ARTICLE V

DE LA RÉSISTAIfCR d'U!^ CORPS PAISMATIQUB A LA TORSION.

lott. On peut essayer de former la théorie de ce genre de résistance au moyen de considérations analogues à celles qui ont été employées pour la résistance à la flexion.

Soit (Fig. 12) un solide prismatique encastré horizontalement à l'une des extrémités. Supposons qu'une force P agisse à Tautre extrémité avec le bras de levier Bc pour tordre le solide autour de l'axe Gc\ imaginons que par l'effet de la torsion, un diamètre bb de la section extrême^ sur laquelle* agit la force P^ se soit transporté en b'b'. Le diamètre correspondant AA de l'extrémité encastrée n'aura subi aucun déplacement ; et on doit concevoir que tous les diamètres des sections intei*médiaires ,

très carrés qu'on vient de trouver pour résister à la compression et au gliflsement seuls. ^

Il est bien entendu, au reste, que la section sera renforcée suivant Tusage , auprès du moyeu et auprès des jantes, pour obtenir Tencastrement parfait, ou la constante normalité du rai à leurs deux circonférences.

Il sera bon aussi , vu les hypothèses quMI nous a fallu faire pour arriver au résultat o =: 73, d'appliquer le même calcul à quelques voitures analogues, déjà construites ou éprouvées , ce qui servira à faire une correction par la comparaison.

;♦) Voir la note du n* 15ft.

238 SBGT. I. llfiSIftTANCfi DIS SOLIDES.

teAsquedd, se sont déplacés proportionnellemant à i«ttr distance Ce de l'extrémité encastrée. Par l'effet de ces déplacements, les molécules qui, dans deux sections transyersales consécutives , étaient avant la torsion vis^à-vis les unes des autres, ojfit été éloignées Tune de l'autre d'une quantité proportionnelle, i« à la distance de ces molécules è Taxe Ce; â** à la différence des angles parcourus par chaque diamètre dans deux sections transversales consécutives , différence proportionnelle à l'angle bch'y et réciproque à la longueur Ce du solide. On peut supposer, la torsion étant censée très- petite, que les résistances naissant des déplacements relatifs sont proportionnelles à ces déplacements. Le moment de la résistance qui a lieu dans une section quelconque du solide , doit d'ailleurs élrc égal au moment du poids P. Considérons une section transversale quelconque, et nommons

a la longueur du solide, depuis la section fixe AÂ jusqu'à la section bb où agit la force P ;

6 l'angle bcb' décrit par les diamètres de cette section extrême, angle qui est supposé fort petit;

r la distance d'un point quelconque d'une section transversale au centre e de cette section;

<P l'angle de la ligne r avec un diamètre de la même section ;

r = /{cp) l'équation delà courbe qui forme le contour de la section ;

R le bras de levier Bc avec lequel la force P a^t pour produire la torsion;

G un poids constant pour chaque espèce da corps, peprésmitant la résistance spécifique à la torsion.

L'élément de l'aire de la section transversale placé à l'extrémité du rayon r étant d^r . r, on aura

G - dtprfr . r* a

pour la résistance provenant de la torsion qui a lieu dans cet

AIT. V. TOBSION. . â39

élément ; et pour exprimer l'équilibre entre le moment de la force Py et la somme des monœuts des résistancos semblables^

^ Jo Jo

ou

(*)$!. Moment dHnertie claire (Tune section. Le moment de torsion ne lui est pcis généralement proportionnel, — M. Persy, dans ses leçons à Técole d'Artillerie et du Génie de Metz, a appelé moment polaire le moment dinerlie d'une section autour de son centre de graviié^ ou autour de Taxe perpendiculaire à cette section paMant par ce centre* Si on appelle

J ce moment;

d(u les éléments superficiels de la section cd;

I et r ses moments d'inertie autour de deux axes coordonnés

rectangulaires des u, des v, tracés sur la section par le

centre;

on a simplement pour le moment d'inertie polaire :

J = /r'dw ; ou comme r* = t?« + w' :

J=rl + r.

G^est ce moment qui se trouve désigné, dans le texte, par

I ■ da>fdr.r^=^ \ df,j L/(9)]S en sorte que Texpression donnée Jo ' Jo ^*

pour PR revient à G - J.

G'est seulement lorsque.la section est un cercle que le moment polaire J est plus facile à calculer directement (n* suivant 157, ou S i de la note du n" %à) que les moments 1 = Jv^dta, V = fu^dto eonsidérés dans la théorie de la flexion. 11 n'est donc pas besoin , pour le» autres sections, d'avoir recours A la coordonnée angu-

(Du ii<> !&•].

laire ?. Par exemple, pour la section carrée que Fauteur considère

au n"" 158, comme le moment d'inertie I = F autour d'une médiane

estfn"* 81) j^, ona, de suite, en doublant, -^ = J*

Mais Texpression PR = G - J donnée dans le texte pour le moment

(le torsion ou le moment PR des forces qui font tordre, n*est exacte, comme nous allons voir, que lorsque la section est circulaire, ou encore lorsque la section est de celles qui sont astreintes, par exception, à rester planes et normales à Taxe de torsion.

S 2. Zxz cause de la résistance à la torsion n^esi pas dans le changement de longueur des fibres longitudinales devenues des hélices. Remarque de Thomas Yaung, — Il ne faut pas croire, d'après ce que semble dire d'abord Navier, que les résistances intérieures développées sont dueskVéloignefnent mutuel ou à Taugmen-

tatîon de distance dos molécules qui faisaient partie d'une même file longitudinale; on voit que c'est, en définitive, & Véloignement de leurs deux projections sur un plan perpendiculaire à l'axe qu'il regarde chaque résistance partielle à la torsion comme proportion-

nelle. Cet éloignement - r acquis par les projections, primitivement coïncidentes, de deux molécules à l'unité de distance sur une même file, revient à la projection d'une longueur = 1 de la file sur le plan primitif de la section^ ou au glissement principal (note du n* 152, S k) qui a lieu sur la section à la distance r si elle est restée plane et perpendiculaire à Taxe de torsion.

