GI
m'-fhiU'-m'}
Cette expression satisfait à la condition d'équilibre de translation transversale qui exige que la somme des actions tapgentiellesGgctu sur la section soit égalé à la force P, car en remplaçant dm par Taire mm'p'p = bdv, et <o par 6c, Ton a bien
{V'*=ife'[«-M(5)>^-
(1) N'oiM avons à peioe besoin de éire que cette détetoiinatioD 4u glisteme/U cen' irai ou de i'InclinaisoD prise par Taie du prisme sur ces sections courbées en sur- CiCA eylindrique à base do douelne peut être donnée élémentairemefit dans tes cours d'Arts ei néliors. On eoDfoit racllemeoi que lot srctloni follieitées à gliMer Puae devant l'autre doivent rester normales aux faces du prisme qui n'éprouvent que la
pression atmosphérique, ou que le glisseinent g doit étr« nul pour v =db-. Et
si l'on appelle g| le glissement sur l'unité de la face supérieure pq de la tranche
mnqp, on voit aisément queU dilTérence g — g^ du glissement sur les deux faces
«m, pf , Mirfiiplié par leor aire ei ur G , doli, ponr Péqtlllbre de la iri««b«, êire
égale i rexcét dei traeilons fur scrteux bases mp, ng, excès égal i leur super-
V P X oU tel* Builipliée yar B -^ ass ■ ^ v, traction sur l'uBilè de la prinièrey ffloios
V, traction sur r uni té de la seconde | ce qui donne, en rédnluoi^
et mettant om pour v, l'expression t
c(g-gO=-j .mX^P,
qui idditionade k tootea eellet de Mèffid genre dcpiis <mm=:0 jusqa'à #m ss une
valear qaelcMit*0 ^ <1mm Um € (g- ^s) =r r pul*4ue la somae do produits
om X*"? <i'oB^ variable om = v par 8«a incrément est l'aire -• du triangle rec-
ungle ijocèlo dont elle est le côté. D'où l'on tire l'expressioa g. = - — en fai<»
saat V s= U densi-baulenr - ea néme tempa ^ue g =s 0 comat où viéal de voir.
SECT. I. BÉSISXANCE DES SOLiD£S.
( Du n« f 53).
Une analyse exacte prouve qu'on aurait encore g, = ^ — pour
une section rectangle dont la largeur n*est pas très-petite par rapport à la iiauteur, et aussi pour les points du diamètre vertical d'une section circulaire, si les fibres, en se dilatant longitudinalement, n'éprouvaient pas une contraction latérale (*); et qu'on tient compte de l'influence de celle-K^i en multipliant le second membre de
g, = H 7T- ou la fraction s par. .... 0,98; 0,9/i; 0,85,
2 ucu 12
lorsquela largeur de lasection rectangle<
1, 2 fois la haut';
ce qui suppose qu'on prend n
Pour une section circulaire, il faut prendre
et, pour une section elliptique, la même chose en multipliant la fraction 7/5 parl,0/ii; 1,035; 1,00; 0,9/i selon que la largeur esta
la hauteur comme » ;
S 8. Détermination de la forme courbe en cylindre à base de doucine affectée par la section après lajl&don du prisme. — Appelons x ^ fordonnée horizontale ms du
point quelconque m de cette
c surface ou sa distance au plan
eo normal à la courbe d'axe ot ;
la petite inclinaison j- de l'élément mp sur eo sera égale à Tinclinaison A^mr desa normale mk sur une parallèle mrk ot^ ou au*glissement g = kmn plus la petite inclinaison nnvr que
(>} On IrooYe eo effet an articles 49 et $7 de notre Mémoire sur la flexion, inséré au Journal de mathématiques pour 4856, des formules (les[demiéres de celles qui portent le n* 77 et le n* 405) donnant pour la force tangentlelle— p«s, la même
SUPPLÉMENT A ï/ART. IV. GLISSEMENT. 213
(Du no f&3].
la fibre mn peut avoir prise sur la fibre centrale oL Cette dernière inclinaison s'obtient en remarquant qu*à la dilatation longitudinale
de la fibre en m répond une contraction transversale rj - (r^ ayant P P
la signification de la note du n* 80), d'où résulte, entre les points m
u * f ^ ^"^ 1 v' r'pra— a:) , , ^
et 0 un rapprochement \ ri- dv =7) g- =tq -ô ~pï — ' ^® P^^"** ^
se sera rapproché du point correspondant ^ de Taxe, d'une quan^ tité pareillement exprimée mais avec— x— dr au lieu de —x ; en sorte que le point m se sera rapproché de plus que le point n^ de
d'où résulte, en divisant par o^=mn:^(Zx, une inclinaison
prise par mn sur oi. Ajoutant cette quantité au glissement g=
P /c' \ = 5g7 ( T*—^ ) trouvé S précédent, on a
ce qui donne, en intégrant de manière que x = 0 pour i;= o
3Pc r2t^ f j :'3G\ 85^1
G^est réquation de la coupe aob ou de la base de la surface cylindrique en doucine affectée par la section après la flexion du prisme par la force P. Chacune de ses deux moitiés est une parabole du troisième degré ou une courbe tout à fait analogue à la courbe d'axe OotN du prisme fléchi.
que nous appelons ici Gg, des expressions qui reviennenl ^ r --* 1 * — ( — ) 1
lorsqu'on y suppose nulle une quanlité-n qui y représente le produit de - par noire
rapport i\ cl- dessus des contractions latérales aux dilatations longitudinales.
21& SeCT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES. *
(DUQ'iftS).
Si la section rectangle a une base dont la grandeur approche de celle de la hauteur ou Texcède» Tanalyse prouve que la surface est coupée par des plans parallèles à oe non plus suivant des droites, mais suivant des lignes légèrement concaves vers oo'; ces coupes sont convexes si la sectiou est circulaire ou elliptique (Mémoire cité sur la flexion}.
