—, = nié rr-

!•» membre de l'équation (4) d'équilibre de tranilation : Rv'

l** terne da 1* membre de Véquation (6) d'éqnil. de roUtion : &Rv'* ^, ?!"; ^ «

4* Or, en supposant d'abord , en outre , m = m^, P = Pj , V = V, OU la loi de variation la même du côté comprimé que du côté

étendu, ce qui donne V = Vi = t?' = î/j = ^, P = Pi =R, Texpres-

sion du moment se réduit à

qui donne pour m= i, 2, 3, A, 5, 6, 7, 8

«. « ^ 1*1 uA M 6 27 7 10 81 35 22 . ,^- M = R-g-multipliéparl. j,5jj,-,y,gg,^,j5 =1,407;

en sorte que plus l'exposant m est grand, plus le moment de rup*

bc* ture prochaine excède la valeur R-^ relative à la loi linéaire.

5* En supposant enfin, d'une manière plus rapprochée de ce qui a lieu réellement à l'égard de la fonte de fer surtout, que du côté comprimé les forces croissent à peu près comme les contractions (vu que les fibres de ce côté occuperont une portion de la section plus petite que du côté des fibres étendues et que la courbe des

182 SEGT. T. nÊ9TSTANCE DES SOLIDES.

(Du n« Iftt).

pressions n'atteindra sa tangente verticale que très-loin au delà de la sectionj, on fera

* mi = l, m quelconque;

ce qui joint à V = r', P = R , 1/ + ©', = c, donnera

Condition de raccordement «—7- := rr^ ;

Équilibre de trtniliUon . ^ = -j- 5

D'où

v'2 + v/m 4- i ' * W2 + v/ïJT+l

^-^«^^ 2(m+l)(m+2) + ^'^i?T— 6 (v/ST+î + v^à)'

p'j (plu« grande force de pression, répondant à », = t?',) = =~ v'^ = m -p r',,

D*où successivement :

Pourm=4

TALEDBS DE

( laiftrt 4« Il

pin fni4« prN-

ilra 1 la f\n

gru4e ttntoi.)

> (■•Mit Im r*rra «li teit napri.)

w = co

QO

( Ou n» 151 }.

L'épure ci-dessous représente , & droite de la vertieale AA, = c , prise pour axe des «, toutes les lignes courbes de traction

p=R 1^1 r- K — -, j J dont les abscisses (aussi verticales) sont les

distances v des diverses fibres étendues & la ligne neutre et dont les ordonnées (horizontales) sont les tractions correspondantes p pour les valeurs m = 1 à 7 en sorte que, pour toutes, on a AB = la cohésion R. A gauche elle donne les lignes de pression dont les abscisses

comptées de haut en bas sont r^ et les ordonnées horizontales sont Pi; lignes que nous remplaçons par des droites, vu, comme noua avons dit, que leurs sommets analogues à B seraient fort audessous de A, pour dos matières qui, comme la fonte, les pierres dures, etc , résistent beaucoup plus à la compression qu*à Textension lorsqu*on approche de la rupture. Ces lignes droites se roc-

(Du D« 151).

cordent avec les courbes de traction « on leur sont tangentes, aux points de passage à travers la verticale AA^ , points qui représentent les diverses projections, sur le plan de la figure, de la ligne neutre rencontrant les fibres qui ont conservé ou repris la longueur primitive à Tinstant de la rupture (S précédent), ou qui sont les diverses origines des abscisses v, v^ , et qui se trouvent placées sur AA| de manière que les aires triangulaires rectilignes de gauche soient équivalentes aux aires triangulaires curvilignes de droite afin que la condition d'équilibre de translation soit remplie.

Les courbes qui résultent» des valeurs les plus fortes de l'exposant m sont assez analogues à celles qui représentent les expériences de traction des fils et des barres métalliques de MM. Bomet, Seguin, Ardant(*).

On voit que ,

Pour m = 2,35 environ. Ton aM = 5R-g- = Rei)^,

Pour m = 6 M=2R -g" = ^*»* 3»

résultats qui sont dans les limites des expériences anciennes de Mariette et de celles plus récentes de MM. Fairbairn, Hodgkinson, Henry James, etc.

«La supposition m = 00 rCest autre chose que Vhypoihèse de Ga^ lilée^ suivant laquelle la force de résistance des fibres tirées serait constante à Tinstant de la rupture du solide , et celle des fibres

comprimées serait Indéfinie. Le résultat M = R -^ est une limite

supérieure.

On voit que le calcul explique comment le moment des forces

qui produisent la rupture immédiate des prismes rectangles par

Tibc^ c

flexion, au lieu d'être constamment égale à -x-* = R^ 5» où R6c = Rw

représente la résistance Immédiate à la rupture par traction , a une

(1) N* 390 cl figure 48 do V Introduction à la mécanique industrielle de U. Poocelcl; ou bien n" 9 et fig. 4 de la Résistance des matériaux de U. Uorin. Voyei aussi plus loin le Complément des «rt. 1 à vi. •

ART. IV. BUPTURE PAR FLEXION. i85

De la rupture â^un solide prismatique â^une petite longueur,

152. Les notions précédentes^ comme on Ta remarqué au n^ 79^ ne peuvent être appliquées avec exactitude, qu'autant que la longueur du solide prismatique est beaucoup plus grande que les dimensions de sa section transversale. C'est effectivement ce qui a lieu dans les cas qui se présentent le plus fréquemment dans les constructions et dont la considération est le plus importante. A regard des cas où la longueur du solide surpasse peu les dimensions de la section transversale , ou même est plus petite que ces dimensions^ comme ils n'ont pas été suffisamment étudiés par Texpérience, on se bprnera à présenter à ce sujet quelques aperçus.

Considérons le solide ÂM (Fig. 9) encastré horizontalement à une extrémité 9 et supposons d'abord que le fil auquel est suspendu le poids P soit placé dans le plan de la section A, c'està-dire contre la face verticale du corps dans' lequel l'extrémité du solide AM est encastré. L'action du poids P ne tendra, pas alors à faire fléchir la portion A M du solide ; mais elle tendra à séparer cette portion de celle qui est encastrée, et avant que

valeur comprise entre —^ donné par Coulomb et —^ donné par

Galilée.

