TlTlt

portion est ^ — ^ comme on a vu.

2 mn

Il en résulte que si les deux sections consécutives pma^ qnb res^ tent planes et normales à Taxe de torsion, comme le glissement

relatif — ^ de leurs deux éléments db> dont les centres sont en m* mn *

n à la distance r de Taxe, a pour grandeur —, et donne lieu à une

résistance dont Tlntensité est, G représentant le coefficient d^élastlclté de glissement du S 5 de la note du n** 152 ,

6r G-dw, a

on a bien , en multipliant par le bras de levier r et en intégrant pour toute la section, la valeur suivante du moment de torsion

G-(r«(iw=:G-J.

Cette expression, conforme au texte, est exacte lorsque la j^tion du prisme est circulaire , car comme une pareille section n>i aucune raison de se courber plutôt en un point qu^en un autre éga» lement distant du centre, ni de prendre un bombement général

2kl\ SECT. I. RÉStSTANCE DES SOUDES.

(DU n« t&O).

•plutôt d*an côté que de Tautre, elle doit être plane après comme avant la torsion.

Elle peut encore être appliquée quelle que soit la forme du contour de la section, dans certaines circonstances exceptionnelles où elle est astreinte à rester plane (§ 10 de la note n" 152) ou empêchée de se gauchir, ce qui a lieu par exemple dans les prismes que M. Yicat appelle infiniment courts^ ou de longueur nulle, qui sont sollicités à tordre par des forces agissant infiniment proche du plan de leur encastrement dans une matière rigide.

S k» Courbure que prennent par la torsion les sections transver^ sales primitivement planes lorsqu'elles n*e7i sont pas empêchées et que leur contour rHest pas circulaire. Conservation de leur normalité à la surface extérieure latérale du prisme tordu. — Mais , dans tout autre cas , c'est-à-dire lorsqu'une section non circulaire sera libre de se courber, elle ne restera pas plane , et les glissements n'y

seront pas représentés par - r, en sorte que le moment de torsion

ne sera pas porportîonnel au moment d'inertie polaire J = /r*d(>>.

Nous verrous même qu'il est égal à G - multiplié par une quantité

constamment moindre que J.

Rappelons en effet ce que nous avons dit (§ 1 de la note du n** 153), à savoir qu'aux points où la surface latérale d'un prisme est libre , ou soumise simplement à une force normale comme la pression atmosphérique, il n'y a, à l'intérieur, si la matière est d'égale élasticité, aucun glissement sur les éléments Superficiels de cette surface; par conséquent les petites lignes matérielles tracées primitù vement sur ses sections normalement au contour et par conséquent à cette même surface extérieure , restent normales à la surface et au contour quel que soit leur petit changement déforme. Il en résulte qu'après une torsion les arêtes du prisme devenues des hélices doivent (comme toute autre ligne tracée sur la surface extérieure) se projeter, sur la section, normalement 4 ces petites lignes normales, et par conséquent tangentiellement au contour^ en sorte que le glissement principal sur les sections à leur contour ne peut être dirigé que suivant les éléments de ce contour.

ART. V. TORSION. 2/|5l

(Du II" 1511).

Or toate hélice se projette, sur un plan perpendiculaire à son axe , suivant un cercle dont le centre est cet axe, et par conséquent normalement aux rayons vecteurs qui en émanent 11 faut donc , si la section d'un prisme tordu reste plane et perpendiculaire à Taxe de torsion, que son contour soit partout normal aux rayons vecteurs, c^est-à-dire que ce contour soit un cercle.

11 n'y a, ainsi, que les sections transversales circulaires qui restent, après la torsion, dans les endroits où la surface est libre, planes et perpendiculaires à Taxe de torsion. Toutes les sections ayant une autre forme se gauchissent ou changent leur plan en surfaces légèrement courbes , coupant normalement partout la surface latérale après que celle-ci est changée de forme par la torsion.

On peut le vérifier expérimentalement, du reste, en tordant un prisme de caoutchouc à base carrée ou rectangulaire . On verra les côtés primitivement rectilignes de ses sections transversales s'ùifléchir en S , en restant normaux i^ux quatre arêtes saillantes devenues des hélices qui doivent^ en effet , couper normalement la surface courbe affectée par la section^ puisque chacune d'elles est Tintersection de deux surfaces contiguês, normales Tune et l'autre à cette surface d*après ce qu'on vient de dire.

On peut également s'en convaincre au moyen d'un petit appareil permettant de tordre simultanément, autour d'un axe intermédiaire, deux prismes ou cylindres distants et parallèles, supposés, solidaires ou astreints, par des liaisons rigides, à se regarder constamment parle même côté, ou à se comporter comme un seul corps. On verra (et on conçoit facilement qu*il en doit être ainsi) que les bases s'inclineront en sens opposé , sur leur plan primitif commun, de manière à rester à peu près normales aux axes partiels, ce qui exclut la conservation de la forme plane de la section totale qu'elles composent; et de sa normalité à l'axe de rotation commun et intermédiaire (voyez plus loin}.

S 6. Expressions des glissements provenaftt à la fois de la courbure des fibres en hélices et de la courbure des sections transversales primitivement planes d'un prisme tordu, — Supposons donc qu'une

SEGT. I. RÉSISTANCE DBS SOUDES.