S lu Flèche complète de flexion^ eu égard au glissement. — La force qui produit le glissement produit aussi ordinairement une flexion. On obtiendra les déplacements totaux des divers points de la pièce solide en composant, d'après le principe de superposition du S 2 de la note du n* 21, ceux qui viennent de la flexion, calculés comme on a fait aux SS 77 et suivants et à leurs notes, avec ceux qui viennent du glissement.
Par exemple làjlèche^ ou. le déplacement vertical total MN de
Taxe à l'extrémité libre d'une pièce encastrée de longueur a, s*ob-
Pa' tiendra en ajoutant à ôet^, valeur de cette flèche due à la flexion
OtéX.
seule (n* 86), ce qui vient de rinclinaison que le glissement central g, fait prendre à tous les éléments de la ligne d'axe sur les normales aux sections, ou le produit de ge par la longueur a. On a donc pour là flèche complète
D'où successivement, en mettant pour g, ses valeurs ci-dessus
-.-^ .-„, , ^ l'a* A . 21 E r»\ Pc» /, . 21 r» \
On voit que le glissement n'augmente sensiblement la flèche que lorsque la longueur a du prisme n'est pas considérable par rapport ^ sa hauteur c ou Sn
SUPPLÊHSHT A L'ART. lY. 6USSSMBNT. 215
1^4. A regard de la rupture^ on remarquera que, conforniémément aux notions présentées dans le n"" 112 , nous la regardons comme étant déterminée par un certain degré d'exlension acquis par les parties du corps qui se trouvent le plus fortement tendues. Or il est visible qu'en supposant ici Tétat d'équilibre de la section A conforme aux notions précédentes, les par- ^ lies placées à la face supérieure du solide dans cette section se seront allongées par Teffet de l'abaissement vertical de la partie AM et de la flexion de cette partie » d'une fraction de leur longueur qui est exprimée par
ou , en mettant pour ^ et p leurs valeurs tirées des équations précédentes.
, 36a* "*" EV*
Or la grandeor de cet allongement étant le terme qui détermine la rupture , il «''encuil que le poids qui peut rompre le solide est proportionnel à l'expression
bc
Cette formule satisfait aux cas extrêmes : si la longueur du solide est fort petite^ on négligera le terme aflfecté du rapport
-j, et la résistance à la rupture sera proportionnelle à bc^ si cette
longueur est fort grande par rapport à la hauteur c , on négli*
géra au contraire le terme jt;; etla résistance sera proportion <•
bc* nelle à — , comme l'indique dans ce cas l'expérienoe. Il est
vraisemblable que, dans les cas intermédiaires, la formule dont
il s'agit s'éloignera peu des effets naturels, lorsqu'on déteiminera
les coeflicients constants ^^r et 7^ de manière à satisfaire à des
résultats obtenus directemefft par Texpérience (*)•
(*} S !• Détermination de la dilaiaiion maocirnum qui se pro^ duit dans un sens oblique lorsquHl y a à la fois un glissement transversal et une extension longitudinale accompagnée de contraC" tion latérale. -^Eù partant du principe énoncé au texte « que la rupture est déterminée par un certain degré d'extension, » principe déjà posé ci-dessus (S /i de la note du n* 3) et qui nous a constamment guidé (note du n* 113) ; mais en l'appliquant avec ce qui a été établi sur le glissement aux notes des deux numéros précédents 152, 153, nous allons chercher une expression exacte des conditions de résistance à la rupture éloignée sous Taction de forces produisant à la fois un glissement et une extension^ accompagnée ^ comme toujours, de contraction dans un sens perpendiculaire, et pouvant varier d*une fibre à Tautre comme quand il 7 a flexion.
Cette recherche mérite d*autant plus d'attention que nous en ap« pliquerons le résultat à l'article Vl (note du n* 168), au cas pratique de torsion et flexion simultanées, où les glissements ont une influence capitale.
Considérons donc une fibre qui se dilate longitudinalement, se contracte transversalement, et, en même temps, s'iacline légèrement sur l'élément de section qui lui sert de base , ce qui produit un glissement sur celle-ci. Soient, avant les déplacements de ses points, mnqp^ et, après, mn^q{p^ la coupe, par le plan de
glissement principal, d'un élément de cette fibre, fs^ nous appelons
X, y les dimensions longitudinale et transversale pg, ?np;
i. A; les proportions de la dilatation de la dimension 2, et de la
contraction de la dimension y ; g le glissement sur la base mp ; i'i la proportion de la dilatation de la diagonale mq ;
(Du n* tftA).
et si, jusqu'à la ligne n^q^^ coupe nouvelle de la deuxième base,
nous tirons qr prolongement de |>9, et p^ parallèle à p^qi^ nous
aurons
qr » ùXf
et , en considérant que rs , égal au glissement g multiplié par pr (S U de la note du n*i52), peut être regardé comme égal à la même très-petite quantité g multipliée par pq = or, dont pr diffère extrêmement peu :
rq^ = rs^ppi = g.x — Ar.y.
Nous pouvons prendre pour unité de longueur la diagonale mq dont nous avons à calculer la dilatation ê|.
Pour avoir cette proportion mqi -^mq =^ t\ dont elle s^est agrandie nous n'avons qu'à projeter les deux petites lignes qr^ rq^ dont la valeur vient d'être donnée , sur le prolongement de mq^ et prendre la somme des deux projectiona Or puisque m^ = i, projeté sur pq , donne x^ qr == i. x se projetant sur mq prolongé avec lequel il fait le même angle» donnera i • x multiplié par x, ou tx*; et, par une raison semblable, puisque mq =: i projeté sur mp donne y, rgj = gx — ky donnera (gx — h/)y.