Mais ranalyse précédente peut faire mieux que de fournir une

explication des faits observés. Elle peut prévoir ce qui arrivera

dans des cas sur lesquels n*a pas porté Tobservation. Ainsi, des

R6o* expériences de rupture ayant donné M = n • — - pour une pièce

à section rectangle, on déduira du tableau précédent la valeur à attribuer à Texposant m (par exemple m = 5à6 8i7i = 2 environ comme on a trouvé pour la fonte) ce qui pourra servir à calculer par les formules précédentes la résistance, à la rupture immédiate ou prochaine , de pièces de même matière, ayant une section de forme non rectangle. Nous renvoyons plus loin les applications.

cette séparation ne s'opère ^ les fibres qui unissent les parties prêtes à se disjoindre se seront allongées d'une certaine quantité. Il est naturel d'admettre que Teffort nécessaire pour produire cet allongement soit proportionnel : 1* à Taire de la section tranversale du solide; 2» à la grandeur de rallongement dont il s'agit. Par conséquent, si la section transversale est un rectangle dont 6 représente le côté horizontal et c le côté vertical ; et si nous désignons par

0 l'allongement dans le sens vertical (supposé très-petit) des

parties du solide placées dans la section transversale A ; D un coefOcient constant spécifique représentant la résistance du corps à un glissement d'une partie sur l'autre dans le plan de la section transversale ; l'effort dont il s'agit sera représenté par DB . bc. Nous écrirons donc ici pour équation d'équilibre

P =: Do . ôc ;

et nous concevrons que la rupture aura lieu lorsque l'allongement $ aura pris une valeur telle qu'il entraîne la disjonction des parties du corps. Le poids qui causerait la rupture serait donc proportionnel à l'aire de la section transversale (*)•

(*) SI. De la résistance au glissement relatif des parties à\m solide. Circonstances diverses oii elle entre en jeu, — Ce n* 152 n*existait pas à rédition de 1826. Navîer Ta introduit dans celle de 1833 évidemment pour répondre à Tun des reprpches que M. Vicat venait de diriger contre toute la théorie de la résistance des solides, notamment en raison de rémission de l'espèce de résistance dont il s*agit, qui s*exerce en A et à laquelle il donnait le nom de force transverse.

C'est, dit rillustre ingénieur (') la résistance « à toute disjonction par le mouvement tangentiel des parties les unes sur les au-

(^) Page 1 des Recherches de M. Vicat $ur les phénomènes physiques qui précèdent et accompagnent la rupture et r affaissement d'une certaine classe de solides. Annales des ponts et chaussées 4833, deuilème lemestre.

(Du n* 159).

très » ou « à tout effort qui tend à diviser un corps en faisant glisser^ pour ainsi dire, une de ses parties sur l'autre, sans exercer ni pression, ni tirage iiors de la face de rupture. »

L*existence de cette force intérieure signalée par M. Vieat n^avait pas échappé h Coulomb, car, dans son beau mémoire de 1773 (cité au S 3 de la note du n** 3) il dit, à propos de la rupture d'une pièce fléchie « que la formule n*est exacte qu'autant que la force inté^ Heure agissant dans le plan même des sections transversales n'Influe que tr^s-peu » ce qui est vrai lorsque la longueur est beaucoup plus grande que f épaisseur, » Et un peu plus loin il fait entrer cette force tungentielle dans le calcul t mais seulement pour les massifs de terre , de maçonnerie, etc.» en ajoutant qu'on, peut par sa considération se rendre compte de la résistance des blocs eux-mêmes à récrasement, ce que nous avons discuté à la môme note du n* 3.

Th. roung l'avait Iftalement aperçue comme résistance à ce qu'il appelait la détrusion (l'action de pousser dehors ou de chasser de côté;, rangée par lui après Textension et la compression desso* lides 0) et qui est produite, dit-il, « lorsqu'un effort transversal agit contiguêment ou tout contre {close) de la même manière que les lames d'une paire de ciseaux, • Il faisait consister la solidité ( hard" ?tess) dans cette force d^adMsion latérale dont les fluides sont dé* pourvus* etc.

M. Vicat remarque avec raison qu'il y a un grand nombre de cir* constances où les pièces solides sont ainsi sollicitées jt rompre par glissement parallèle aux faces de rupture. Dans ce cas, dit-il, se trouvent (p. 2/i3 de son mémoire) les tourillons, les tenons, les crochets, ainsi que les goujons (p. 9/i8), les clefs ou clavettes, etc. — Nous pouvons y ajouter les corbeaux, taquets et tasseaux, ergots ou talons, boulons de chaînes plates et de poulies ou de palans, les queues d'hironde et les bouts de pièces moisées ou embrcvées, les dents d'engrenage ou d'embrayage, les bagues ou embases, les flicts de vis et d'écroux, les rivets unissant les plaques de tôle soumises à la traction , et généralement toutes les pièces que des forces

(1) jé courte of ItcUtreê on iM/ura/ Philoiophy and mechanical jérU, Loodon, 1807, TOI. I, p. 436, leotureXUI (On i»itive Slrengtb).

188 SEGT. I. RÊSISTANCB DES SOLIDES.

(Du Q« 151).

transversales tendent & trancher ou & cisailler (terme très-expressif employé par M. Love), il convient d*y Joindre les couches de mortier qui unissent les assises des murs de soutènement ou les voussoirs des reins des voûtes.

Les pièces même de charpente d'une certaine longueur, qui sont posées aux deux bouts, et qu'une force appliquée au milieu fait fléchir^ ont, tout auprès des points d'appui, une tendance à rompre

par glissement, dont il faut tenir compte quand on calcule leur profil d'égale résistance (voy. ciaprès S 9 de la note du n» 15/^). Quelquefois c^t au milieu des pièces et non à leurs extrémités que s*exerce surtout cette tendance au glissement transversal, comme il ktrim aux rayons ou bras ACB de roues de voitures ou de machines qui , en trausiuftttant le mouvement du moyeu A aux Jantes B, s'infléchissent de part et d'autre en sens opposé à partir du milieu G, où il n'y a que glissement sans flexion (')•

Nous montrerons aussi, bientôt (art V, note du n** 156), que la torsion n'est autre chose qu'un certain glissement inégal des parties, sur les divers éléments des sections transversales des pièces, de même que la flexion est ramenable (n** 77) à des extensions ou compressions variables d'-une fibre à l'autre. C'est ce qu*avait remarqué Young, qui faisait consister surtout la torsion dans un déplacement latéral (détrusion) des côtés opposés d'un prisme dans des directions aussi opposées.

Enfin la résistance au glissement s'exerce non-seulement dans un sens transversal aux pièces mais aussi dans un sens longitudinal, car tout effort qui tend à faire glisser les sections les unes devant les autres tend aussi, comme nous verrons, à faire glisser lesjibres les unes contre les autres. Ces deux glissements sont même insé-

(t) Cette ingéoieute remarque a été faite i»r M. Poocelet à U Faculté des scicQces, dans ses leçoos de 4840, où il a cité avec bieiiTeillance ee que nous avious dit, dans un cours lithographie (4837-4838), de la rèsisUnce au glissement en général, et de sa mise en ligne de compte lorsqu'elle se compose avec les résis* tances à Textenslon et à la flexion dans un même endroit (ci-après note da n* 454).

