DU D
Di, D, ... « D'i, D', ..* étant des polynômes en G^, G, ... , G\, 0\ «..^
p et g (»).
Cette forme se conservera encore la même si , au lieu de changer Torigine des coordonnées , on remplace les anciens axes des u, des r, par des axes nouveaux faisant avec ceux-ci un angle quelconque 6 ; car si Ton pose Téquation du contour en coordonnées polaires « ou si on récrit (S il) :
-^ + C,rcOsa + (',r*cos2a + ... — C\rsina — G'jr*sin2a— ... = K ,
la transformation s'opérera en y faisant «=6 + a', a' étant Tangle du rayon vecteur r avec le nouvel axe des u; or cette substitution donnera :
— -H (C^cos6— C\sin6)rcosa'-f- (C,cos26— C'jSin26)r'cos2a'+
— (Ci8in6 + C'iC0s6)rsina'— (C3|Sin26 + C',cos26)r*sin2«'— .. . = K ,
ou une équation toujours de même forme, qxiels que soient les axes des coordonnées transversales.
S 15. Torsion d'un prisme autour de divers axes intérieurs ou extérieurSf parallèles à ses arêtes. Identité des glissements, du mo^ ment de torsion^ et de la surface courbe affectée par les sections^ quel que soit Vaxe de torsion.-^ SI nous faisons, comme au $ précédent , u^u'^-p^ V = r' — q dans les expressions des glissements données $ 10, et qui peuvent être écrites , avec les notations dont nous venons de faire usage:
(>) On trouTe pour ces polynômes
L = K — £-i^ +CiP — CjPl +.... — C'ijf + C',g,— ...
Dj =— p + Ct— ÎCjp + 3C,p,— ... -f- âC'|g^3c',9t+ ••• DDt=2.4C, — S.ÎCjp +4.3C4P, — ...4-3.2C',î — 4.3c\g,+ ... 4 .î.3Dj=3.a.4C,— 4.3.SC4P+ 5.4.3CbP,— ... -|- 4.3.SC\g— 5.4.3C'b9, -f , ..
D'j=g + C'4— JC',p H-8c',p, — ... — 2c,g +30,7,—... 4.ÎD',=a.4C',— 3.«C'8p-i-4.3C\p,— ...— 3.2(:,7+4.3C4y,— .;.
(Du n^ tftS).
g' = 6 (C'i 4- 2C>+ 3C'8tt,+ .• . — »+2C,tJ + 30,1?, + .,.), g'^ss e(u+ C,+ 2C,tt+ 3C3W, + ... — 2C'jt7— 3C>-,— •..),
nous obtenons, tout calcul fait, avec les mêmes notations du S pré* cèdent :
g' «= e(D'i + 2D>' + 3D>', + ... — »'+ 2D,i?'+ SD^v\ + .••), g''=6(u'+Di + 2D,w'+ 3DjU',+...— 2D',t/— 3D',?/,— ...),
c^e^ à-dire, d'après Téquatlon du contour en u\ •& obtenue au même $, précisément les glissements qu^on aurait eus si la torsion avait été opérée autour de Taxe passant en O' au lieu do Têtre autour de Taxe passant en 0.
Les glissements^ ou les luclinaisons prises par les fibres devenues des hélices , sur les divers éléments des sections devenues des surfaces courbes , sont donc les mêmes ^ quel que soit Vaxe^ parallèle aux: arêtes^ autour duquel on opère une torsion 0.
Gomme les inclinaisons mutuelles des fibres devenues des hélices sont aussi les mômes, quel que soit Taxe, il est facile d*en déduire, soustractivement, que les inclinaisons mutuelles des éléments des sections, et par conséquent les formes des surfaces courbes qu* elles affectent sont constamment les mêmes aussi , et que la seule différence est dans les inclinaisons diverses qu^eiles prennent sur les axes de torsion diversement situés.