(Dun* !«•}.

section horizontale AEB d'an prisme vertical dont le centre est en O ait pris, au point M dont les coordonnées transversales sont u et Vf une petite courbure de manière que rms soit» en projection verticale y la coupe par le plan vertical MU mené parallèlement à Taxe des abscisses Ou, et qu^en môme temps la file verticale de molécules qui se projetait hori* zontalement en M se soit légèrement inclinée et courbée en hé-

lice» autour de Taxe 0 du prisme, de sorte qu'une petite longueur de cette ligne se projette horizontalement suivant Tare très-petit MN dont le centre est en o , et verticalement suivant la ligne pr^-» que droite mn. Appelons!

r = Vw" + 1?« le rayon vecteur OM du point M ;

0 la torsion (ce qui a été appelé - ci-dessus) ou Varc d'un rayon

= 1 mesurant la rotation relative de deux sections du prisme à Vunité de distaiice lune de Vautre;

g le glissement principal sur la section en M, ou la projection , sur son plan tangent en ce point, de Tunité de longueur portée sur la tangente à la ligne matérielle qui lui était primitivement normale ;

g', g'^ ce glissement estimé suivant les coordonnées u, v, ou la projection de la même unité de longueur sur ce que sont devenues deux parallèles à ces coordonnées , menées sur la section par le même point M ; en sorte qu'on a'g* = g^ + g'^, vu que ces deux lignes n'ont pas cessé d'être sensiblement perpendiculaircs ;

z L'ordonnée verticale mk du point m de la section courbée i ou sa distance au plan horizontal ok passant par son oentre o ;

( Du D» !&•}.

dz » = — - la pente ou rinclinaison très-petite, au point (M, 7«), de

la coupe rîns ou de sa tangente mt sur ok ou sur le plan horizontal;

dz ; = -p la pente , aussi en M , de la section dans le sens v, ou de

la coupe de cette surface par un plan vertical parallèle aux ordonnées v.

Si la section $talt restée plane et horizontale , on aurait les glissements

g=rOr, g' = — Or, g"=:Ou: •

car, mn étant pris pour unité de longueur, sa projection borizouo taie MN = Or serait le glissement sur la section , et NPM étant un petit triangle rectangle semblable au triangle OKM dont les côtés sont M, r, r, onauraitbieng' = — MP = — Ot?, g'^ = NP = Ow.

SI, d'un autre côté, la section s'étant courbée , la fibre en M était restée verticale , le glissement g' serait la projection ind^ sur la tangente mt , de l'unité de longueur ma portée sur cette verticale ma ; projection qui ne serait autre chose que la mesure du petit angle d'inclinaison imu de la tangente mt sur Thorizontale muj en sorte qu'on aurait

Les valeurs effectives de g' et de g'^ d'après le principe de composition géométrique des déplacements très-petits, et par conséquent d'addition algébrique de ceux qui sont estimés dans le même sen?, sont sommes de celles qui viennent d'être trouvées dans ces deux hypothèses. Et c*est ce qu'on voit bien sur la figure pour le glissement g' suivant les II. En effet, il est mesuré par mq, projection de »nn= 1 sur la tangente mt; or mq^md-^qd^ et <jfd = «a = PM. On a donc, au point (M, m), pour les glissements suivant les coordonnées Il , V, dus à la fois à rinclinaison prise par la fibre et à l'inclinalson prise par l'élément de la section :

g' = T-Ot?, g"=:y-|-Ow. .

2^8 SËCT. I. RtSISTANOË DES SOLIDES.

(Du n» lAS).

Et, par suite, pour la grandeur du glissement principal ou résultant sur la section :

g= s/(t^^^WTlJTW*'

Ces glissements g' et g" sont aussi , comme on Ta tu au $ /i de la note du n* 152, ceux qui ont lieu sur la fibre en M, dans les plans respectivement parallèles aux u et aux t?, ou les glissements, estimés verticalement ou longitudinalement , qui ont lieu sur les faces verticales menées en M parallèlement aux r et parallèlement aux tu

S 6. Condition générale que doivent remplir^ en tous leurs points^ les surfaces légèrement courbes dans lesquelles se changent les plans des sections des prismes tordus* Nullité de la somme des cour^ bures de deux coupes à angle droit. Expression de cette condition par une éqxuxtion différentielle» — Supposons que toutes les sections d*un prisme aient tourné uniformément Tune devant l'autre d'angles égaux aux produits de 0 par leurs distances restées les mêmes ainsi que les distances mutuelles transversales des points de chacune,

mais que ces points aient éprouvé de petits

p"""""\ déplacements longitudinaux, les mêmes

j^r^ N. pour ceux qui se correspondaient primitL-

"*.' ^" ** \ vement sur une même parallèle à Taxe, de

*î \ manière à faire prendre aux surfaces de

i( — : ; toutes les sections la même forme courbe,

' Soit m7iqp la base d'une fibre ayant une largeur mn = du et une épaisseur mp = dv et supposée terminée, avant la petite déformation provenant de la torsion, par des pla;ns mn, pq et mp, nq parallèles à Taxe de torsion 0 et respectivement aux coordonnées t^, v du point r/z.