SUPPLÉM£KT A L'AHT. IV. GUSSEUENT. 189

( Du qo IMJ.

parables. Et c'est à quoi on peut attribuer souvent la fente longitudinale des bois et autres corps fibreux.

S 2. Observation sur la manière dont la résistance au glissement est estimée aux n"* 152 à 155 du texte, — Dans ce que dit ici Navier et qui a été évidemment improvisé, on voit qu'il envisage le glissement relatif des deux portions d*un prisme situées de part et d^autre d'une de ses sections transversales supposées verticales, comme dû à de certains allongements verticaux de fibres horizon* taies qu'il ne définit pas, quoiqu'il les regarde, au n* 15â, comme susceptibles de se composer, à la manière des forces ou des petits déplacements rectangulaires, avec les allongements horizontaux dus à la flexion. Mais les deux notes ajoutées par lui , aussi en 1833, au n"" 159 relatif à la torsion, et au n* 167 relatif à la rupture par torsion (voy. ci-après) prouvent, par leurs conclusions relatives aux valeurs des coefficients numériques, qu'il envisageait quelquefois les choses d'une autre manière, en rapport avec ce que nous allons en dire en rappliquant au glissement sans torsion.

S 3. Définition et mesure du glissement des lignes matérielles les unes devant les autres, ou sur ces lignes. Il a toujours lieu simultanément et également des ^deux directions rectangulaires. — Dans un corps élastique dont les particules éprouvent des déplacements relatifs très-petits, variant de l'une à l'autre avec continuité, les très-petites lignes droites parallèles et peu distantes peuven t être regardées comme restant droites et parallèles. Soit donc mîtqp m n ^ un petit rectangle matériel, et m^n^q^p^

gp^^^^^^^fi, le parallélogramme très-peu obliquangle I / ] dans lequel il s'est changé ; si g est le 1/ I pied de la perpendiculaire abaissée de rij

{ I sur w,Pj, le côté ng a glissé de 7w,g

^' "* pT"*"""-^ devant le côté parallèle mp. Rapporté à

' l'unité de distance des côtés, ce glisse-

m s ment est — î^.^ quotient qui peut être regardé comme indépenm^n^

dant de la distance elle-même tant que cette distance reste trèspetite, en vertu de la continuité supposée, ou de ce que les autres

190 SECT. I. nÉSISTARCE DES SOUDfcS.

(Du n« 158).

côtés miif pq restent sensiblement droits; en sorte qu^on peut le prendre pour mesure du glissement de la matière du corps sur la ligne, mpi dans le plan rnnp^

En même temps, si g' est le pied de la perpendiculaire pjg' sui* m^n^ , le glissement sur le côté adjacent ntrif rappoi^ aussi à Tunité

de sa distance à pq est — ^ ; quotient égal au premier — ^ qui

mesure le glissement sur mp.

Nous appelerons donc généralement i

Glissement de la matière d'un corps solide sur Vune ou Vautre de deux petites droites matérielles primitivement rectangulaires qui se coupent i et dans le plan qu'elles font ensemble^ la projec-» (ion actuelle y sur chacune, de l'unité de longueur portée dans la direction de Vautre.

Et nous dirons qu'il est la même chose que le glissement relatif des droites parallèles à chacune, prises dans le môme plan et à de trës-petites distances^

Il revient , en grandeur, au cosinus de Tangle '^i^^i devenu légèrement aigu^ ou au sinus de la diminution éprouvée par cet angle primitivement droit. Il est sensij^lement égal à ce petit rétrécisse^ ment angulaire lui-même^ mesuré en arc d'un rayon égal à Tunité, ou bien à la petite inclinaison acquise par chacune des deux droites ?«!?/,, WjPi sur la normale à Tautre» ou encore par la normale ancienne sur la normale nouvelle à Vune d' elles , dans ce même plan.

S k» Glissements sur une face ou sur les droites qui sont tracées, et dans les plans normaux à cette face plane ; ou glissements divers sur la droite qui lui est normale. Leur maximum^ ou glissement principal sur cette droite no?*male ou sur cette face, —Soit mp une petite face plane qui sera par exemple un des éléments d'une section transversale ampb d'un prisme, devenue aimj)^bi par suite des déplacements de ses points. Si 7nin| etmiU représentent ce que sont devenues la normale mn à cette face et une ligne quelconque tnu tracée dans son plan , comme ces deux lignes primitivement perpendiculaires sont généralement devenues légèrement obliques Tune à l'autre j si l*on prend in^n^ pour unité de longueur, la pro-

SUPPLÉMENT A L'ART. iV. GLISSEMENT.

(Du D* 169).

•up

jection m,g' de miWj sur m^u représentera ( S précédent ) le glissement sur mu et sur la nor* maie mn dans leur plan nmi/.

Nous i^appellerons quelquefois glissement sur la face dans le sens mu.

G^est» en effet, la quantité dont deux éléments correspondants nq^ mp de deux faces parallèles et très-voi*sines ont glissé Tun devant Tautre, estimée dans ce sens et rapportée à l'unité de leur distance. Nous appellerons glissement principal celui m^g qui a Heu suivant 7nj)|, projection actuelle , sur la face, de la ligne m^n^ qui lui était primitivement noinnale.

C'est la projection f sur la/ace, de V unité de longueur portée sur cette notmale ancienne. 11 est le plus grand parmi tous les glissements tels que 7n,g' qui ont lieu sur la face ou sur ses lignes génératrices m^u^ ou, ce qui revient au même, parmi les divers glissements sur une même droite mn qui est la normale à cette même face, dans les divers plans qui la comprennent. En effet m^g' est aussi la projection de mig sur m^u.

En sorte que si l'on appelle :

g le glissement principal in^g sur la face ou sur sa normale ;

g', g" les glissements m^g', m^g' dans des plans nmu^ nmv primitivement perpendiculaires entre eux ainsi qu*à la face , et suivant leurs intersections rectangulaires mu, mv avec celles-ci , ainsi que suivant leur intersection commune mn\

a Tangle ump que la première intersection mu fait avec la droite mp Vivant laquelle se projette sur la face, après les déplace-* ments, la ligne mn qui lui était normale;

on aura

g' = gcosa, g" = gain a,

Le glissement principal est résultant géométrique de deux glisse-

(Du D* IM).

ments dans des plans ou suivant des lignes à angle droit 11 mesure le glûsement relatif des éléments superficiels correspondants mpf nq de sections ou faces parallèles très-voisines a&, cd devenues Cj^j, Cjdi.