Mais on peut démontrer ces théorèmes d^une manière plus générale, ou applicable également aux formes transcendantes, en partant des équations différentielles indéfinie et définie ( S 6 et § 8) :
dw«"^ d««
qui déterminent le déplacement longitudinal z d*un point pour une torsion 0 autour de Taxe passant par Torigine 0 de séîs coordonnées u, V. En effet, si Ton y change les variables u, v en d'autres u'=u+l'f r' = r + g, elles deviennent
et ces équations sont satisfaites par
(Du n* 1511).
z = 2î' -f 0 [pv' — qu")
en appelant z' la valeur du déplacement longitudinal z qui y satisferait si Ton avait p = 0, q = Of ou si la torsion s^ opérait autour de Vaxe nouveau 0' au lieu de s'^opérer autour de taxe ancien Ct,
On voit que les ordonnées 2, z' des deux surfaces dans lesquelles ces deux torsions ont transformé les plans des sections ne diffèrent que par la petite ordonnée e(pv' — gw') = 6(pr — qu) d'un plan trèspeu incliné, d'où il suit que ces deux surfaces sont superposables et peuvent être amenées à coïncider moyennant de petites rotations 6p, — Og de Tune d'elles autour de parallèles aux u et aux v,
^ .A . àz , ^ dz' ^ , dz ^ dz! -, ^ ^„
On voit aussi que -5- + Ow = 3-, +0w , 3 61? 3= t-> — Ot^» ou
^ dx> dxf du du
que les glissements g\ ^' déterminés par Tune et par Tautre tors/on sont les mêmes aux mêmes points, comme nous venons de le démontrer autrement pour les sections dont les contours ont une
équation de la forme algébrique — ^ h -= K du $ 10.
Il s'ensuit que le TMmeni de torsion ( $ 9 ) a la même grandeur ^ quel que soit Vaxe (parallèle aux arêtes), autour duquel on tord le prisme, puisque les forces Gg'de», Gg^'dco agissant sur chaque section et dont il est le moment total , sont to^Jour8 les mêmes , et qu'elles n*ont pas de résultante ou qu'elles se réduisent constamment à un couple comme on a vu $ 13.
La torsion d'un prisme autour d'un axe extérieur est réalisable en l'unissant & cet axe par dos liens transversaux qui l'astreignent à présenter toujours à celui-ci la même arête, sans que ces liens gênent du reste Tincllnaison et la courbure que tendent à prendre ses fibres et ses sections. Elle est opérée plus facilement en tordant deux
prismes égaux, parallèles et distants, liés de manière que leurs sections correspondantes 0', 0" se regardent constamment par les mêmes points a*^a'\ astreints à rester sur une même droite passant par Taxe de torsion intermédiaire O (voy. ci-après, S 36).
On voit que les mêmes forces Gg'd«»» Gg^'d» appliquées aux élé-
( Dtt n* t&ll}.
ments des bases d^un prisme le maiotiennent tordu iodifféremment autour de tout axe parallèle à ses arêtes, et que le moment de la torsion simultanée de deux prismes égaux et distants est justement double de celui qui maintiendrait tordu chacun d'eux d'un même angle autour d'un axe intérieur.
Il faut tojitefois, évidemment, lorsque Taxe de torsion n'est pas Taxe qu'on a considéré en traitant de la flexion et qui traverse les sections à leurs centres de gravité, ajouter aux Torces Gg'do), Gg^'da) des forces capables de flécbir le prisme de manière que ce dernier axe devienne une hélice. Mais ces dernières forces sont très-petites du second ordre si , comme nous l'avons constamment supposé , là torsion 0 est très-petite du premier ordre 0) ; elles ne devaient donc pas être fournies par notre calcul» où les quantités du second ordre sont négligées.
S lA, Expression générale du moment de torsion des prismes dont les sections ont des contours représentés par Péquation algébrique
du % 10. — En mettant dans M^ = G \ (g'^u— g't7)da> ($ 9) les valeurs
(S iO) des glissements g'^ et g'» on trouve pour le moment de tor* sion
= ce(*^d r««*+t>«-hCiii-fac,(i«i-i)«)4-3C8(u8-3ut;«)4-4C*(ti*-6i«H;«+i;*)-f...-| * J« *^L — C>— ac'j.Jw— 3C',(3tt«t;-r»)-4C\(4ii>t;— 4tt»»)— ...J
expression dans laquelle on peut prolonger ou réduire autant qu*on veut la quantité entre crochets par l'addition de nouveaux termes (% 10) ou par la suppression d'un ou plusieurs de ceux que nous écrivons ici.