Établissons Téquation d'équilibre de translation longitudinale de la petite portion de cette fibre rectangulaire contenue entre deux sections très-voisines. On suppose qu'elle n'éprouve aucune traction longitudinale ou parallèle à l'axe, et on abstrait sa pesanteur. Les seules forces longitudinales s'exerçant sur les quatre faces latérales mn^pq^ mp, nq^ sont des actions tangentielles provenant des glissements, aussi longitudinaux, qui y ont lieu, ou des petits degrés d'obliquité pris sur les arêtes par les lignes primitivement

(DU n" t««).

normales aux faces. Elles sont égales (S 5 de la note n"* 152) à ces glissements multipliés par un même coefficient G si la contexture est égale dans tous les sens transversaux.

Or le glissement sur la face mp, estimé iQpgltudinalement ou dans le sens de Tarête m, a la môme grandeur, au point de m de la section, que le glissement sur la section , estimé suivant la ligne }Hn perpendiculaire à cette face latérale /np, puisque ce sont les projections, nécessairement égales, sur chacune de ces deux lignes primitivement orthogonales (Parète m et le côté mn) de Tunlté de longueur portée sur Tautre, ou puisqu'ils ne sont autre chose que le petit rétrécissement éprouvé par leur angle droit.

C'est le glissement appelé g' au $ précédent.

L'action sur la face latérale mp de la fibre, décomposée longi* tudinalement, est donc, par unité superficielle,

L'action sur la face adjacente 7nn, décomposée aussi longi tudinalement, est par la même raison

Gg".

Comme il s'exerce, sur les faces opposées nq^ pq^ des actions lopgitudinales opposées à celles-ci , la condition d'équilibre est, eu supposant mn = mp, qu'on ait zéro pour la somme des quantités dont le glissement sur nq excède le glissement sur mp et dont le glissement sur pq excède le glissement sur mn, ou qu'on ait

du dv '

ce qui, en mettant pour g' et g" leurs valeurs i — Ou et j -f Om du

S précédent, donne

di . dj dû'^di-^'

ou l'équation aux dérivées partielles du second ordre

du* "*" dv* ""

Mais nous exprimerons cette condition sans cesser de raisonner d'une manière élémentaire si nous appelons :

(DU n« 156).

ij la valeur que prend la pente i de la surface courbe de la sec* tion dans le sens u quand on passe du point m au point très-voisin n sur une même parallèle à u ; ou rinclinaisoo , sur Tancien plan 'de la section, en ce dernier point n, de la tangente à la coupe de cette surface par le plan vertical mené en m parallèlement à la coordonnée u ;

ji de môme la valeur que prend la pente j dans le sens v, quand on passe au point jp, supposé à une distance mp = mn du point m sur une parallèle à v ;

L*équilibre exigera que la somme des actions longitudinales G(ti — Or), GO'i + Ou) sur les faces ng, pq, égale la somme des actions respectivement opposées G(t — 6v), G{j + Ou) sur les faces mp, mn. Les termes en 0 disparaissent et il reste

La signification géométrique de cette équation générale trèssimple est facile à saisir.

Elle montre que la surface peu courbe affectée par la section du prisme tordu doit être telle qu'à partir de chacun de ses points la pente croisse autant dans une direction quelconque qu'elle décroît dans une dir'ection perpendiculaire, ou que, si on la coupe par deux systèmes de plans orthogonaux menés parallèlement h l'axe de torsion, les lignes courbes qui en résultent aient , sur un plan perpendiculaire au même axe, des inclinaisons dont Tune augmente justement de ce dont Tautre diminue lorsqu'on passe d'un point quelconque où deux d'entre elles se croisent à des points voisins également distants sur l'une et sur l'autre coupe*

En sorte que les courbures très-petites de ces deu^ coupes soient partout égales et opposées.

S 7. Démonstration plus directe de cette propriété générale des surfaces courbes affectées par les sections transversales des prisTnes après leur torsion. — Dans la torsion d*un prisme, supposé vertical pour fixer les idées, les lignes matérielles verticales se courbent, et les sections horizontales se courbent légèrement aussi. Les petits déplacements relatifs des poipts d'une petite portion du

▲HT. V. TOJISION.

solide sont résultants géométriques de ceux qui seraient dus séparément à la seule courbure des lignes verticales, les sections restant planes et horizontales, et à la seule courbure des sections, les fibres ou lignes de molécules restant verticales et droites ; et les actions exercées longitudinalement sur une fibre ou un élément prismatique vertical quelconque sont sommes de celles qui seraient développées séparément par ces déplacements composants. * Or les actions qui proviennent de la seule courbure des files verticales de molécules en hélices de même pas et de mémo axe se font équilibre. On le voit facilement en divisant le prisme en fibres

dont les bases soient de petites portions de

secteur abdc comprises entre deux rayons

5^ vecteurs Ooc, Obd et deux arcs de cercle

y^^^^'-^^ 06 , cd ayant leur centre sur Taxe 0 des

,^;___ hélices; car la fibre n'est pas sollicitée

^ .. tangentiellement à ses faces cylindriques

ad, cd, puisque les lignes teUesque Oac,Ohd qui leur étaient normales leur sont encore normales ; et, comme la base est restée, disons-nous, horizontale, la fibre est sollicitée par des forces contraires Justement égales sur ses faces égales oc, 6d, qui s'inclinent également toutes deux sur leurs anciennes normales restées horizontale»