Nous avons donc pour la projection t\ de la dilatation qu'éprouve
le solide dans la direction oblique mq par l'effet de la dilatation
longitudinale i, de la contraction transversale k et du glissement g
simultanément :
t|±=ix* + gacy — Ary';
expression dans laquelle x et y, liés ensemble par
donnent le degré d'obliquité quelconque de mq.
Pour que le corps résiste d'une manière permanente aux effbrts simultanés produisant ces effets, il faut (S 2 de la note du n* 3) que la plus grande valeur de la dilatation t\ n'excède pas la .limite adoptée, représentée ci-dessus ($$ 12 de la note du n* 21; A, 5, 10 de celle du n* 113, et 7 de celle du n"* 152) par
., Ro 1 » ^ To
218 8ECT. I. BÉSISTANCE DES SOUDES.
(Da Q* fftA).
Nous pourrions troufer la Talear de x donnant cette direction de plus grande dilatation en remplaçant a; par cos a» y par sfn a , a étant Tangle nmq fait par la direction mq avec les fibres, et en galant à zéro la différentielle de i^ par rapport à a, ce qui donnerait
tang 2 a es 1—r pour déterminer Tangle « du maximum.
Mais, désirant continuer de donner cette recherche sous une forme élémentaire, nous écrirons ainsi la valeur de i^ :
et nous raisonnerons comme au S 10 de la note du n* 83 pour les moments d'inertieprincipaux; ou, plussimplementencore, nous remarquerons que x' — y* et 2xi/ peuvent être regardés comme deux côtés AB, AG d*un triangle rectangle dont Tb^poténuse BC est Funité (car, en considérant i — (x' — y^Y comme la différence de deux carrés, il est égal au produit de 1 + «• — ' y • = 2x», somme des racines, par is^+j/*sz2y\ différence des racines); puis» en portant sur les côtés AB, AG,
des longueurs kb » l±-^, A£? = |, nous verrons
que la projection, sur lliypoténuse BG, de la ligne brisée 6Ac, ou de 6c, sera
Or cette projection est à «m maxfmom lorsque 6c est parallèle à BC
et elle a pour grandeur alors bc lul-mème=V Â6*H-Âc'. On a donc :
Maximum de i, =^ ^^ + V^(4^)' + (|)^
Le radical doit toujours être pris positivement, en sorte que si g = o, le maximum est i ou la dflatation longitudinale lorsque t est positif. Mais lorsque i est négatif ou quand il y a contraction longitudinale
i^^k i 4- k on a le maximum de i^ =s: — 5 — = - Ar, quantité alors positive représentant une dilatation transversale.
(Daii«iftA).
J«e rapport de la cootraction latérale Af à la dilatation longltadinale t des fibres est celui que nous avons appelé i) et qui dépend de Ja coDtexture égale ou Inégale, en divers sens» de la matière qui est du reste supposée homogène ou la même aux divers points; en sorte que Texpression précédente revient à
Si Ton fait suocesslvement dans cette formule
elle donne, dans le cas particulier g = z, t, =r l,566i, l,55At, l,535t,
valeurs fort pea diiférentes entre elles. Et ron en obtient qui le sont bien moins encore lorsque le glissement g i| une grandeur ou plus considérable ou plus petite que la dilatation i (supposée positive) de la fibre. Nous pouvons donc faire constamment, comme si le corps était d*égale contextore (S 8 note n* 152} quand % est positif ou quand il y a dilatation proprement dite
et la formule précédente de la dilatation maximum en un point donné sera :
expre«iOD qui , lorsque g ■» ordonne tj = t si test positif, mais
qui donnerait t\ = — - i si i était négatif, car le terme y [ g H doit toiyours entrer pour sa valeur absolue ou positive comme on a dit tout à rheure, en sorte qull serait alors — ^ t.
s 2. Usage de cette détermination. Formule générale de résistance à divers genres d^efforis s'exerçard à la fois. — Pour faire servir & rétablissement de la condition de résistance permanente, ou de
(Du D« 154).
stabilité de la cohésion d*un solide à chacune de ses sections» cette expression de la plus grande dilatation entre les diverses droites matérielles qui se croisent dans tous les sens en un même point quelconque, il faut chercher la plus grande Taleur du second membre
\mw^'
pour les divers points de chaque section, et régaler à la limite des extensions non dangereuses qui est, avons-nous dit au S précédent.
En divisant Téquation par i' et conséquemment par son carré les deux termes sous le i:adical , on peut le remplacer ensuite par sa
valeur ^ dans le second terme, et par sa valeur -— dans le premier
ainsi que dans le terme hors du radical. L'équation de cohésion permanente devient ainsi
1 — ij Ef
1 s= la plus gnnde Taleur de
G^est la condition générale de résisiatice Sun solide pour une section quelconque à travers laquelle il y a des extensions longitudinales i (ou des contractions — i] et des glissements g.
Elle s'applique au cas où t serait négatif = — j et où , par conséquent, le terme hors du radical serait négatif pourvu que le radical soit toujours positif ou qu'on mette +ipour + i dans le premier terme qu'il recouvre.
Elle satisfait évidemment aux deux cas extrêmes :
i* Où le glissement g est nul, car elle donne alors (le terme pro* venant du radical étant toujours positiO :
!La plus grande des Talean de £i si i est positif; et la plas grande des Taleors de — Y)Ei=s v^ si i est négatif ou si— i=j est use contraetioQ loDgitodinale.
(ce qui est d'accord avec le S 7 de la note du n* 3).
(Da o«tftA}.
2* Où Textension i est nulle puisqu'elle donne
T« = U plos grande Talear de Gg*
Et elle doit fournir dans les cas intermédiaires , où t et g existent à la fois, et lorsque la contexture du solide n'offre pas en tous sens Téga* lité que nous avons supposée» toute Tapproximatlon désirable en donnant des valeurs convenables aux constantes R«, T., E, G, v] (*). Il est bien entendu qu'il faut en poser une semblable pour les diverses sections si les plus grandes valeurs de « et de g ne sont pas les mêmes pour toutes.