(>} En effet, soit a =00' la distance entre l'aie de figure o' passant par les centres de gravité des sections, et l'aie de torsion 0. La tangente do l'angle que dit , avec un plan perpendiculaire A celui-ci , rbèlice dans laquelle celui-lA se change,
et t r- ; <^a a , pour le rayon de courbure p de cette hélice , p ï:= M + rr;^ ] a ; d*oil , yosr le hhmimi de fleaion ,
Bl si ^. El
quanUté très-petite da second ordre.
(Du no 1511}.
En coordonnées polaires (S il) > on aurait
. f .(■;•« + Circos« + 2C,r«cos2a + SCjr'cosSa + "1
* "* 3 L "^ C'i^ina — 2C',r'sin2a - SC^r^sinSa^ J •
OU , plus généralement , n, n' pouvant être fractionnaires ou négatifs ($11):
Mi = GO \ dco (r* + S/iCnCOsna — Syt'C'n'r'^'sinn'a).
S 17. Plus grands glissements. Points dangereux. Équation de cohésion permanente ou de résistance à la rupture éloignée par torsion. — Afin de ne pas interrompre des considérations naturellement liées, nous donnerons ici , et dans chacune des particulari- Bâtions des $$ suivants , après l'expression du moment de torsion , réquation de cohésion permanente ou de résistance à la rupture éloignée par torsion (*), bien que Navier n*ait parlé de cette résistance qu'à un article suivant, VI.
En appelant, comme au $ 7 de la note du n<> 152, p. 196:
To la limite des efforts tangentiels que la matière peut supporter sans danger par unité de surface pendant un temps indéfini, la limite des glissements non dangereux sera
Tç G'
11 faut exprimer que nulle part cette limite n'est dépassée, ou que
le plus grand glissement principal g =: y/g'^ + g"* lui est égal ou inférieur. La condition de résistance permanente à la rupture par torsion sera donc
i'é) = ^** > nmimuui de g** -f g"«.
Pour trouver les points dangereux ou de maximum de ^, — ^— S—
il convient de remarquer, d'abord, d'après les expressions de g' et g", ou celle de g*=g'* + g"* en r et « du S 11, que, sur le plan
(*t On verra, A la noie du n*» 465, queUo Tormale on pourrait adopter pour la rctislance à la rupture immédiate ou prochaine par torsion , au moins dans le ras du cjlindro i base circulaire.
(Don* 1511).
indéfini de la section , elles peuvent toujours prendre des gran« deurs aussi considérables qu'on veut, car, en rendant r suffisamment grand, le terme où il est à la plus haute puissance surpassera tous les autres, et comme il est toujours positif dans g*, ce carré devient infini avec t dans toutes le^ directions ou pour toutes les valeurs de l'angle a. Si g* croissait toujours de l'intérieur à l'extérieur de la section pour chaque direction , ce serait constamment sur son contour qu'il faudrait chercher les points dangereux. Mais nous savons qu'il y a souvent des points du contour où le glissement est nul , et il peut y avoir, dans l'intérieur, quelque point de maximum absolu de g* (quoique cela ne se soit présenté dans aucun des exemples ci-après traités); et il n'est pas impossible que ce maximum excède toutes les valeurs de g* relatives aux points du contour.
il faudra donc chercher d'abord les points de maximum absolu de g*, ou s'assurer qu'il n'y en a pas. Ils doivent, comme on sait, s'ils existent, satisfaire à
à% ^t ^% '^t ^'pV ^t ^%
On les cherchera analytiquenient ou numériquement sur les H-
gnes droites ou courbes représentées par l'équation --r- = 0 (qui en fournira toujours plusieurs , et qui est généralement plus simple
que réquation -^ = 0, susceptible de servir au même objet ) et
on essayera s'ils remplissent les conditions relatives aux dérivées ^
du second ordre -?-•♦ j-;, et s'ils tombent à l'intérieur du couda' dr* -
tour.
La double recherche sur les lignes ayant pour équation -t— = 0 et sur le contour, conduira donc, dans tous les cas, à la détermi-.
270 SEGT. I. RÉSISTANCE DBS SOLIDES.
(Du n» t6«].
nation de ces points de la section où g* a nne valeur plus grande qu*aux autres points.
Souvent ceB points dangereux seront les intersections de lignes
-^— = 0 avec le contour de la section ; mais quelquefois aussi ils
se trouveront en d'autres endroits du contour, comme nous en verrons des exemples aux $$ 33, 35.