Les tea4jinces à la translation verticale ou longitudinale des fibres ne peuvent donc venir que de la seconde cause , ou de la courbure des sections supposée avoir lieu seule. Or considérons une portion de fibre supposée maintenant ^ base carrée, dont les arêtes sont ainsi restées verticales, mais dont les sections primitivement planes se sont changées ^n surfaces légèrement courbes. Soient

A^nA', BmB' les coupes de la section à égale distance des deux bases, par les deux plans verticaux à égale dislance des faces latérales. Il y aura sur ces quatre faces des actions tangentielles proportionnelles aux petits degrés d'obliquité pris sur leurs plans par les coupes qui leur étaient primitivement perpendiculaires ; ces actions décomposées longitudinalement seront proportionnelles aux obliquités estimées longitu-

252 SëGT.I. RÊSISTAMGE DES SOLIDES.

(DU n» !&•).

dinalement aussi. En désignant donc les faces latérales, égales en superficie, parleurs centres A, A', B, B', la face A' est sollicitée par une force de bas en haut proportionnelle à Tobliquité qu^a prise en A, sur la verticale, la ligne AmA' prolongée, ou par une force proportionnelle à Tinclinaison , sur Thorizon, de la tangente en A' à cette courbe. La surface opposée A est sollicitée de haut en bas par une force proportionnelle à Tinclinaison possédée , de même, parla tangente en A. La même chose peut être dite des faces B', B et des inclinaisons, sur Thorizon, des tangentes à la courbe BMB' aux points B' et B.

Donc, pour l'équilibre, la différence des pentes ou inclinaisons de la coupe AA' aux points A' et A doit être compensée par la différence des pentes ou inclinaisons de la coupe BB' aux points B' et B.

Or c'est précisément ce qu'exprime Téquation (i| — i) -f (ji—j)=0

ci dessus, qui est la même chose que ^ + 7^ =^ ^ ^^ Q^^ Téqua-

tion aux dérivées partielles ^ + ji = ^ si les côtés des bases

carrées des fibres sont pris parallèles aux coordonnées transver* sales u^ V des points de la section.

$ 8. Condition particulière aux points du contour des sections des prismes tordus. — Il faut, avons nous dit, vu la nullité supposée de toute action tangentielle et par suite de tout glissement sur les faces latérales du prisme, que la section courbée les coupe normalement, et que les lignes matérielles qui étaient primitivement normales à ces faces latérales leur restent normales ainsi qu'au contour de la section et aux arêtes devenues des hélices, d'où il suit que ces hélices devront se projeter sur la section^ ou sur ses plans tangents f tangentiellement au contour*

Or un élément du contour dont la forme est donnée par une équation entre les coordonnées u et v, a pour projections

du sur l'axe des u, dv sur l'axe des v.

La fibre en hélice se projette sur le contour dans la direction du glissement principal qui a pour projections

% — 6u sur Taxe des m, j + ©m sur l'axe des i-.

(Du n* !&•).

Pour que ces deux directions soient les mômes il faut que

dv j + Qtf. dû '^ t — 6t?'

en sorte que la condition particulière aux points du contour qui

d^z d}z doit servir, avec la condition i,— i -f-^j— ^ =.0 ou ^ + ^^5 = 0

relative à tous les points de la section, à déterminer la forme courbe de la surface, est

{j + 0 M)dM — (i— Or)dtJ = 0,

S 9. Actions tangentielles sur les sections. Moment de torsion. Détermination générale de la torsion quand on donne ce Tnomenf, — Si un prisme a éprouvé d*un bout à Tautre une torsion uniforme et très-petite 0 en sorte que toutes ses files longitudinales de molécules se soient changées en des hélices ayant le même axe et un

même pas -g- , et si les plans de ses sections transversales sont devenus des surfaces courbes satisfaisant, en tous leurs points, à la condition générale ou indéfinie {%% 6 et 7)

(^i-0 + C;i-7) = o ou g + g = o,

et, de plus, aux points du contour, à la condition particulière ou définie Cg 8),

t; + ew)dtt— (ï— M^î?~0 ou {^ + ^ySdu-- l!^^^\dv — ^,

les éléments d^ des sections éprouveront des actions tangentielles

G {i — er)d<D = G [ ^ Or j rfw dans le sens u,

au + ^u)dv = G^ ~ + Oîf jdw dans le sens v.

Réciproquement si, les faces latérales étant supposées n'éprouver aucune action, les éléments d^ des bases extrêmes <•> d'un prisme

25ft SECT. I. HtelSTANCB DBS SOLIDES.

(Da n» !«•).

sont sollicitées par les forces tangentielles dont nous venons d^éorire les expressions, dans lesquelles z et par conséquent t et J sont des fonctions de 2^ et t? dépendant de la forme du contour et satisfaisant aux conditions indéfinie et définie qu'on vient aussi dénoncer, il y aura équilibre dès que ce prisme se sera tordu uniformément d*un petit angle 6 par unité de longueur.