Le plan du glissement principal est aussi celui qui passe, après les déplacements , par la droite tangente à la normale ancienne 7Wi77j à une face et par sa normale nouvelle 7;iiA.

S 6. Efforts tangentiels. Ils sont proportionnels à la fois aux glissements dans leur sens et aux surfaces. Coefficient d^élasticilé de glissement. — Si , sur une portion finie mp = w d^une section

ou autre surface plane imaginée à Tintérieur d*un solide homogène, toutes les petites normales matérielles nmn sont supposées s'incliner, en devenant n^7nn^^ d'un même petit angle v^tnii^g et dans le même sens qui sera, diaprés les définitions du S précédent, celui du glissement principal mesuré par g, les écartements et rapprochements qui en résulteront entre molécules très-proches, situées de part et d'autre de la surface &> , développeront des actions dont les résultantes partielles seront les mêmes à travers tous les éléments superficiels égaux do) de cette face.

D'où il suit que la résultante générale de ces actions , protoquêe par un glissement principal constant g sur cette face, sera proportionnelle à la superficie eu.

Cette résultante ou action totale sera aussi proportionnelle à g en vertu du principe général de proportionnalité des efibrts à leurs effets très^petits, du $ 2 de la note du n"* 21, puisque ifous supposons que cette petite inclinaison des fibres sur la face eu est la seule modification qui rapproche ou écarte les molécules situées à de petites distances de part et d'autre de eu. • On aura donc en appelant :

P la résultante, décomposée (au besoin) tangentiellement à la

face eu ou projetée sur son plan G un coefficient constant dépendant de la matière du prisme,

P = Gtug.

SUPPLÉMENT A L'ART. IV» GLISSEMEIfT. 19^

(Dun'tôf).

De plus, la force tangentielle P aura, sur la face &>, la même direction que le glissement principal g si la matière est d'égale contexture en tous les sens transversaux ou parallèles à cette face, car il n*y a pas de raison pour que la résultante se dirige à droite plutôt qu^à gauche du plan dans lequel sMncline la petite normale mn qu'elle rencontre sur la face.

Si donc nous appelons :

g' le glissement sur la face» suivant une droite quelconque niu quj y est tracée, ou le glissement sur cette droite et sur la normale mn dans leur plan nmu;

P' la résultante des actions moléculaires, décomposée parallèlement à cette droite mu ;

aTanglepmu;

n y aura le même rapport entre g' et g qu'entre P' et P et Ton

aura

P' = Gwg'. :

On volt que Teffort tangentiel, estimé suivant une droite quelconque tracée sur la face co où il s'exerce, est égale au produit de la constante G par Taire u et par le glissement suivant cette droite. Cette constante G est ce que nous appellerons le coefflcieni eféïasiicité de glissement.

C'est le rapport de l'effort tangentiel — exercé dans un sens quel-

conque par unité superficielle au glissement sur la face dans ce sens.

Les expressions P =: Cug, P' = Gcog' des efforts tangentlols subsistent lorsqu'il y a, outre les glissements, des dilatations dans des sens perpendiculaires ou parallèles à la face u si la contexture est toujours supposée la même en tous sens au moins autour de ses normales, et symétrique par rapport au plan de (*> ; car, alors, les dilatations n'influent pas sur les résultantes d'actions moléculaires décomposées tangentièllement, comme il est facile de s'en convaincre.

% 6, La résistance à un glissement peut être regardée comme une résistance à une dilatation et à une contraction simultanées et

lé 4a

IM

SKCn:. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(DU n* tftt).

moilié moindreêf Ayàni lieu dans des directions rectangulaires qui font Vune et Vthdrs un ahgle demi^roit avec les lignes glissantes. -^ En effet Moiëilt mpi nq les deajc petites droites parallèles qui ont glissé rune âevftiit Tatttre de tinj «* qq^ , ou soit mpqn le petit rectàflgle changé AU petit parallélogramme (mpq^ni que nous supposons de même base et de même hautôUf afin dé simplifier eu abstrayant les dilatations des côtés ainsi que les déplacements généraux dans Tespace). Dans 00 changementi le point g s*est éloigné dû point m 9 et le point n s^est rappro^ié du point ^ LOS deax diagonales mq^ pn so sont donc , la premièro dilatée » la seconde contractée.) Abaissons pk perpendiculaire sur la premièro mq^ ot 9|Z sur son prolongement qL Et soient :

f = -^ la dilatation ou la proportion de Textension de cette tnq .

diagonale mp^ g-atîSïl^ glisseinebt (diaprés la définlUon S 3).

Les deux triangles semblables Iqq^^ kpq donnent la proportion pk pq mq pq mq

pk

mq

sJl

Mttls 10 f oppoft ^— dé la hauteur à rhypotéuuse du triangle rectangle mpq est le plus grand possible lorsque la perpendiculaire pk se confond avec la deml-dlagonale po du rectangle double , et la valeur de ce rapport est alors égale à 1/2, C'est donc pour pq = pnii ou dans une direction mq prise à AS degrés que le glissement pro^ duit la plus grande dilatation. Et cette dilatation est

bu là moitié du glissement

(DU Q« IftH).

La plas grande contraction de pn, deuxième diagonale, a lieu aussi quand elle est inclinée d*un demi-droit et elle a la même

grandeur |.

Tout glissement équivaut donc à une dilatation et à une con"

traction moitié moindres ^ suivant des directions faisant dans son

plan un angle dend^oit avec les lignes ou les faces sur lesquelles

il a eu lieu*

La résistance au glissement peut être r^ardée comme une résis*

tance à cette dilatation et à cette contraction obliques. C'est} si Ton veut^ la résistance^à la transformation de petits carrés en losanges et de petits \n\ cercles matériels anc en ellipses aj/iiCi parrcxtension d'une des diagonales ou d'un des diamètres à U5 degrés et la contraction de Tautre.

néciproquement une dilatation dans un sens quelconque, avec ou sans contraction dans des Sôns à angle dfolt, en allongeant ou aecoufclssant les côtés de petits rectangles formés par des lignes parallèles et perpendiculaires à ce sens, change en parallélogrammes les petits rectangles dont les côtés y sont incliaés^ et produit par conséquent des glissements; excepté dans le seul cas où il y aurait la même dilatation ou contraction dans toutes les directions*