S 3. Application au cas ou la rupture peut -être déterminée par un glissement » sur une section libre de s*infléchir. — Ce cas arrive, par exemple :
i* Aux extrémités A, B d'un solide simplement posé sur deux appuis et sollicité au milieu par une force transversale 2P; car, à ces deux endroits A, B, le moment des forces qui tendent à fléchir est nul et la pièce ne résiste qu'au glissement
2* Au milieu G d'un solide qui se trouve sollicité transversalement en sens opposés par des forces ^égales P, P aux extrémités, où la direction de son axe est supposée fixée de manière qu'il ne puisse tourner sous leur action.
Alors on a simplement pour condition de résistance à la rupture éloignée
T, s= la plos grande taleur de Gg
ou I g, étant le glissement central
T. = Gg^
Or nous avons trouvé (S 2 de la note du n* 153), S» =^ ô g-
(1) Lt fomato eoMtmite pir M, irsTler pour latisfalre tuf si an caf atrèiow
KfJMit à peu prèi à 4 =\/ (?--] + l:r] ,Mià6e qu'on aorail ai i) éiaii ss4 • Maia 1^ M doit Jamala eieédor 4/8 ou atteindre 4 /t.
2ÎS2 SEGT. I. BÊSI8TAKCB DES SOUDES.
(DU n* IM).
ou p ;--, etc. selon la forme des sections. Nous aurons donc, pour
6 Gti)'
calculer la superficie u> à donner à la section menacée par simple
gliâseme&t sans flexion* ou pour calculer la limite de la force r
quand cette superficie est donnée
p z= ^ T,«* ii te seellMi mI bb recltagle bMiieonp moias htgè q^t hrat ; o
P sse :- T.o» si cU« est un Mrolê.
Et on divisera les fractions 2/3 et 5/7 par les nombres peu diiTérents de Tunité dont on a donné le tableau à la fin du même $ 2 de la note du n^ précédent 153 , si la largeur du rectangle n'est pas très-petite, ou si la section est une ellipse au lieu d'être un cercle.
Les dimensions des autres sections du même solide, supposées de même forme, seront réglées comme on dira aux S suivants.
La théorie ordinaire et connue des solides dits d'égale résistance [% e de la note du n' il3, ou ci-après section IV art. vii n** A98 à 50^}, en réglant le profil de ces pièces eu égard ft la seule flexion, donnait une superficie zéro à la section répondant aux deux points d'appui de la première pièce et à la section milieu de la seconde. La considération du glissement montre quelle doit être celte superficie et fait disparaître ainsi le paradoxe.
S A. Application au cas okilya en même imnpê glitêmmU et €xiensi(m ou compression êons JUxioné Formulent table nton^'que. — i* Soit un solide qui doit être , à Tune de ses sections, à la fois étendu pw une force longitudinale également répartie Q, et sollicitée au glissement ou cisaillement par une force traïunrersaleP. Désignant par u la superficie inconnue qu'il faut donner à cette section pour rendre le solide capable de résister, on aura :
t = ^ sur toute la section ;
g » ^ «ttsii sur toute la section si elle est astreteto à rester plane (S 10 de la note da n* 168) )
SUPI>LÉMENT A L'ART. 1T. GLISSEMENT. 223
( DU n* f &A).
Et : la plus grande valeur de g =s - ;t- ou ^ j^ si elle est libre
. 2 Geo 6 Già
de sMnfléchir, selon que sa forme est rectangulaire étroite ou qu'elle est circulaire.
Substituant dans Informulé générale du § 2 et multipliant par ci>, les coefficients d*élastleité E et G disparaissent et on tire pour cette superficie «0 chereliée
(Il
— r-ïr. + Vv"^s:/'*'Vî:''"if.''"BT:)-
En appelant :
(o'^ la superficie qu'il faudrait donner si la pièce n'était sollicitée à rompre que par extension ;
cii^ celle qu'il faudrait donner si elle n'était solicitée à la rupture que par glissement ou cisaillement transversal ;
comme on a » en faisant successivement P=i 0 et Q = 0 :
"=iC"=T:'^"2f;'^"5¥;'
la formule d'extension et glissement peut être écrite de cette marnière claire et commode
tù
ou, si »l=5î
expression qui peut être remplacée par le tableau suivant t
SEGT. 1. RÉSISTANCE DES SOUDES.
(Du n« iM).
Pour--=
Et pour — 7r =
0 I 1/4 1 1/3 I 1/î 1 V3 I 3/4 I 4/5 I I | 4/5 | 3/4 | 1/3 | 1/i I 1/3 | 1/4 | 1/8 jo
CD
On a -— =
El-T.=
ll,048|1,083ll,175|l,289|l,35l|l,3M|l,!UM|l,418tt,386ll,333ll,t35U^
2* Si la force longitudinale Q sollicite le prisme à la compres^ sUmet non à r extension ^ la formule du S précédent qui, en faisant i = — j prend, comme on a dit, la forme
devient, en remplaçant j par ^
"=--ï-B;+Vl~â-irJ+iT:''"3T:~5T:}-
D^où en faisant P= 0 et appelant tù" la section à donner pour résister à la seule sollicitation longitudinale ou à la compression
en sorte qu'on a dans le cas de la compression
ou, li 1) = T :
« = -|«''+Y/(§«-'JVco''«;
formule donnant ceci:
SUPPLÉMENT A l/ART. l\'. GLISSEMENT. 225
( Du n* f «4).