En appelant M^ le moment de torsion^ c'est-à^^ire le moment total, autour de Taxe, des forces extérieures appliquées aux bases, ou des forces intérieures s'exerçant à travers une section quelconque et qui leur font équilibre, on aura, en supposant que ce moment fasse tourner de u en v, ou de droite à gauche pour un observateur adossé à Taxe du prisme :

, = G \ (g"dco.M— g'dw.r) = G \ [(j + ^u)u—{i''^)v]d^ Jo Jo

Si les forces qui font éprouver à un prisme une torsion toijjours supposée très-petite^ sans être distribuées sur les éléments des bases extrêmes tout à fait comme Texîgent les expressions ci-dessus des actions tangentielles, et même sans agir sur ces bases, sont appliquées tout auprès des extrémités d'une manière, symétrique par rapport à Taxe du prisme, supposé être l'axe de torsion, de manière à former des couples dont les moments aient toi^'ours la valeur M| qu'on vient de donner, et si le prisme a une longueur très-grande par rapport à ses dimensions transversales, un raisonnement comme ceux des $$ 6 des notes des n*' 21 et SO relatives à l'extension simple et à la flexion, et qui sont tirés de la presque indifférence du mode d'application et de distribution des forces, suffira pour convaincre qu'en exceptant des points très-rapprochés de ceux où agissent les forces qui font tordre, le prisme se comportera de la même manière que si les forces avaient été appliquées et distribuées conformément aux expressions G(t — 6v]dcd,

Il prendra donc d'un bout à l'autre la torsion 0 supposée trèspetite.

Lors donc qu'un prisme est soumis à l'action d^un couple M| autour de son axe, il faut en général, pour déterminer pa torsion •,

(Du n* IM).

ÎDtégrer l'équation aux différences partielles j^ + t^ = ^> *vec

la condition au contour (-^ + Om ) du — (^ — 6» j di? = 0 particularisée pour la forme donnée du contour de la base; et après avoir déduit, de Texpression trouvée pour z^ celles des pentes

^ =r t , j- =^', affectées aussi de Tinconnue 9 , les substituer dans

Texpresslon ci-dessus du moment M^ , ce qui donnera une équation dont on tirera la valeur cherchée de 0.

S 10, Contours de sections , en nombre infini ^ pour lesquels on obtient immédiateinent la forme de la surface courbe dans laquelle la torsion change leur plan* — L'intégration dont on vient de parler, pour une forme donnée du contour, peut être difficile et même Impossible. Elle ne s'opère, quand la section est rectangulaire, que par séries transcendantes (voy. ci*après). Mais on n'a pas besoin d'intégrer ni même, en quelque sorte, de se servir des signes de différentiatlon, en résolvant (ce qui suffit généralement pour les applications) le problème inverse , consistant & se donner la fon-me de la surface courbe de la section , ou seulement les expressions de ses deux pentes i et y, et à chercher les formes correspondantes du contotcr.

En se bornant ici aux formes algébriques entières, il est facile de vérifier que l'équation générale suivante de la surface courbe des sections primitivement planes d'un prisme ayant éprouvé une torsion 0, équation où C|, c,, c, ..., c',, g',, g',..., sont des constantes absolument quelconques pouvant être nulles en tel nombre qu'on veut :

et qui donne pour les glissements i— Ot?, j + Ou :

,dz ^(— » + *C,v-h 3c,.«u» + 4c^(3m«»— «»)-+- 5C5 (4»V— 4«i»») -f-... j

* ~rf»"" ''^ (+c'i+îc'juH-3cVy— i^)+4c'4(ii»-3Mt;*)+5cVy— 6«*t'«+r*)+... r

,,<&( Ci + ÎC^ 4- 3Cj(tt«—v«)H- 4c4(tt»—3t/t^ -f 6C8(tt*—6t««t;«-f v*) + ... j

( Du D* 1 AS).

répond aux contours représentés par Téquation suivante, où la constante K du second membre peut recevoir toutes les valeurs possibles, en sorte qu'à chaque surface répond une infinité d^^ contours :

ié'4-t;*

-*€',»— cV2ttt"—c'5(3tt«t?—t;»)—c\(4M»r—4«i;3; — c'B(6uS^40i»V+r»)+ ... = K,

En effet, sans invoquer d*autre théorème d^aaalyse infinitésimale que celui qui est exprimé par

(i + e)'' — 1 = 72 e qoand e est infiniment petit C),

on peut en donnant, dans la valeur générale de 2, des accroissements infiniment petits successivement à u et à v et en divisant, par ces accroissements, ceux qui en résultent pour z, trouver immédiatement les pentes i^j, et, par suite, les expressions qu'on vient d'écrire pour g'= i — Ou et g"=j + Ou. Ensuite, en faisant croître de quantités infiniment petites et égales, u dans la première expression , et v dans la seconde , on a zéro pour la somme des accroissements qu'elles prennent, ce qui vérifie bleu la condition (*i — «) + (il — i) = 0. Enfin si , dans l'équation générale que nous venons de donner pour le contour, on fait croître infiniment peu les deux coordonnées à la fois, et si Ton retranche membre à membre, de l'équation nouvelle ainsi obtenue, l'équation primitive, on tire pour le rapport de ces deux accroissements de v et de u, précisé-

(') On a démontré éliSmentairement avec son inverse, «u §3 de la note du n^ 84, ce théorème sur lequel on se base à chaque iiislant, même dans les cours d'Artset-méiicrs, et qui n'est remplagable que Jusqu'à i» = 4 par des considérations d'aires, de volumes et de centres de gravité de triangles ou de pyramides.