S 7. Limite des glissements déduUe de la limite des extensions, dans les solides d'égale contextufe en tous sens. Limite des efforts tangeniielSk — Il suit de là que si Ton pettt faire supporter 4 une pièce solide d*une manièi^ permanente» sans danger d*énerva4ion et de rupture m6me éloignée* des tractions longitudinales capa* blés de Tétendre dans une proportion désignée ($$ 19 de la note du n"* 31 et 10 de la note du n° ll^i) par

et si Ton suppose sa matière telle que, dans tous les sens, cette li-* mite des extensions dangereuses soit la même que dans le sens longitudinal, on peut, aussi sans danger, faire glisser les uns devant

(Du n* f &9)

les auti*es les éléments de ses sections ou de ses fibres de quantités dont le quotient par leurs distances n'excède pas une proportion double, ce qui donne pour la limite des glissements

expression dans laquelle E représente le coefficient d'élasticité di extension et Ro la limite des tractions non dangereuses de cette ma* tière d'égale contexture eu tous sens , pour l*unité de la section transversale d*un petit prisme qui en serait extrait. Si donc nous appelons

T Teffort tangentiel capable de rompre immédiatement par glissement ;

Et, aussi par unité superficielle :

T. la limite des efibrts tangentiels qui peuvent être supportés sans danger pendant un temps indéfini ;

Cette dernière Xorce T. s'obtiendra en mettant pour le glissement g dans Texpression (S 5) Gg de TelTort tangentiel par unité de surface, la limite g' des glissements non dangereux dont nous

venons de donner la valeur := 2i' = 2 -rr ; car, en deçà de cette li-

El

mite très-resserrée, les efforts en général n'ont pas encore cessé d'être proportionnels aux effets ( S 2 de la note du n"* 21). Nous aurons donc

Le rapport des limites des efforts tangentiels et des efforts de trac* tion non dangereux est, ainsi, double du rapport des coefficients d'élasticité de glissement et d'extension, dans les matières isotropes ou d'égale contexture en tous sens.

T I« rapport g , seul détermlnable directement par expérience, des

eflbrts produisant la rupture immédiate par glissement et par exten-

sibn, peut en difiérer beaucoup. Aussi , pour avoir ^, nous allons

déterminer » au moyen de considérations de statique moléculaire.

Du o« t5t).

S 8. Détermination théorique^ pour les matières, d'égale coïi"

texture 1* Du rapport rr des coefficients d'élasticité de glissement

et d^ extension; 2* du rapport t) ($ 5 de la note du n* 21) des contractions transversales des prismes aux dilatations longitudinales qui les provoquent quand les faces ne sont pas pressées latéralement. — C'est, comme a dit Navier, au n" 1, « par le jeu des forces d'attraction et de répulsion mutuelle des molécules des corps qu'on rend raison des phénomènes de l'élasticité. » La pression ou tension intérieure résultant de l'action totale d'une portion d'un corps élastique sur une autre portion qui en est séparée par une petite face plane telle qu'un élément ab (figure ci-dessous) d'une de ses sections, n'est, ainsi, autre chose que la résultante de toutes les forces moléculaires qui s'exercent d'un côté à l'autre à travers la superficie de cet élément Or soient

M le centre de ce petit plan , qu'on peut supposer (pour fixer lès

idées) limité par un cercle; ta sa surface; r la distance Mm de son centre M à une molécule quelconque m

située à droite; X la distance de m au petit plan prolongé au besoin ; R l'intensité de l'action de deux molécules du corps à la distance

et dans la direction r; n le nombre des molécules contenues dans l'unité de volume du

même corps aux environs de M.

Pour avoir la résultante générale des actions moléculaires à travers co, additionnons d'abord toutes celles qui s'exercent à des distances égales et parallèles à Mm = r. Les molécules de gaucho dont elles émanent sont toutes contenues

Xl^^^"'^^^ / dans un cylindre oblique aôdc dont

jj /m

' la base est ti> et dont les arêtes sont

égales et parallèles à r, en sorte qu'il y a un nombre ncox de ces molécules. La somme de toutes ces actions parallèles et égales est

198 8ECT. I. BÊSISTANCB DES SOUDES.

(Dn n* 1S9).

fUùX . R«

Déeompoflte normalement à la Haoe-^^» oette somme ou résultante partielle aura pour Intensité

nwRx-

On peut donc représenter la résultante générale, ou Taotion moléculaire totale à travers cd» ainsi décomposée normalement» par

r la somme S s'étendant aux valeurs de r = M771 relatives à toutes les molécules m situées du côté droit pour lesquelles R — ne se ré-

dult pas i une grandeur insensible, vu le décroissement rapide de R quand la distance augmente.

Si on appelle pn cette môme résultante rapportée à Tunité superficielle de la face u, on a

Pa = nSR — .

Or, appliquons cette expression générale de la pression ou tension estimée normalement, à Tétat où se trouve le corps élastique s'il a éprouvé des dilatations très-petites

respectivement dans le sens de Mx normal à la face «d, et de deux autres lignes de coordoiînées My, }Az perpendiculaires entre elles et & Ma;, et par conséquent tracées sur «. Si nous appelons :

y, Z les proilectioss de Mm= r sur My, Mz;

et si, pour simplifier, nous supposons le point M resté immobile ainsi que les axes coordonnés (ce qui n'influe ni sur les écartements ou rapprochements moléculaires ni sur les forces quMis développent), le point m aura éprouvé respectivement dans les trois sens X, y, z, des déplacements

tx, l'y, i"t, .

dont les projections sur la direction de Mm, ajoutées ensemble ,

(Du n* ±SZ),

donnent pour Taugmentation très-petite Br de longueur de cette ligne r = Mm :

Les actions développées par les déplacements, ou les actions moléculaires en sus de celles qui existaient antérieurement et qui se faisaient équilibre, sont proportionnelles à ces augmentations de distance, et se trouvent représentées par Whr si R' est la dérivée de R par rapport à r. Mettant en conséquence R'Sr au lieu de R dans Tex-

pression p„ =? noR — et faisant n -^ = jR, quantité qui dépendra comme R de la grandeur de r et de sa direction, on aura simplement

On obtiendra des expressions analogues pour les actions totales

à travers des faces perpendiculaires respectivement aux y et aux 2,

décomposées perpendiculairement à ces faces ; actions que nous

appellerons

Pyy et |)„.

Faisons donc, vu la symétrie que la contexture est supposée avoir en tous sens avant les déplacements *

Sllx*=SjRy* = Slîz* = A, SRyV = SRzV = SjRx»y« = G ;

nous aurons pour les pressions ou forces élastiques à travers Tunité superficielle des trois faces perpendiculaires aux x, y, z, estimées normalement à ces faces :

Mais les coefficients A, G dépendent Tun de l'autre.