Lorsque la section est partagée symétriquement par une ou plusieurs lignes droites, ces lignes de symétrie sont nécessairement au nombre de celles de maximum ou de minimum relatif de g'
d g* qui satisfont & j- 1^ =0 ; car, en prenant Tune d^elles polir Taxe
à partir duquel on compte les angles a (ou pour Taxe des u\ les coefficients G'i , G',, G',.- des équations et expressions des $S 10 et il sont nuls, et il ne reste que les termes affectés de C|. G,, G,...,
comme on a vu § 12; Texpresslon ( $ il) de f} neoontientdono que
des cosinus de a et de ses multiples: son coefficient diflérentiel ne
.contient que des sinus et devient nui pour as=0, c'est-à-dire pour
les points de la ligne de symétrie.
Et les intersections de chacune de ces lignes de symétrie avec le
contour de la section sont des points de maximum ou de minimum
de g' sur ce contour; car elles le coupent à angle droit; r y est con-
d e* stant sur une petite étendue, en sorte que la condition -^ =0
pour r constant s'y trouve remplie par les valeurs de g' relatives aux points du même contour.
G'est ce qu'il était facile de prévoir en se rappelant ( % 12) que lorsqu'on place Taxe Ue torsion de manière qu'il rencontre une ligne de symétrie, elle reste tout entière dans le plan primitif de la section , ce qui donne pour tous ses points, en la prenant pour axe des u, v^O, la pente t=0, et g'=t^Ot; nul aussi, ainsi que son coefficient différentiel ^; d'où g = g'', et, vu Que ^+ ^'=0($6),
(Du n* t5tt].
c*est-à-dire que le glissement principal est bien un maximum ou un minimum , en tous les points de cette llg^ne de symétrie, parmi les autres points situés sur des lignes qui la coupent à angle droit*
Aussi, dans presque tous les exemples ci-après (mais non dans tous, voyez SS 33» 35], c'est aux extrémités des plus grands et des plus petits diamètres que se sont trouvés les points de maximum et de mlnfmum de glissement. Les points dangereux ou de maximum ont été , pour ces mêmes exemples, les extrémités des plus petits diamèires, ou les points du contour les plus rapprochés des centres des sections. Mais cela ne saurait être général, car, lorsque le contour offre des angles rentrants^ les arêtes y restent normales aux sections, et le glissement y est nul comme aux angles saillants^ par la même raison qu'on a dite au $ /i, et qui est dérivée de la condition de normalité des sections infléchies à la surface latérale modifiée par la torsion ; d'où Ton doit inférer que lorsque les contours des sections offrent des parties rentrantes arrondies, mais d'une courbure très prononcée, le glissement doit y être un mini* mumet non un maximum parmi les points du contour.
En tous cas il est bien entendu , si seulement on se rappelle l'indépendance où sont les glissements de la position de l'axe de torsion (S 15J que leurs grandeurs ne sauraient être constamment en raison directe des distances, à cet axe, des points des sections où ils ont lieu, comme il fallait le supposer dans l'ancienne théorie basée sur l'hypothèse que les sections restent planes et perpendiculaires au même axe. Il n'est donc nullement étonnant que les plus grands glissements se trouvent le plus souvent aux points les plus proches de l'axe de torsion supposé passer au centre.
S 18. Premier exemple ou première parlicularisation. Section circulaire. Torsion 6^ un cylindre autour de son axe défigure* — On obtient une section circulaire en supposant les coefficients Gj , G,,
G, G'i, G'i, G', tous nuls, ou les pentes t,^ nulles; car
l'équation du contour est alors, en faisant 2K = r* :
tt» H- ©• = r* ;
et réquation de la surface de la section, qui se réduit à
(Du n* ISA).
vérifie bien que cette surface reste plane comme on l*a va au S A. Alors on a le moment de torsion
M^ = Ge/(tt« + v*)du = GS J , .
J étant le moment d*inert!e de la section autour de son centre, ainsi qu'il a déjà été dit, ou bien, vuque J = ^(S 1),
M, = Ge!JÎ.