Quand on l'a prouvé pour n entier positif quelconque au moyen d'une suite de multiplications par 4+e, il est facile de l'étendre à n rractionnalre ou négatif; car 4* si l'on extrait la racine n**n»« des deux membres de 4 -fne=(1 +î)** avec n entier positif, et si on les élève ensuite k la puissance m aussi entière positive,

on a (1 + fie) " = (4 + e)*» = 4 H- jwe = 4 H — .ne, S» Si l'on multiplie les deux

membres de 4 + fie = (1 -f- s)*» par (4 — fie) (1 + e)"", on a , en transposant : (4 -f e)- * =: 4 — fi»-f ii*e* (4 + e)-*, équation où Toii jpeut effacer le dernier terme du second membre comme Infiniment plus petit que le second.

(DU n* !&•).

ment le rapport |r ^ Z.b * ^ ^^' vérifie la condition particulière ou définie g"du— g'(ît7=i 0 du $ 8 relative aux points du contour de la section.

Il est facile de prolonger autant qu'on veut les expressions de ^9 de g', g'', et le premier membre de Téquation générale

— h .... = K du contour, car les termes des polynômes de

divers degrés en t< et v multipliés par les coefficients arbitraires Cfl* c\, C}* G',, ... ne sont autre chose que ceux des puissances {u + »)% (tt + v)\ {u -f r)\ ... du binôme u +î?, mais pris de deux en deux et affectés alternativement des signes + et ^^ en sorte qu'on aurait pour ceux des 6*, 7*, 8* degrés :

ti« — 15uS?* + i5M*i? * — 1« et Quh) — 20u V + 6«tJ*, tt' — 21tt»î?* + 35uV— 7ur« et 7w«r — 35uV-f 21mV--i?% u' — 28uV + 70aV — 28mV + 1?« et 8u'r — 66u»t?* + 66M«t?» — 8Mtj\

etc.

On peut voir, au reste, que Texpression générale de;r est ce qu'on

obtient par la méthode des coefficients indéterminés en cherchant

df^z d!^z à satisfaire ^ ji + 7i = ^ P^i* ^^^ expression polynôme entière

en u, t?; ou bien en mettant des expressions entières à la place des fonctions arbitraires ç et <!> de l'intégrale générale connue

de cette équation, et développant puis donnant aux coefficients des valeurs telles que les imaginaires disparaissent

S il. Formules en coordonnées polaires. — On manifeste mieux la loi en se servant de ces coordonnées ou en faisant

ti = rcosa, t? = r8ina, OU r= v^î**+«', a = arotang -,

car, en remplaçant encore les fonctions 9, 4» par des développements suivant des puissances n... de leurs variables, on a. A, A' étant des coefficients quelconques ,

z=: S [A»r*»(cos7ia4"/-5 sin na) + A'n^-^Ccosna— \/^ sinna)] ;

258 SEGT. I. BÊSISTANCE DES SOLIDES.

(Du n» 154^).

OU, en faisant A»+A« = c'n, (A»— A'n) v'— i = c« pour chasser les imaginaires, et en supposant les exposants n entiers et positifs,

* 1 Cjr sîn a -f c,r' sin 2a + Cjr* sin 3a + — • j ^ ~ ( + c'jr cos a -f c',r' cos 2a -f- c'^r* COS 3a + .... j *

à quoi correspondent, pour Téquation du contour,

«ç- H- e^r cos « + c,r« cos 2« + c^r* cos 8a H —

— c\r sin « — c',r* sin 2a — c',r*sin 8jc ^ .-.. = K ;

et , pour les glissements suivant les u , les v :

,Q (— r sin a + 2G,r sin a 4. SCjr" sin 2a -|- AG4r*sin 3a+ ...."| ^ ~" t + c'i + 2c>cosa + 3c',r«cos2« + Ac'4r»cos3«+-. j * «^/-^ A { ^1 + 2 V cos a 4- 3Cjr' cos 2a 4- ûc^r* cos 3a H — j ^ ■" j + rcosa — 2c',r sin a— 3c'jr'sin 2a--4c'4r'sln 3a — .... j *

Le glissement principal g, dont les projections sur les u et sur les V sont g' et g", est, comme on voit, en le divisant par 0, une résultante générale de lignes

faisant avec Taxe des u les angles

5 • 2' 2""*' 5 ^ **•••» Oi — «> — 2a,„.

Cette résultante f est donnée par

+8.4 (Ci cos a— c'i «In a) r+ t.î (C|C08 8a — c't •»« *«) *'*+ '-3 (C|f oi 3a — c'| «lo 3a] f*-f-... +8J.8[(CiC,+c'iC',)coBa— (CjCV— C,c'i)ilna]r+aM.3[;CiC,4c'iC',)co$aaHCjC'j— CjC^w

-f S.S.3[(C2C8+C jC's) costt— {CjC'j— CsC',) sin a]r«+8.a.4[...