En effet si x' est la projection de Mm=r sur une nouvelle droite Mo:', bissectrice de Tangle zMo;, la symétrie ou Tégalité de contexture en tous sens exige qu'ont ait encore :

A = SHx*.

200 SECTION I. BÉSISTANCë DES SOLIDES.

(Du n« 159).

Or on a

x'* = " (X* + /ix'z 4- 6xV + ûxz» + z^).

Substituant dans Snx'* on devra mettre zéro pour les deux soiDûies dans lesquelles il entre des puissances impaires de x et z» car» on vertu de la même symétrie de contexture moléculaire de part et d^autre des plans coordonnés, ces sommes se composeront de termes égaux deux à deux au signe près. On auca donc simplement

ou

en sorte que lôs formules des pressions ou tensions normaieB wix trois flioes peuvent dtre écrites s

Or, supposons qu'il n'y ait de pression <^ tension que ûmom l9 sens Xy ou que *

• Pyy=0, p„=0.

Il en résultera

0 = t + 8t'-fi", 0 = t-fi' + S*"; d'où :

i'=z'' = — Tî.

Gela montre bien que lorsque les pressions latérales sont nnUes, un prisme d'une matière d^égale contexture éprouve djitasies deUx sens transversaux des contractions égales au quart de la dilatation longitudinale qu'on lui fait subir ; ou que, t) désignant comme à la note du n" 21 le rapport des contractions latérales à cette dilatation longitudinale, on a

(Du a" f &9).

Cherchons maintenant, par les mêmes considérations, le rapport des coefficients d'élasticité dergiissement et d^extensibn.

Si, an lieu de décomposer suivant x, ou normalement à la pBtltd. face ab = u), la somme (page 198}

n%iX . IV

deft actions 8*exerçant à travers u à des distances toutes égales et parallôles & Mm = r, on les décompose suivant y y on a

et, ^n désigntint par p^y ractlon totale ou pression Ainsi déconlposée tangentieilement à la face &> à travers laquelle elle s'exerte, pour Tunité superficielle, on obtient

Or supposons que le corps n'ait

éprotivé avcune dilatation dabs les

^ ^^ I BOBB ractangulairto x, y, g^ mais

ï^^xt-^^* que le pian zMx et tous ceui^ qui

lui sont parallèles aient tourné autour de leur Intersection avec le plan yMr d*un anglô trè&^petlt

qui sera évidemment un glissement sur les parallèles aux y dans les plans parallèles à yMx,

Dans ce mouvement, le point m, ayant tourné d*un petit arc dont X est- le rAyon^ aura chettiné, dans le sens y, de

xg;

ce qui, en«projetant ce déplacement sur Mm=r, aura produit un petit accroissement de r

8r = xg ^ .

r* On aura donc en mettant comme ci-dessus iW= JR — Br pour R

dans nS R ^

202 SECTION I. KËSISTANCK DES SULIDl^S.

(Du no. 169).

Pxy = gSRx*y' ;

ce qui montre que le coefficient de g est an de ceux que nous avons désignés tout à l'heure par G, et qu^on a

P^ = Gg.

Ce coefficient de glissement ou di élasticité tangentielle est é^l à celui d^élasiicité latérale qui affecte les dilatations transversales i\ i" dans la formule pxx = 3Gii + G»' H-Gi" de la pression ou tension longitudinale pxm d'un prisme d'égale contexture.

Mais, lorsque ce prisme dilaté longitudinalement ou suivant les x dans une proportion i n'éprouve aucune pression latérale, il est, comme on vient de voir, contracté latéralement ou suivant les p

et les z dans des proportions - 1 qui, mises pour — i\ — t" dans p„:=G(3i + i' + t'O donnent

Ce qui affecte »\ dans le second membre de cette égalité, doit être la valeur du coefficient d'élasticité d'extension E.d*aprè8 la définition de celui-ci. On a donc :

OU le coefficient de glissement égal aux deux cinquièmes du coefficient ou module d'extension dans les prismes dont la matière est d'égale contexture en tous sens (^).

Les expériences sur la torsion (voyez ci-après n° 162} n'y contredisent nullement car celles qui ont été faites Jusqu'en 1833

ont donné, moyennement, environ G = ^r E pour des matières où

cette égalité de contexture n'était qu'approchée.

(>} Od trouve à Doire Mémoire sur la flexion intérô au Journal de M. Liouville

en 48&6, art. 7 et 9, une autre démons ira tien simple de l'égalité du coefficient de

gllsaement à celui qui affecte les dilatations transversales dans l'eipretsion de la

4 G tension longitudinale, et du rapport - = - entre ce coefficient G et celui de la di-

laution longitudinale, (r. Appendices ci-après, p. 559, 565, 580, 647, 805.)

x' xy

Elle ne s'appuie pas sur les. expressions ci-deasus pjtx =nSu — , pr.y = mSh —,

SUPPLÉMENT A L'ART. lY. GLISSEMENT. 203

(Du n" flS9).

S 9, Rapport entre la limite To des efforts tangeniiels et la limite R, des efforts de traction dans les solides d'égale contexture. Comparaison à Vexpérience, — Si, dans Tégalité obtenue % 7 ;

nous mettons pour g- la valeur 3/5, à laquelle nous venons d*ar-

river par la considération des actions moléculaires dont les résultant^ constituent les pressions ou tensions intérieures normales, tangentielles ou obliques aux faces à travers lesquelles elles s'exer* cent, nous trouvons

T. = gR.

pour la relation entre les limites des elTorts capables d*ètre indéfiniment supportés tangentiellement et perpendiculairement par une même face matérielle. Elle a été trouvée (note (a) du n* 167 ci-après) par Navier à propos de la torsion, quolqu*il ne Tait pas aperçue dans le mode d'action qui fait le sujet des n*' 152 à 155.

On ne doit pas s'attendre à ce que ^ ou le rapport des efiforts tan-

gentiels et normaux capables de rompre immédiatement soit &/5 comme ^. Cependant les expériences de MM. Gouin et G'* ont

Ko

donné précisément ce rapport A/5 entre les poids produisant la rupture de petites tringles de fer par cisaillement etj)ar extension, car la moyenne de ceux-là a étédSOO kilogrammes, et, la moyenne de ceux-ci, AOOO kilogrammes par centimètre carré (*)•

S 10* Application de ces principes dans les cas exceptionnels où la section de glissement est astreinte à rester plane. — Une section ab d'un prisme sollicité transversalement doit rester à peu près plane lorsqu'elle est soumise à ce que M. Vicat appelle un encastrement complet (*) c'est-à-dire lorsqu'elle n'est pas seulement

(>) Leçons but la rétistance des matériaux de M. Morio, S* édUioo, 4SS7, n* 40, page 34.