I Cd
Pour— =
tù'"
El pour — ;;- = tù'
Cd
on t — =
iù
Et -77 = co
Olt,O12|t,022i!,05Ojl,084'l,li0|l,i2511,n9ll,0361t,0<H>10,944|0.85i;0,80^
Les valeurs de -^ sont plus petites que Tunité quand &>'" est au-des-
co
sous de r II»'' ; leur minlnàum répond àio"' = 0,3»' et est égal h 0,8. On
voit ainsi qu'une compression longitudinale aide quelquefois à la résistance au lieu d'y nuire. Gela se conçoit , parce qu^elle diminue les écartements moléculaires provenant du glissement qui a lieu ^simultanément.
S 5. Rivet ou petit boulon^ comme exemple immériqve du cas (Pextension et glissement. — Par anticipation à ce que nous nous proposons de faire après avoir rapporté les tableaux d'expériences du complément des art. i à vi , nous donnons, ici, pour ne pas interrompre ce qui est relatif au glissement et à sa prise en considération , des applications numériques des formules précédentes.
On demande,' par exemple, la superficie à donner à la section circulaire d'un rivet ou d'un petit boulon en fer destiné à assembler des feuilles de tôle, en supposant qu'après le serrage de son écrou, ou après sa pose à chaud , il éprouve une traction Q = 1000 kilogrammes environ , et qu'il se trouve dans le cas de supporter transversalement, en vertu des eflTorts auxquels seront soumises les tôles, une force P = 1200 kilogrammes tendant à le rompre par cisaillement
Solution. En admettant que par chaque millimètre carré on puisse lui faire supporter d'une manière permanente un effort de traction Ro de 5 kilogrammes, et (S 9 note n" 152) un effort de cisaillement To des A/5 de R. ou de à kilogrammes, 11 faudrait donner an rivet ou boulon, s'il n'était soumis qu'à la traction, un<^ section dp
226 SECT. 1. RÊ»I8TàNCB DES 8OLIDB84
(Du no f«4).
iù=l 200 4-
— =-^ = 200 millimètres carres :
et sMl n'était soumis qu*au cisaillement , une section de
-T— = 300 millimètres.
On aura donc (1'* formule du $ précédent), eu'" = 200 , 0/' = 3tf0, g ... . \/ (a 200 j + (300)% ou , Section ejfectite à donnfr :
w = liOO millimètres carrés,
c'est-à-dire un diamètre de 0",02257.
On v^rra, $ 9, /i« exemple , un cas de compression et glissement.
. S 6. Application quand ily aà la fois glissement ^ exteruion et flexion. Premier cas^ où la section reste plane* — àSoit maintenant cette pièce sollicitée à la fois non-seulement à Textenalon par une force longitudinale Q et au glissement j>ar une force transversale P, mais, encore, à Inflexion par celle-ci, que nous supposerons, pour plus de simplicité, parallèle à Tun des deux axes principaux (note du n" 83) do la section u dont on cherche les dimensions.
Il faut considérer deux cas.
Suppo3ons, en premier lieu, que cette section soit de celles qui ne peuvent prendre aucune courbure ou qui sont astreintes à rester planes ($ 10 de la note du u"" 152). Si
I représente son moment d*inertie autour d*ane ligne qui y est tracée par son centre de gravité à angle droit sur la force transversale P ;
M le moment de P autour de cette ligne ;
v' la distance, à cette môme ligne , de la fibre la plus éloignée et par conséquent la plus étendue;
o \i Ton a d: ~- + ~ t?'{)our cette plus grande dilatation , le signe in-
férieur devant ôtro pris quand la force Q est comprimante ; et
P 7 r=r -- pour le gliFSoment sur la l>ase dp cette fibro.
( rfi)
surKÊmirr a l'art, i? . glissbubht. 237
(Du n» tftâ).
Substituant dans Téquation générale de résistance du S 2, on a
.=ii^
équation à laquelle on peut donner cette forme plus simple , en transposant le 1*' terme du second membre, élevant au carré sans développer, puis faisant passer encore le premier terme du second membre dans le premier, et décomposant ensuite le premier membre en vertu du théorème a* — ft* = (a + 6) (a — 6) :
En désignant par tû'\ ta" les superficies que Ton donnerait à la section w si elle n'était soumise respectivement qu'à la force longitudinale Q et qu'à reflfort de glissement P, et par r, v' des valeurs du moment d'inertie I et de la plus grande ordonnée v' satisfaisant à la condition de stabilité si P ne sollicitait qu'à fléchir; ou en faisant
P ^ ^,, M ^ I' T. *" * Ro ?
en même temps que
^ TSB o" si 0 «8t iHM Irution , R,
^ . «^«^ si Q est nne pression (§§ 7 rôle du n» 3, et 17 note du n» SOI);
i*équ|ttion ddvtom
Sapposons par exemple la section circulaire , et désignons par r son rayon cherché , et par r', r'^y r^" les valeurs qu'on donnerait à r si le solide n'était sollicité respectivement qu'à la flexion , qu'au glissement, qu'à l'extension ou compression. Gomme on a tt> = t^t*.
228 SFCT. I. RÉSISTANCE Dl^S SOLIDFS.
(DU n» 154).
I = — ,t;' =. ?V on obtient, en mettant pour co", co", ï', v' des expressions analogues et multipliant tout par kr*, si on se borne au
cas o\\ la force longitudinale 0 agit par traction et où r< =: tj, = - :
Comme r"^, ?•", 7*"* sont connus en chiffres par les expressions
^. = Tzr^. —■ = 7:r"% -- = -^ , cette équation donnera facilement R. To Ko û
la valeur du rayon chercher par une construction graphique, ou bien en tâtonnant par la méthode numérique des différences proportionnelles ou de double fausse position , appliquée successivement, et dont remploi deviendra plus prompt eu prenant les logarithmes des deux membres.
Si la pièce n'est sollicitée qu'au glissement et à la flexion, l'on a ;•"' = 0, et l'équation se réduit à :
{7-8 -. r'») (4r2 + r'») = /ir"*r».