= r* + 2 (c'n + c"n) (nr*-*)' + 2S71 (c» cos na— c'n sin tw) r» +

+ 2S£nm [(c„c« + c »c ») cos(m— 71) a — (c„c m— CmC n) sin (m-^n) a]r"+"-«

expression dans le dernier terme de laquelle n, m sont deux Indices inégaux dont le second est plus grand que le premier. On

(Du a« tftS).

pourrait la changer en une expression en coordonnées ordinaires M, V en mettant u, v, «•— t?', 2utj, «•— 3i«?', 3mH?— c', etc. pour reosa, rsina, r'cosSa, r^sinSa, r"c083a, r'slnSa, etc.

Mais on a aussi les solutions plus générales suivantes, où les indices 71 , 7i' peuvent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls :

Équation de la «uifacc 2 =s 6 (Sc»r*» siu n« + £cV^' COSn'«) ,

OUneuenta

g' = 0 [— r sin a + SnCnr»*-* sin (n— 1) a -f Sn'c Vr*'-* cos (n'— 1) a] g"=e[ r COS a + Stuv""* cos (n— l)a— Ln'c'„;r»*'~* sin (»'—!)«].

Équation du contour •— -f- SCr/"* COS Tia — Sc^n'^**' sin Tl'a = K.

11 existe, au reste, d'autres intégrales particulières de Téquation aux différences partielles ;j « + ^ = ^ ( voyez S 25). A chacune

d'elles, arbitrairement choisie pour équation de la surface modifiée de la section , répond uoe forme de contour, et même une infinité de formes représentées par des équations faciles à obtenir, ne dij^étant entre elles que par la valeur d'un terme constant tel que le

second membre K ci-dessus. En effet , en écrivant ,-du — 'j-dv =

dv du

— Od îil±^ la condiUon ( S B) (^ + ^^ dw-- (^^'^^^) ^^"^^

qui appartient aux points du contour, et qui est ainsi son équation différentielle quand on met pour z une valeur en u, t% son premier membre forme une différentielle complète comme le second, si z sa-

\dvj \ duj

tisfait à la condition connue d'intégralité -~ — = — ^- — L^ qui

d'2 d^z revient k l'équation aux différences partielles ^-i + -?-= = 0.

du^ dv^

S 12. Cas où les contours des sections ont une forme symétrique^ etc. — Lorsque la symétrie a lieu par rapport à Taxe des u , il ne doit y avoir, dans Téquation des contours en coordonnées ordi-

S60 SECT. I. ftÊâiSTANClî DES SOLIDES.

(Du n« t&ll].

11^ JL. ^t

naires — ^ — f •••• = K du $ 10, quo les ternies contenant des puis-

sances paires de v, afin que Téquation ne change pas quand on met — V pour V ; ce qui donne

L*expression du petit déplacement longitudinal z se réduit à la première ligne entre accolades, et on a z = 0 pour i? = 0, en sorte que toute ligne de symétrie reste immobile ou dans le plan primitif de la section quand Paxe de torsion traverse la section en un point de cette ligne; ce qui pouvait être déduit , plus généralement , do cette simple remarque que la ligne do symétrie n'a pas de raison de s'écarter de ce plan primitif d^un côté plutôt quedeTautre, lorsque le prisme est tordu uniformément par des forces agissant d*une manière symétrique aux deux bouts.

Pour des contours symétriques par rapport à Taxe des r, on doit avoir par une raison semblable :

Ci=iO, C<| = 0, Cj=0,

Si les contours sont symétriques par i*apport à chacun do ces deux axes, tous ces coefficients s'annulent et il ne reste que les termes en

Et, pour les contours qui sont, en outre, égaux dans les deux

ti^ -l- 1' sens M, t?, réquation ne doit contenir, avec le terme — ~ — ou

j obligé pour toutes les équations qui les ropr(^sentent en termes algébriques entiers, que des termes en

C4 , Cg , C|j , ..•••

ou du A% du 8% du 12* degré % puissances paires ; ce qui réduit

AiJT, V. lOttSiOxW 261

(DU n« ittU).

réquation z = de la surface à des termes aussi de ces degrés û,

8, 12, etc.. mais à puissances impaires de u et de v.

Pour les contours qui ont simplement un centre sur l^xe de torsion , ou dont réquation reste la même quand on change à la fois v, r, en — M, — v, les coefficients d'indice impair doivent être nuls, ou on doit avoir C, = 0, 03=0, .,..., C'i = 0,C'8 = 0, ,....

Avant de particulariser de diverses manières les contours des sections, nous allons exposer quelques propriétés communes à tous les prismes tordus.

S 13. Réduction^ à un couple, des forces tangeniielles agissant sur cluicune des deux bases ou si{r chaque section transversale de tout prisme ainsi tordu uniformément. — Quels que soient les contours des sections, symétriques ou non, représentés par une équation soit algébrique, soit transcendante, ou a toujours sur chaque section co, et pour toute son étendue :

f^dAù = 0 , /g^'do) = 0.