(*) Annales des ponts et chaussées 1833, S* lemetlra, pagei t43, 185!, 947.

(Du n* 159].

contenue, mais scellée ou soudée avec une matière plus rigide, ou lorsqu'elle se trouve sollicitée parallèlement à son plan par deux forces opposées agissant à une distance extrêmement petite et tendant à trancher comme il arrive pour les sections des rivets dans le plan de contact des tôles quMls assemblent n y a aussi, comme Ta remarqué M. Vicat, certaines sections qui, sollicitées dans leur plan par une force à laquelle font équilibre deux autres forces extérieures agissant à distance mais symétriquement de partet d^autre, n^ont aucune raison de s^infléchir plutôt à droite qu'à gauche et qui doivent rester planes; comme par exemple la section milieu d^une pièce droite horizontale à laquelle est suspendu un poids à égale distance de ses deux extrémités appuyées.

Sur une de ces sections exceptionnelles, amb par exemple, Finclinaison n^mn des fibres ou le glissement g peut être regardé comme

I ayant la même valeur pour tous les éléments dco,

■"■' . en sorte que si P est la force transversale qui

^"^ ,.. — 5- l'engendre, on a (S 5)

expression où Ton peut mettre pour G, quand sa détermination n*a pas été l'objet d'expériences (voyez à la torsion) les 2/5 du coefficient d'élasticité E d'extension ($ 8).

Et la plus grande valeur qu'on puisse attribuer sans danger d^une manière permanente à cette force transversale P supposée agir de manière à ne pas produire autre chose que le glissement en cet endroit de la pièce sera

la constante T. étant déterminée, ou par des expériences directes, ou en la regardant comme égale (S 9) aux hib de la limite plus connue R<» des forces d'extension non dangereuses.

Mais le glissement est généralement variable dans l'étendue des sections. Nous verrons aux deux notes suivantes ce quHlfaut alors Jaire^ ainsi que dans les; cas où il y a à la fois glissement et extension ou flexion.

1S3. Revenons maintenant à la considération du solide dont la partie à gauche du point A est encastrée fixement, mais dont la partie à droite de ce point est libre , et sollicitée à son intrémité M par le' poids P. D'après les remarques faites dans le n* n, l'équilibre de la partie AM exige que les forces intérieures développées dans la section transversale A par l'action du poids P aient des composantes verticales dont la somme soit égale à ce poids; et il faut de plus que les composantes horizontales de ces mêmes forces fassent équilibre au poids P autour de Taxe horizontal correspondant aux fibres dont la longueur ne varie pas. Nous avons considéré jusqu'ici ce dernier équilibre seul ; mais dans le cas dont il s'agit il devient nécessaire de considérer également l'équilibre des forces verticales. Supposons donc ces forces verticales développées dans la section d'une manière conforme k ce qui a été expliqué ci-dessus (ce qui ne peut être bien éloigné de la vérité, surtout lorsque la longueur du solide est fort petite), nous écrirons d'abord

l'équation

P = DS.ie.

Et quant à l'équilibre de rotation, si nous représentons par p le rayon du cercle osculateur de la courbe affectée par l'axe Ion gitudinal du solide au point A, nous aurons, conformément k ce qu'on a vu dans l'article précédent, pour exprimer l'équilibre, l'équation

a désignant toujours la longueur AM, et E ayant la significa* lion indiquée n» 77. '

Lorsque le solide supportek*a sans rompre l'action du poids P, nous regarderons l'équilibre qui s'établit dans la section A comme étant exprimé par ces deux équations. Si la longueur du solide était presque nulle, on considérerait seulement la première. Si cette longueur était fort grande , on considérerait seulement la seconde. Dans les cas intermédiaires on les considérera toutes

deux, et elles donneront respectivement les valeurs des quantités S et p exprimant respectivement le degré d*aliongement des parties dans le sens vertical^ et le degré de flexion qui a lieu au point d'encastrement A (*).

(*)§!. Les sections transversales libres de se courber restent Jiormaies à la surface du prisme Jléchi* Autres théorèmes relatifs au contour des sections. — Au lieu de « ce degré d^allongement » dont parle encore ici Tauteur sans le définir, les principes de la note du n* précédent vont nous conduire à calculer les glissements ou les inclinaisons prises sur les sections par les fibreâ, et ^augmentation qui en résulte dans la fléché produite par Une force ployant en môme temps un prisme; àugmctitation dont la proportion est sen^ sibie lorsque le prisme est court.

Les glissements varient en général d'un élément à Tautre des sections transversales pVimItttement planes» ce qui tient & la oour^ buro ou au gauchissement quelles prennent généralement ^ car celles dont nous avons parlé au § 10 de la. note du n" précédent, et qui sont empêchées de s'infléchir » ne font qu'une rare exception.

Pour apprécier les circonstances de cette courbure prise par les sections , remarquons d*abord en général qn^ partout oîl la surface extérieure â^un corps d égale élasticité en tous sens est libre, ou fCéprouce que des actions normales comme la pression de Tatmosphère ou d'un autre fluide en repos, et aucune action (angentlelle, il n'y a, par cela seul (S 5 de la note du n* précédent) aucun glissement sur cette surface* Par conséquent» après la flexion ou autre petite déformation du corps, les petites lignes matérielles qui étaient primitivement normales à cette surface extérieure lui sont encore n^rmaleSk

Il suit de là . 1* Que ces lignes normales mn^ traoéei dans le plan primitif

d'une section mwm normale elle-même aux f^ — wy^ \ "i :>N arêtes d'un prismei restent normales au con- I r' j^m "il \ tour de cette section quelle que soit la petite

V \l'- l y modiflcalion que ce contour a éprouvée; ce

qui est d'accord avec ce que nous avons dit au S 3 delà note du n° 80 de la forme du contour après une flexion.

SUPPLÊUENT A L'ABT. IV. GUSSEllENT. 207

(Du n« t5S).

T Que leâ sections planes, en se gauchissant ou en se changeant en surfaces légèrement courbes, restent normales aux faces latérales, quel que soit lé petit obangemeut de fbrme éprouvé par celles-ci.

3*" Que lorsque la surface latérale du prisme a des arêtes saillantes (comme pour les prismes à base rectangle ou polygonale) les sections infléchies testent normales â ces arêtes deveniies courbes. £n effet, elles sont normales à la fois aux deux faces contigués qui se coupent suivant Ces arêtes.