Une pareille torsion d'un cylindre circulaire de rayon quelconque r est déterminée par des forces qui ont pour valeur, en appelant toujours r le rayon vecteur du milieu d*un élément quelconque du de la section
Ggdw = Gdoj v^g'« + g"« =Gd» ^(6^)» + (— 0p)i = GOr • (fu ,
c'est-à-dire par des forces appliquées sur les bases extrêmes , tan^ gentiellement ou dans leurs plans, et perpendiculairement aux rayons vecteurs auxquels elles sont proportionnelles, ainsi qu'aux superficies des éléments du.
Et tout autre mode de sollicitation ou de distribution des forces aux extrémités donnera très-approximativement, d'après ce qu'on a dit au S 9 et d'après Texpérience, la même torsion pour le môme moment total M^.
Gomme le plus grand glissement répond à r = r, l'équation de cohésion permanente ou de résistance à la rupture éloignée sera (S précédent) :
To = ou > G«r ;
ou , en éliminant GO au moyen de l'expression M| = GO ^ du moment de torsion :
Umite de Ml = Hf T, ;
équation qu'on aurait obtenue immédiatement en regardant les résistances comme proportionnelles aux distances au centre (ce qui
ART. Y. TORSIOlf. 27S
est vrai pour le cas de la secUon circulaire}, eu sorte que si T, est la résistance par unité superficieUe à la distance r ou à la circonférence, on a T, p à la distance quelconque r, d'où, en faisant du = ^j:rdr9 superficie d'une couronne infiniment étroite ;
2Krdr.r= -s-T..
Cette manière directe d'arriver à Téquation de résistance permanente n'est applicable qu'au cylindre à base circulaire.
S 19. Deuxième exemple ou deuxième particularisaiion. Section encore circulaire^ mais torsion du cylindre autour d^un axe excentrique intérieur ou extérieur.^ Si nous conservons seulement, dans les formules du S 10 , les termes du premier degré ou en C| , C'i , en annulant toujours les autres coefficients, nous aurons encore une section circulaire, car l'équation du contour
^i-~ -l-Citt — C> = K
peut , en faisant C^ = — p, C'j = g, 2K -f C% + C^^ = r', être mise sous la forme
elle représente un cercle dont le centre 0' a pour coordonnées
p, g par rapport aux axes Ou , ùo passant par celui de torsion 0.
Cette sectk>n circulaire reste plane comme quand la torsion se fait autour de Taxe de figure 0' (S U); mais son plan devient oblique à l'axe de torsion 0. Ce plan a pour équation (S 10)
X = e(Cit? + C'jM) = ô(gtt — pr).
On peut vérifier que l'on a toujours (S 13) /g'do) = 0, /g'^du = 0 ,
car (S 10)
g'=e(-.c+c\)=-e(tj-g),
S7& SEGT. I. RtSISTÀNGK DES SOUDES.
(Du n« IMI].
et /t>icD = gM, /twtwi=pb> en vertu de la propriété connue du ceott^ dé gf avité 0' dont p, q sont Tabselsse n et Tordonnèe r.
On peut vérifier égaloment que les glissements g'» g^'i oonformé* ment à ce qu^on a démontré en général au $ 15, sont les mêmes que si Taxe de torsion passait au Centre 0' ; car u — p, v— g seraient lefi coordonnées , par rapport à des axes parallèles à Ot^, Ov et tirés du même centre, de Tétément dont les coordonnées, par rapport à Ou, Or, sont Ut i\
Le moment de tordion est bien aussi le mëmCt car /c7io(u* + 1* + CjM— c'jt;) ($ 16) revient à /[(t4-i))*+(û— g)1(î«, vu que Ci=— p,
$ 20. Ohsèfi)ation générale sur les tèrnïès du premier degré ou en c„ c\ des èquaiions du ôonlour des sections. — En faisant m = 0 , t =0 dans les expressions générales des glissements du S lO , on a
g'=éc\, g"c=ecj, g == v/g'n^?^» = «v^V+cv 5
en sorte que rinclinaison g prise sur Taxe de torsion par les surfaces dans lesquelles se change le plan des sections a pour grandeur
Les sections ne restent normales à Taxe de torsion passant par Torigine des coordonnées que quand G^ = 0 , G'j = 0 ou quand il n'y a pas de terme du premier degré dans Téquation de leur contour.