Il n'y a que lorsque la flexion est nulle ou que -7 == 0 que l'équation se réduit au second degré et que la solution peut être directe (SS A et 5).
Si la section est un rectangle dont 6, c sont les côtés perpendiculaire et parallèle à la force transversale P, on a «d = 6c,
6 1 6c' tj' = ^, - = -g-; et, en accentuant comme précédemment les valeurs qu'on donnerait si la pièce n'était soumise qu'à chacun des trois genres d'efforts , on a une équation qui multipliée par /ii6V prend cette forme ;
(ftc« — 6'V'c— 6'c^) (à6c» 4- 6"'c^c + 6'c'») = 46"« c'^^c^.
Elle servira à déterminer l'une des dimensions 6, c de la section rectangle en se donnant l'autre, ou en se donnant une relation entre elles. Par exemple si Ton veut que c soit égal à 6 multiplié par un nombre donné quelconque, en faisante', c", c'" = 6', 6", 6'* multiplié par le même nombre ou rapport, et divisant l'équation par sa quatrième puissance, on a, avec des 6, précisément )*équa-
SUPPLÉMENT A l'art. IV. GLISSEMENT.
(Du 11* 154).
tion que nous avons eue avec des r pour le cas d*uue section circulaire.
Si Ton se donne Tépaisseur c, Ton a en divisant par sa quatrième puissance d* z=zd^ =: c"* = c^'* :
d'où, pour la largeur cherchée
qui peut aussi être donnée par le premier tableau numérique
du S 4.
Si l'on se donne la largeur 6, on a en divisant par 6* = 6'* = 6"" = 6'"* une équation en c qui se réduit , quand (f=0 ou quand la pièce n'est sollicitée qu'à la flexion et au glissemeut sans extension ou compression générale , à
d'où , une expression de c> :
qui se réduit à c* si c" = 0 et à c"* si c' = 0, et qui fournit du reste ce tableau numérique :
Pour --■ = r'*
On a -;T=r
1 1 i,iÛ2 1,207 1,425 1,575 1,651 1,
S 7, Observation pour le cas oli Von donne partout à la pièce' une éyale épaisseur. Il faut alors qu'^elle soit très-courfr pour que If qlissemjent ait une influence sensible sur la condition de ?*6V<V-
230 SBGT. I. RÊSUTANCB DES S0L10I8»
(DU n« 154).
iaîice. ^8ïi dam Texpresslon géuérale du $ précédent où il faut faire Q = 0 quand il n^y a que flexion et glissement
nous faisons passer - ^ bors du radical de manière à avoir Funité pour premier terme sous le signe, le second terme sera ( -£^ • rr* — il ; et si, pour M, nous mettons Pa, moment de ia
\ O I o M <wt? J
force P avec un bras de levier a, et, pour T», sa valeur tbéorique ^ Ro) nous avons
Cette expression se réduira à U. -, := Pa = M ou & Téqûalioa or^
dinalre de résistance à la flexion seule lorsque le second terme sous le radical sera petit devant le premier, de manière que la quantité
entre crochets excède fort peu » + ^ = ^« ^^» ^^ second terme,
pour une section circulaire de rayon r, vu que w = nr*, v' = r,
1 = y-, se réduira ^ ( r- ) , et, pour une section rectangle où
c bc^ / c \ *
w = 6c, r' = -, l = — - , à ( 5- j .On peut le négliger quand la hauteur 2r ou c du solide est moindre que le bras de levier a avec lequel agit la force qui opère en même temps la flexion et le glissement.
Il en résulte que lorsque la forme du solide doit être à peu près prismatique et que sa longueur ou pour mieux dire la distance du point d^application de la force à la section la plus exposée excédera la hauteur de la section, on pourra calculer ses dimensions comme si elle n^était que fléchie en négligeant le glissement.
C'est ce qui arrive souvent pour les dents d'engrenages, etc.
Mais il faut en tenir compte, comme nous avons déjà dit, si Ton donne au solide la forme d'égale résistance. Et, en tous cas, les èf-
SUPPLÉMENT A L'aBT. IY. GLIâSEM£INJ. 2ol
(Du u* 154}.
fcts de glissement sont comparables à ceuj (Textcmion et de compression générale qui sont produits par des forces du niôine ordre d'intepsité et dont on tient compte en général.
$ 9* Second cas (de flexion et de glissement simultanés)^ ok ia section peut sHr\fléchir librement. Alors il suffit de choisir' la plus forte des dimensions fournies par un double calcul. — Sup-* posons en second lieu que les sections aob de la pièce AB solli- Oitée transversalement par une force P puissent prendre librement la courbure dont nous avons parlé § 2 de la note du u" 163 et S 3 de la note du n* i5/i. Les fibres en a , les plus éloignées de la ligne o des fibres invariables sont les plus étendues en vertu de la flexion ; mais, diaprés ce que ttous avons vu, elles restent normales jl la section infléchie, et le glisse me nty est nul. D^une autre part, c^est au milieu do la section, ou en o , que le glissement est le plus fort; mais la flexion du solide n'^y produit ni extension ni compression. De plus, le calcul prouve (0 que lorsque la hauteur ab de la section atteint S'^'i^OS le bras do levier oB de la force si la section est rectangle, et à!^^*,S 9i elle est circulaire, le point dangereux ou de plus grande dilatation quitte brusquement les bords a et 6 pour venir très-près du centre o, dont il se rapproche encore plui à mesure que la hauteur do la section augmente par rapport au bras de levier.