U* Que le glissement principal sur les sections, aux divers pointa m, m, m de leur contour, ne peut être dirigé que suivant la tangente à ce contour aux mêmes points. Car comme les âbres ou lignes tnatérielles m/, ml primitivement perpendiculaires au plan de la section sont restées perpendiculaires aux petites lignes mn qui sont tracées sur la section et qui n'ont pas cessé d'être normales au Contour mmm, ces lignes ml devenues légèrement inclinées sur la section ne peuvent sV projeter que suivant Télément du contour oU la tangente.

Ces théorèmes sont également vrais , comme 11 est facile de le prouver, lorsque la contexture de la matière du prisme, symétrique par rapport aux sections, n'est égale que dans tous les sens transversaux et est du reste différente dans le sens longitudinal comme il arrive pour les bois et autres corps fibreux.

Ils ne peuvent concerner les sections à encastrement compleidont il a été question au commencement du $ 10 do la note du n"* 162| car à leur contour la flexion développe « sur les faces latérales , des résistances tangentielles longitudinales dues au scellement ou à la soudure. Semblable chose peut être dite pour les sections au contour desquelles se trouvent appliquées les forces extérieures isolées (comme pour la section des rivets dans le plan des tôles qu^llà assemblent), car cette application de forces a lieu par Tintermédiaire do corps qui (comme ces tôles) exercent sur la surface des frottements énergftiues. Ces sections exceptionnelles, susceptibles de rester planes, pourront couper obliquement tout ou parlld des faces latérales du prisme fléchi.

S 2. Loi de variation des glissements aux divers points des sec'-

(Du n« t5S).

Hons cTun prisme rectangulaire mince Jléchi de champ. Forme de doîicine affectée par les sections primitivement planes. — Toutes les autres sections, faites dans les parties des pièces fléchies où les faces latérales n'éprouvent que la pression do l'atmosphère, devront se gauchir pour peu que l'équilibre exige qu'il s'y développe des actions tangentielles, afin de pouvoir rester normales à quelques fibres du conteur et s'incliner sur d'autres fibres; en sorte que le glissement variera d'un élément à l'autre de ces sections.

Pour déterminerlaloi de sa variabilité, prenons le cas le plus simple, celui d'un prisme rectangulaire ABDC dont les sections transversales abb'a' aient une largeur aa' assez petite par rapport

à la hauteur ab pour que les glissements puissent être regardés comme égaux en tous les points appartenant à chaque droite mm' parallèle à la laideur aa\ ou perpendiculaire au plan de sollicitation AGP. Soient ab, cd les coupes longitudinales infléchies de la section abb'a* et d'une section très -voisine; ces coupes auront la forme de doucines rencontrant perpendiculairement les coupes AG, BD des faces supérieure et inférieure du prisme , auxquelles les sections seront restées normales ainsi qu'au faces latérales ($ précédent).

Posons l'équation d'équilibre de translation longitudinale de la petite tranche solide dont la coupe transversale est mm'p'p et la coupe longitudinale mnqp^ et qui est comprise entre ces deux sections ab, cd et deux plans parallèles aux faces supérieure et inférieure du prisme. Soient

5 et c la largeur aa' et la hauteur ab de la section ;

P la force qui agit transversalement en N à la distance ON = a de la section d'encastrement AB, pour fléchir le prisme, et qui fait en même temps glisser les sections les unes devant lesautres ;

SUfPLÊMËNT A l'art. 1Y. GLISSEMENT. 209

XfX-hdx les abscisses Oo , 0^ des deux sections aoby ctd;

VfV + dv les ordonnées om, op des deux plans comprenant pri*

mitivement la tranche, Torigine o étant prise sur la ligne oo'

des fibres de longueur invariable ot; P le rayon de courbure de Taxe OoN du prisme en o ; g le glissement principal sur les éléments de la section ayant

leurs centres sur la ligne mm'; g» le glissement au centre de la section , ou aux points de la

ligne oo'; £, G les coefficients d^élasticité d'extension et de glissement;

t3i=zb.c Taire de la section, et I = -^77 son moment d'inertie au-

tour de oo'.

D'après ce qu'on a dit au S A de la note du n" 152, g , qui est le glissement sur mo ou sur mn dans le plan nmo de ces deux lignes, sera aussi le glissement principal, dirigé longitudinalement, sur la face inférieure mm' x mn de la tranche; et le glissement principal sur la face supérieure j^p'xjTç sera, aussi par unité superficielle,

Comme les aires de ces deux faces sont égales à bdx^ la tranche se trouvera sollicitée longitudinalement, ou parallèlement à mn, sur ces faces, par les deux forces opposées :

« Gg.bdx et — G^g-f- ^drjWx.

Mais la même tranche ou réunion de fibres est tirée longitudinalement en arrive, sur la base de gauche pm^ en vertu des extensions provenant de la flexion, par une force dont la grandeur, pour Tunité superficielle, est, comme nous savons (n^ 77),

produit du coefficient d'élasticité d'extension par la dilatation -

des fibres au passage à travers lasection abb'a'. Et l'on a, pourl'équl^ 1. U

aïO SEGT. I. RâSiaTAeVGB DES 80UDES.

(Du n- tftS).

libre de rotation entre la force P dont le moment autour de oo' est P(<2 — -â;} et les forces intérieures E - dcD qui s^exercent à travers la môme section, Téquation

E - dw.p = — = P(a — x) ; P P *

en sorte que la traction en arrière - v par unité BuperAoielle de la

base mp de la tranche a pour valeur

La traction en avant sur Tautre base iiq s'obtiendra en remplaçant 2; par :e 4* dt. Donc, eomme ces deux bases ont pour aire bdv^ la tranche est encore sollicitée longitudfnalement par les deux forces opposées

— - (a'^x)t .bdt et Y* («*— ^"" ^)^ • ^dv.

Ajoutons ces deux forces à celles Gg6dr et — Gfg + ^dvj bdx

qu'on vient de trouver, on devra, pour l'équilibre de la tranche, avoir une somme 2éro. Il en résulte, en réduisant et divisant par le' volume bdvdx de la tranche :

Intégrant depuis d s 0» valeur pour laquelle g = g,| on obtient

ce qui montreque les glissements varient parabollquement des bases aa' ^ 66' à la médiane 00' de la section.

Oomme ils doivent être nuls sur ces dent bases (S préoédeut), on otoindra po«r te glissement eentral i en faisant g s 0» vss:sb|t

SUPPLÉMENT A l'AAT. IV. GLISSEMENT 211

(Du n« 158).

*" "" 2GI \2/ "" Z13I " 2 Geo'

d'oà pour les autred glissements