Dans Tintérieur de tout prisme » il existe une fibre à laquelle les sections restent normales , soit que cette fibre demeure rectiligne comme quand on la prend* pour axe de torsion, soit qu'elle se courbe en hélice comtne quand Taxe est pris ailleurs. On obtient les coordonnées du point où elle traverse la section en égalant à Eéro les expressions de g', g^' et éliminant pour tirer u et t'. Il est au centre de figure lorsque la section en a un.
Mais il peut exister plusieurs fibres jouissant de cette propriété de rester normale 4 la section infléchie i notamment lorsque son contour oflTre des angles ($ /i).
S 21. Troisième particularisation. Section elliptique* — On o\h tient cette section en ne conservant dans le premier membre de
ABT. y. TOBSION. 275
(Du n** i6G].
réquation générale des contours du S 10 « p« 256 , que les tei^mes du premier et du second degré » ou les coefficients Gj , G'^ , G^ , G',. Nous supprimerons ceux du premier degré qui ne feraient que rendre Taxe de torsion excentrique ( SS précédents) ; nous annulerons aussi le terme 2G',uv, afin que les axes ou diamètres principaux de Teilipse soient dans la direction des coordonnées u, v. Restera le coefficient G, , d^où :
i** Pour réquation du contour de la section,
ou
1SK 6« 2K c<
T Pour réqutttloii de la surface courbe dans laquelle se sera changé son plan , 2= OO, . Suc , ou
3* Pour les glissements,
On pourrait y arriver plus élémentairement en parlant de la supposition de pente* constantes pour chaque coupe parallèle à Taxe de torsion et aux v ou aux u^ ou de
qui satisfait bien à (ij -- i) + Oi '^f) = 0 du $ 6 , et en remarquant que réquation de condition (S 8) 0 H- Gi«)dM— (t— et?)dt' = 0 relative au contour, et qui exprime la normalité des sections à la surface latérale modifiée, se réduit alors , en faisant .""or' = ~«) ^
, . bv bdv ^ udu + — . — = 0 • ce '
représentant une courbe telle que si Ton amplifie toutes ses or-
(DU D* tft«).
données v dans le rapport - Ton obtient un cercle ; car v' étant les
ordonnées nouvelles = — , il en résulte -, =
dt/
du
, équation dont
on déduit facilement , par la considération de la similitude des deux triangles qui ont pour côtés, Tun u, t?', et Tautre ^dv\ du^ que les éléments du contour sont perpendiculaires aux rayons vecteurs, ce qui caractérise bien le cercle, d'où une ellipse en réduisant toutes les ordonnées v' dans un rapport constant.
6*— c* La surface courbe z = — 0 ^uo affectée, après la torsion, par
les plans des sections , est le plan gauche ou le paraboloîde hyperbolique engendré à volonté par une ligne droite restant parallèle au plan (vz) ou par une ligne droite restant parallèle au plan (vz) et s'appuyant sur deux des lignes droites de Tautre génération. En décrivant cette surface topographiquement ou à la manière des terrains par coupes équidistantes parallèles à son plan primitif ou perpendiculaires à Taxe de figure du prisme, autour duquel la torsion s'est effectuée, et projetées toutes sur ce plan, on a la suite d'hyperboles représentées par Tépure ci-dessous, et qui ont pour asymptotes les axes de Tellipse-contour.
(DD a* «»6}.
Le coefficient O ^,~^, représente le degré du gauchissement
très-petit qu'a éprouvé le plan de la section ; il est , comme l'on voit, proportionnel & la torsion 6 et d'autant plus grand que les axea de l'ellipse sont plus inégaux , sans ton* tefols dépasser la valetir 0 qn'il prend
pour - très-grand. La petite ordonnée z, perpendiculaire au plan primitif de la section , est négative dans les réglons des u et v positifs etdes u et ti négatifs lorsque 6 est plus grand que c, la torsion étant supposée avoir lieu de u et c pour un observateur placé du cété des z poaitifa ; et z est positltir dans les deux autres régions ou quarts d'ellipse, en sorte que ta section gauchie offre deux saillies et deux creux séparés par 1^ deux ligjies de symétrie restées Itamobltes (S IS).