Quant à la quantité dont deux molécules non projetées se sont éloignées^ elle ^t, pour l'unité de leur distance primitive

si les sections dont les molécules font partie sont restées & la même distance 1 l'une de l'autre; et si elles se sont rapprochées d'une quantité k^ contraction supposée de l'axe du prisme, il reste pour la dilatation éprouvée par la fibre située à la distance r de Taxe

(Du n« !&•].

Voyons quelle serait la résistance à la torsion que produiraient, seules, les forces Edw ( — — A: J développées par de pareilles dilatations des diverses fibres, dont lès sections sont d«>. il faudra d*abord, pour Téqullibre longitudinal , que la somme de ces forces soit nulle, ce qui donnera, en supposant la section circulaire d'un rayon r, et en remplaçant dw par 2T:rdr, superficie de la couronne dont tous les éléments dto sont à la distance r de Taxe :

i*r /OV* \ 0»r*

La somme des moments, autour de Taxe , des mêmes forces ou efforts de traotion, s'obtiendra en multipliant Tlntensité "Edtù ( ô~t~~'7~t)

de Tune d'elles par - r, cosinus de l'angle qu^elle fait avec un plan

perpendiculaire à Taxe, puis par r qui est son bras de levier si Ton néglige rinfluence des contractions latérales accompagnant les dilatations longitudinales, et en sgoutant tous les produits. Remplaçant encore dw par 2;w*dr pour intégrer de 0 à r afin d'opérer cette addition, on obtient pour le moment total des résistances des fibres qui, devenues hélicoïdales, se sont allongées vers la circonférence et accourcies vers le centre

avec un nombre très-peu différent à la place de E si Ton tient compte d'une manière approchée des contractions latérales.

Depuis longtemps Young, sans donner ce calcul, avait remarqué que si la résistance à la torsion résidait dans l'action d^ fibres longitudinales ainsi étendues vers l'extérieur et (pour l'équilibre) contractées vers l'intérieur, cette résistance serait comme le cube

de Vangle de torsion ' ; d'où il concluait, puisqu'elle e&t d'après

Texpérience proportionnelle & cet angle* « qu'elle doit dépendre

2ft2 SEGT. I. AÊSISTANCE DBS SOLIDES.

(Du n« !&•).

principalement, si ce n'est entièrement, de la rigidité ou de Vadhésion latérale qui s'oppose à la déirusion des particules, c'est-à-dire (g 1 note du n* 152) à ce que nous avons appelé le glissement (<)•

Dans les cas que nous considérerons exclusivement » la torsion - est très-petite. Lai. partie du moment de torsion que nous venons

rE /O \ •

de calculer (et qui serait quadruple , ouégaleà-*-r* f-j si les

deux bases du prisme étaient maintenues à la môme distance) est donc tout à fait négligeable devant l'autre ; les fibres, qui ne se sont dilatées que de quantités très-petites du second ordre, peuvent être regardées comme n'ayant pas changé de longueur, et la contraction latérale est aussi nulle ainsi que le changement de volume du cylindre tordu.

Mais si la torsion -, ou l'arc mesurant pour un rayon = i, la rotation relative de deux sections à Vtmité de distance n'est pas très-' petite , cette partie du moment qui varie dans un autre rapport que la torsion et que la h* puissance du rayon r peut être influente et il peut y avoir en même temps une diminution sensible du diamètre et du volume. C'est ce qui a eu lieu dans diverses expériences de M. Wertheim, où cette diminution du volume a été trouvée proportionnelle au carré du rayon.

S 3. Cette cause se trouve dans la résistance au glissement des sections Vune devant Vautre ou des fibres les unes contre les autres; out ce qui revient au mènie ^ dans la résistance à rallongement et à raccourcissement des diverses lignes matérielles hélicoïdales in-clinées à 66 degrés sur Vaxe de torsion. Première conséquence si la section reste plane, — Si donc , par une petite torsion , les fibres élémentaires ou fibres longitudinales de molécules telles que mn^ pq^ comprises entre deux sections consécutives sont devenues mn^, pq^f la cause de la résistance développée ne doit pas être cherchée dans

(*) J course of lectures on nat tirai Philosophy and the mecanical Arts; LOOdoD, 4807. Vol. I, lecture xiii, p. 439.

Nous D'avons, en français, que les mois intrusion, intrus, qui Tiennent du mémo radieal que te mot loilti defruâere, cha^Mr, pounser dehon.

(Du n« !«•).

les augmentations de longaenr très - petites du second ordre qa*elles ont éproavées, mais dans les inclinaisons qu^elles ont été obligées de prendre sur les seo tions , d*où est résulté un glisse* * ment relatif des éléments super-

ficiels correspondants pm , qn de ceiles-ci , et , en même temps , un glissement relatif des fibres mn , pq elles-mêmes; glissements qui exigent une certaine force pour être opérés. Ce sera, si Ton veut (puisque tout glissement revient, comme on Ta vu au $ 6 de la note du n** 152, à une dilatation et à une contraction dans des sens à 45 degrés), la résistance à l'allongement de la diagonale pn du petit carré pmnq et À raccourcissement de sa diagonale mq, allongement et accourclssement qui sont petits du premier ordre puisque leur pro-