Il en résulte que, dans ce cas, les effets de flexion et de glissement produits par une action transversale se combinent à peine ensemble , et que, pour avoir les dimensions à donner à la section, U iCy a gtt'd les calculer successivement comme si la pièce n était sollicité qu^à la flexion et comme si elle n'était sollicitée quau glissement transversal avec libre courbure de la section; et qu'à prendre le plus fort des résultats de ce double calcuL
Mais, d*après les tableaux des JS ^ ^^ ^ ^^^s lesquels les fractions dont les nombres qui y sont inscrits excèdent Tunité donnent la mesure de la quote-part nullement négligeable de celui des deux
(*) Mmoih Mf U énrtim ( Savanlt élraiiflcrsi 1. XIV), arl. 4^6, on bien art. i;i6 règle I,.
T62 SËGT. 1. RÉiiISrANCE DES SOUDES.
(Du II* ift4).
effets qui est le moins influent , Ton voit que lorsque la section est astreinte à rester plane ou encore lorsque, soit qu^elle reste plane ou qu'elle devienne courbe , le glissement a lieu simultanément à une extension ou une compression générale des fibres, les écartements moléculaires partiels se composent pour produire un écartement résultant qui est sensiblement supérieur à chacun, et il y a nécessité de donner aux sections des dimensions plus fortes que celles qui les rendraient capables de résister séparément aux deux genres d'effort
S 9, Applications numériques des formules des %% 6, 7, B.
1*' exemple. Flexion et glissement. On demande la hauteur c à donner à la section rectangulaire d'une pièce prismatique horizontale en. fonte» d'une largeur 0*,0i5=: 6, posée sur deux appuis à une distance de O'^fOd = 2a, pour qu'elle puisse porter au milieu une charge 2P = 2000 kilogrammes.
Solution. C'est la section milieu qui est la plus exposée à rompre par flexion seule. Or cette section n'a aucune raison de se courber plutôt à droite qu*à gauche : elle restera donc plane, et il faut pour calculer sa dimension verticale c, se servir de la formule de la fin du S 6.
La valeur c'. qui rendrait la pièce capable de résister à la seule
flexion serait fournie par n. -^ = Va, d'où en faisant 6 = 0,015,
a = ^, P = 1000, Ro = 7 600 000, l'on tire c'* = 0,0008,
La valeur &' capable de la faire résister au seul glissement sans courbure de la section serait donnée par T^b&^ = p, où b = 0,016, P = 1000 , et où , faute d'expériences spéciales on fera
T. = I R. = 6 000 000 ; d'où c" =? ~ = 0,01111, c"» = 0,000123467.
Au moyen de ces valeurs de c'* et r"*, la formule c^ = g C* -j- s ^^ +
"^ X/fs ^'* "^ 2' ^'0* + (I ^") * ^^ ^* ^^ ^^ S ^' relative à ce cas où l'on se donne la largeur b , fournira
SUPPLÉMENT A iJaRT. IV. GLISSEMENT. 233
(Ou n* i«4).
11 y a bien , à droite et à gauche de la section milieu , des sections qui s^infléchissent librement : mais, ainsi que nous avons dit S 8, Il n*y a aucun glissement sur la base des fibres les plus tendues ou comprimées , et aucune extension ni compression des fibrcs du centre où le glissement est le plus fort ; et la hauteur b à donner à la section doit être la" pi us forte de celles qu'on trouverait s'/7 711/ avait quejlexion et s'i7 7Î*y avait que glissement. Or, dans la première supposition , on aurait moins que ce que nous avons trouvé pour la section milieu^ dans la seconde, celie de glissement seul avec
libre inflexion, on aurait (S 3), bc = - — =. l-ôôqôôô "^ ^»^®®^^
3^' d'où c = ' = (y",01667, valeur moindre que celle 0,03 que
nous avons trouvée tout à Theure pour la section milieu non infléchie.
Donc il faut donner à la petite pièce prismatique en fonte une hauteur de 3 centimètres.
2"* exemple. Même jyièce en lui donnant un profil (légale résislaitce, — Soit alors sa hauteur ou épaisseur variable désignée par z au lieu de c, pour la section à la distance x d'un des deux appuis.
On trouverait, s'il n'y avait que flexion , Ko -g- = Px; et, avec le
gUssement, on trouverait pour la valeur de z* en x, la dernière
équation du 8 6 en faisant c* = a:', c'* = -r^, c"* = («-£) si les
sections étaient partout astreintes à rester planes ; mais, vu la faculté
qu'elles ont généralement de s'infléchir (S 8}, le double profil para-
hz^ bolique donné par l'équation R. -r- = Px en supposant la face in-
férieure horizontale, conviendra à la pièce en faisant n» = 7500000, 6 = 0,015, P = 1000 partout, excepté î"" auprès de son milieu X = a = 0,015 où il en résulterait une épaisseur z = 0,0283 tandis qu'on doit avoir, comme nous venons de trouver, z - 0,03; 2* auprès des appuis^ ou l'équation donnerait l'épaisseur 2 — o et où
SEGU K RÉSISTANCE DES SOUDES.
(Du n» ift4).
Ton doit avoir, comme on vient de dire, z = 0,0167. Prenant, en ces trois points, les ordonnées z = 0,0167, z =: 0,03, z = 0,0167 et faisant de petits raccordements pour aller joindre tangentîellcmcut la parabole, on aura le profil d*égale résistance.
3"* Exemple. Flexion et glissemenL Boulon de poulie, — " On demande quel diamètre doit avoir le boulon horizontal d'une poulie destinée à porter deux poids P=r 800 kilogrammes, et qui a un jeu horizontal de 3 millimètres dans sa chape ?