L'épure ombrée ci-contre donne, & une plus petite écbelle, les projections BCB, sur un plan parallèle à l'axe de torsion, des contours d'un grand nombre de secUoos ainsi modiflées. La torsion y a été exagérée pour en rendre les effets plus apparents; car elle est supposée d'une demi-circonférence sur une longueur égale à nfols, ou 3'"",lil6 te grand diamètre 6=BB de la base; en sorte
que fl = -T = T , et le pas des hé-
278 SECT. I. RÊSISTANQB DES SOUDES,
( Du n* !&•).
lices dans lesquelles une torsion 0 par unité de longueur change toutes les fibres et les arêtes et dont l'expression générale est
a pour grandeur seulement 2j:b ou 6^<^'',28 ce diamètre. Or, avec une torsion pareille» les proportions des accroissements des distances moléculaires cesseraient de pouvoir ôtre considérées comme très-petites, et les lofs analytiques de Télastiolté qu'on a invoquées ne s'observeraient plus (*).
S 22; Moment de tor^on et résistance à la rupture éloignée par torsion d^un cylindre elliptique* Position des points dangereux. Ex^ plioation des différences avec la théorie ancienne. — On trouve pour le moment de torsion de ce cylindre elliptique dont la base a pour diamètres principaux 6 et c, soit en faisant G^=3 0, 0'^= 0, G'^^O, G,=: 0 •... dans la formule générale M^ = .... du $ 16, soit en mettant dans celle M|=:G \^(g''u*g'v)d<u du S ^ l^s valeurs de g'f g"' du S précédent
Gomme on a ($ /i de la note du n« 8/i , p. 66) pour les moments d'inertie de l'ellipse autour de ses axes 6, c :
cette expression du moment revient à
^, GO «6»c» ÛGO
(<) Oq u Toir eo offet loui i l'heure que le gUisement maximum est ' l 6c,
4 be
ce qui, atec 6= -, donnerait , dont la râleur numérique, li hzsz^c
comme le suppose la flgure , serait ~ et donnerait Heu , dans un aeni oblique
( § 6 de la note du n* 45i), A une dilatation d'un peu plus d'un cinquième.
ART. y. TORSION. 371^
(PU n« tft«).
11 est égal au coejieient éPékuticité de gliisemênt 0 multiplié par la torsion 0 et par deux fois Vinverse de la demir-somme des in^ verses des moments d^ inertie principaux de la section»
Pour poser Téquation de cohésion permanente ou de résistaiiçe à la rupture éloignée , il faut d*abord chercher, sur la section , le point dangereux f pour lequelg=v/g^ + g"* est le plus grand. La valeur générale de ce glissement principal , d*après celles de g', g''
du S précédent , est
C'est sur le contour qu'il faut en chercher le maximum, car la quantité sous le radical, pour chaque direction du rayon vecteur ou
chaque valeur du rapport - , est d'autant plus grande que v et t4 sont plus grands. Or comme on a aux points du contour
îf! a. h! — ^
on obtient pour le glissement, en tirant r' et substituant
cO
La plus grande valeur de ce glissement, si 6 > c comme nous supposons , a lieu évidemment pour
et sa plus petite valeur pour u es :t: (le d«mi gnud ue -)•
C'est donc aux extrémités du petit axe de la section elliptique que se trouvent les points dangereux ou de plus grand glissement. Et c'est aux extrémités du grand axe que sont^ parmi les points du contour^ ceux de plus petit glissement^ où la matière court le moins de risque de se désagréger, si, bien entendu, le solide n'est que tordu sans être en même temps fléchi , et pourvu toujours que la torsion BOit peu considérable, en sorte que la dilatation longitudi* nale des fibres courbées en hélice ne dépasse pas une proportion très-petite du second ordre (S 2).
(Da n* tft«).
Le glissement maximum a ainsi pour grandeur
En l^égalant à la limite des glissements permanents non dangereux» ou à (S 17) :
on a pour équation de non-rupture ou de cohésion permanente
GO Ttb^d^ ou, en éliminant 6 au moyen de Texpression M| = ig XTTTs '^^
moment de torsion,
ymitedeM,= Î^To=.^To;
équation qui » comme toutes celles du même genre , ne contient plus que le coefficient de cohésion permanente T..
Les expressions ci-dessus de Mj en fonction de 0 et G » et de limite M| en fonction de T. sont très-différentes de ce qu^on aurait par Tancienne théorie (n* 156 et $ 1 de sa note) , car cette théorie , qui supposait que les sections des prismes tordus conservent leur forme plane primitive» aurait donné pour notre cylindre elliptique
Moment de torsion M| = G6J = G8(I -|- 1') =G0 -^ (6* + c«).