En effet, les forces tangentielles extérieures Gg'do), G^'d^ agissant sur les éléments dm d*une des deux bases du prisme parallèlement aux coordonnées u, v, et les forces égales , aussi extérieures et par conséquent de sens opposés — Gg'cZa>, -^Gg^'c/oqui agissent de même sur les éléments de Tautre base, ces forces, disons*nous, font équilibre aux actions intérieures de ce solide, puisque ses faces latérales ne supportent aucune action par hypotlièse. Elles doivent donc se faire équilibre entre elles comme on Tentend en statique élémentaire, ou remplir les conditions connues de Téquilibre des forces sur les systèmes solides. Or c*est ce qui ne saurait avoir lieu si, sur chaque base, leurs sommes ±GJ g'dco, ±GJ g^^Jo) dans chaque sens ne sont pas nulles séparément ; car alors , considérées à la fois sur les deux bases , elles feraient un couple ayant pour bras de levier la longueur du prisme, et l'équilibre n'existerait pas.

Cette nullité des sommes y g'cZw, fgf'dto ée vérifie d'elle-même lorsque la section a un centre et que Taxe de torsion y passe; car

alors ona (§ précédent) Cj = 0, Cj=0, , Cj' = 0, C5'=0, ,

ce qui rend égales, au signe près, deux valeurs, soit deg\ soit

S6I SBCT. I. USISTANCB DBS SOUDES.

(Dq n* IMIJ.

de ^' relatives à des points ayant les mômes coordonnées ti, v aussi au signe près, et nulles par conséquent les sommes de leurs produits par dos éléments égaux é^ Mais on voit que les mêmes conditions /g'dco = 0 , /g"d(» = 0 sont remplies aussi lorsque Taxe de rotation ne passe pas au centre ou que la section n^a môme pas de centre; nous avons pu le vérifier numériquement pour des sections de diverses formes particulières 0).

S i&. Conseroation de la forme des équations algébriques des contours des sections^ du $ 10 ci-dessus, quand on change V origine et les axes des coordonnées transversales» — Mettons :

P) Noua ne Paviont pas encore fait lors de rimpressioD de notre Mémoire tar la lor«lon; aus^i nous j énoncions, i l'article 59, la possibilité de restriclions qui n'ont pan l>eu.

On peut vériflor encore de la manière sul?ante, qui eel une partlcuIarieaUon de la roélhode générale donnée par M. *.amè à sa S* Leçon (4859' sur télasticiti^ que la nullité des deux intégrales /g'(fci>, Sti"(ftù est ane conséfiueiiee des équations différentiel les indéfinie et définie du problème de la lornon, équatiODi (§S 6 et 8 ci-deftsu») qui peuvent être érritcb ainsi, en appelant x la coordoonée longitudinale des points du prisme dont «, v sont les coordonnées transversales, et 6, 7 les angles que fait , avee les « et les «, la normale au oontoar 4» la wctioo OQ bien aux facea latérales :

*r + -sr=^' s-=^' *r=^ p"^"^»

g" eos Y + g' eoi 6 =r 0 sur œs faces latérale!.

En mnltipliant par v la première de ces équations, par x la deuxième, et ea les retranchant respectivement de la troisième multipliée par x et de la première ftulUplIèe par ti, on obtient cetles-el :

dx du du * dx du d» *^ *

qui, mnltipllèes par l'élément solide dxdudv et Intégrées poar tout la volume du prisme, donnent facilement (Lamé, $ 40), en appelant a sa longueur on hauteur, et dv rélèmenl de la surface latérale de même que dtù=zdudv est l'élément des bases :

d*oa Sê"dtùs=iO, f$'dfù=;.Of eu éfar4 4 i'éqiiailon g''oD«Y-f t'^<»i><^ «1' détins.

(Du H* !&•).

u* —Tp à la place de u^ r' — q à la place do r

dans réquatlon générale — r — + ... = K

1 des contours algébriques du % 10; c'est-àdire transportons Torigine des coordonnées de 0 en un point 0' pour lequel M =— p, r = — g, en changeant ti,t?

en d'autres coordonnées, u', v' parallèles, dont les axes passent

par (y. Gomme cette équation peut être écrite

^i-i^ -h Citi + Cjtt, + Cjtt, + — C'i»— C'jtJ,— €>,- =K

lorsqu'on fait, pour abréger

(ce qui revient à appeler généralement t<n » Vn les produits r^cosna , r'*8fnna) , si nous nommons encore

tt'n, Un, et pn, Çn

des expressions composées en u\ v', ou en p, g, comme tin» t?n le sont en u, V, nous trouverons d'abord facilement par cette substitution de tt'— p, «'— g à tt, V !

Wn= î?'n— I (pt?'ii-i f gw'n^i) + j — j— (Pit?'n-| + ?,«'••-,) —

En sorte que l'équation du contour aveo les coordonnées nouvelles sera bien de cette forme , semblable à sa forme primitive

^1:^ + D,u'+D,tt\+D8U'8+ -D'jt/— D'jt?',-D',t/,-.

264 SECT. 1. KÉSISTANCE DES SOUDES.