Solviion, Ce boulon est comme une pièce posée sur deux appuis A, B et portant, Intermédiairement» deux poids P en deux points G, D distants Tun de l'autre de Tépalsscur CD de la poulie* Si celle-ci restait bien à égale distance des deux branches de la chape, ou si on avait toujours AG = DB, les réactions des appuis A, B seraient égales chacune à P, et le moment M tendant à la flexion serait Px AC=Px 0",0015 dans toute la partie CD qui fléchirait ainsi en arc de cercle. Le glissement serait nul entre G et D; mais, immédiatement en deçà de G et au delà de D, le glissement aurait lieu en vertu d'une force transversale P. Mais la > poulie peut se porter tout d un côté, ou toucher la branche B de la chape en restant à 3 millimètres de la branche A. Gomme ce jeu est toiijours petit en comparaison de l'épaisseur de la poulie, les deux ap* puis peuvent toiyours être considérés comme portant chacun la moitié de la charge totale 2P. Le boulon, à sa section la plus exposée, qui est la section G, est donc sollicité à fléchir par un moment M = Pa = 800* x 0,003= S*",/! , et à glisser par une force transversale P = 800S
Gomme cette section peut librement sMnfléchir en doucine, il y a lieu (% 8} de calculer son rayon r successivement comme s'il n'y avait que flexion et comme s'il n'y avait que glissement, et de prendre le. plus fort des deux résultats. Dans la première hypothèse on aurait, le coefficient de résistance permanente R« étant 6000000 :
^ = R„ Ç =Pa = 2,/i; d'où r» =
SUPPUilHlNr A L'ART. IV. GUSSBIIBMT. 235
(bu D« i«4).
Dans la deuiième l^ypotbèse, celle du glissement avec libre infl0Kk>D, on aurait, vu que laseotlon est circulaire ($ 3).
secuon n^=. — = —-^ ^^^, ^-=TÔÔÔÔ' '•=^-.««»«2.
Cette seconde valeur étant la plus forte, on doit adopter le diamètre 2r = a X 0,"00862 = 17*",2, qu'il sera prudent de porter à 3 centimètres, vu qu*il s'agît d'une pièce sujette h s'user.
4"* Exemple* Compression et glissement. Rais de roue de voifui-e. — Quelle superficie faut-il donner à la section milieu des rais de roue d'une charrette destinée h traîner une charge de 10,000 kilogrr:nimBS dans des chemins de traverse ?
Solution. Si la charge de 6,000^ par roue est supposée porter toujours au moins sur deux rais à la fois , à cause de la rôpai*titlon produite par la jante, chaque rai sera comprimé longitudinalement ; à chaque tour, par une force de 2,500S En admettant (voy. plus loin) que pour une longueur d'au plus 12 fois l'épaisseur, le bois de chêne debout supporte d'une manière permanente, par centimètre carré, une compression de Aû^ que nous réduisons à 35^ vu les chocs, Il faudrait donner une section w'"= 70 centimètres carrés.
Mais chaque rai sert en outre à transmettre horizontalement , comme Ta remarqué M. Poncclet [ci-dessus g 1 de la note n" 152), par deux actions transversales opposées, la force du tirage à la bande eu contact avec le sol , ou la résistance de celui-ci à Tcssieu. Cette traction ou cette résistance horizontale est le 1/20 de la charge sur un terrain médiocre; mais, afin de résister aux coups de collier accidentellement nécessaires pour franchir les obstacles, il est bon de compter sur 1/8, ou sur 625 kil. La superficie nécessaire peur résister au glissement résultant de celte action transversale
sur une section libre de s'infléchir en doucine sera
Si l'on prenait pour T. les 6/5 ($ 9 do la note n" 152) de la résistance permanente R. du chêne à l'extension dans le sens des fibres, qui est (voy. plus loin) 2^ par millimètre carré ou 200^ par centi-
236 SEGl. 1. RÉSISTANCE U£S SOLIDES.
(bu II* ilM).
mètre, on aurait To= 160. Mais la résistance à la rupture par extension dans un sens perpendiculaire aux fibres n^est (voy. idem) que le 1/13 de ce qu'elle est dans le sens des fibres , ce qui donnerait, si la contexture était en tous sens ce qu'elle est dans le sens trans-
versai To=-T^= 12^,3. Diverses considérations théoriques portent
à penser (*) que le rapport de T, à G a une valeur moyenne proportionndle entre celles qu'il aurait si la contexture était , en tous sens, successivement ce qu'elle est dans chacun des deux sens; si l'on admet la même loi pour la valeur de T. elle-même, on prendra T,== \/ 160 . yr- = Uh ; mais on verra que des expériences sur
la rupture du bois par torsion font adopter environ To = 30. Il en résulte, pour la surface de section capable de résister au glisse-
ment, ct)"= ~ — = 31 centimètres carrés.
La valeur (J û) w = — 1*^'" + V/ (| wA + 1»"" à donner à la
su-
perficie de la section du milieu du rai , pour résister simultanément aux deux efforts de compression et de glissement» sera en conséquence
Cl) = 73 centimètres carrés.
Quant aux sections autres que la section milieu , comme la pièce y est soumise , en outre, à la flexion par la force transversale 625^, censée appliquée au milieu du rai, l'on déterminera leurs dimensions pour chacune des deux moitiés par la formule (S 6)
Ro = — ~ + -j- de manière à résister à la fois à la compression
et à la flexion, M^étant le moment variable Px, produit de la force P =: 625 par la distance x de la section milieu à la section que l'on considère, dont v' est la demi-épaisseur et I le moment d'inertie, et l'on se tiendra à ces dimensions sans considérer le glissement si (S 8) elles donnentune superficie plus forte que celle de 73 centime-
(•) Mémoire j«r (a tonton de» prhme», I8tt5, arl. t4 , t7, U«.
ART. V. TOBSION. 237
155. Lorsqu^au lieu d*une pièce encastrée par une extrénf)itéy on considérera une pièce posée horizontalement sur deux appuis et chargée au milieu (Fig. iO), les mêmes considérations pourront être appliquées , en concevant que a désigne la moitié de la distance des appuis^ et P la moitié du poids placé au milieu de la pièce (*).