Plos grand glissement , anx extrémités da grand axe 26, ~ = - 0,
Équation de coWsion permanente ! limite M, = 5^ (6*4-c')cT,=2 -^ T..
Voici les rapports entre les vraies valeurs de M et de limite M| » et celles que nous venons d*écrire :
(Dn n*
Rapport dei Traies Taleariaux Taleurs fausses
de Ml.
de Limite M|.
îftc
(6i-|.ci)i
9fS5 =0,36
-T- très-petit.
-- très-petiu
Poar - quelconque
- très-grand.
Les formules y basées sur la théorie ancienne» inspireraient donc aux constructeurs une fausse sécurité , soit pour la résistance à la rupture, soit , et encore plus , pour la rigidité ou la résistance élastique. Le rapport des charges regardées comme non dangereuses d'après cette théorie et d*après celle que nous venons d'exposer peut prendre toutes les valeurs de i à Tinfini.
Cette diminution du moment des résistances élastiques par TeiTet du gauchissement du plan des sections s'explique en observant que, comme les éléments des sections s'inclinent en même temps que les éléments des fibres devenues des hélices, rinclinaison résultante , ou rinclinaison mutuelle des fibres et des éléments, est moyennement moindre que si les fibres s'inclinaient seules ou que si les sections restaient planes et perpendiculaires à l'axe de torsion. Cette inclinaison mutuelle, ce glissement , est môme presque zéro aux extrémités du grand diamètre b de l'ellipse, s'il est considérable par rapport au petit diamètre c; ce qui vient de ce que les fibres exercent sur les éléments des sections une action qui maintient presque leur perpendicularité aux extrémités des sections trèsallongées, ou aux parties où le contour a une courbure très-prononcée.
282 SECT. I. RtaiftTâlIGB DBS SOLIDES.
(Du u« IM}.
Mais sox parties d'une flEtIble courbure, comme sont les extrémités du petit diamètre de Tellipse , il en est autrement ; les éléments superficiels , retenus par d*autres éléments qui les précèdent et les suivent, non-seulement ne cèdent pas à la sollicitation des fibres , mais encore sont entraînés à s'incliner dans un sens opposé h Taction qu'elles exercent en cet endroit
Il en résulte que, contrairement à ce qui se passerait si les sections restaient planes , c'est aux points du contour les plus rapprochés du centre qu'a lieu le maximum de glissement , de résistance et de danger. Là , les fibres s'inclinent moins sur l'axe central , et les éléments superficiels s'inclinent aussi moins sur leur ancien plan qu'aux pointa les plus éloignés , mais leurs deux Inclinaisons conspirent ou s'ajoutent pour produire un glissement plus considérable, tandis qu'aux points les plus éloignés , elles se soustraient Tune de l'autre pour produire un glissement presque nul.
Cest ce que met très-bien en lumière l'épure ombrée du S précédent (et encore mieux un relief en carton, sept fols plus grand, que
nous avons d'abord construit). L'arête BBB , l'une des deux plus
éloignées de l'axe de figure, reste sensiblement normale aux contours BGB, BGB des diverses sections, tandis que les deux
arêtes GGGG..., GGGG ..., qui sont les plus rapprochées du même axe, ont sur ces contours des inclinaisons très-prononcées, représentant le glissement maximum ou le plus dangereux , dont on a
trouvé la valeur égale ft jrr^ ^^î valeur toi^ours supérieure 4 celle X 0 qu'il aurait à la section restait plane; supérieure aussi à
celle .^ , 60 du glissement aux points B, B, B , ou les plus
éloignés, dans le rapport x^ = ~ (*)•
(1) En aiiendaDi que iioui rapporlioni, dani le complémeiit aux ariides I i VI, les diversefl espèrieDces de flexion, de torsion, etc., qui ont été raiies, nous pouvons dire que celles de M. Wertheim, consignées dans son Mémoire annoncé dés 4853, présenté i rAcadénie le 49 février 4855, et publié au numéro de Juin 4857 des Annales de physique et de chimie , ont conflrmé la théorie nouvelle que nous exposons ici pour la torsion ; car, en ce qui concerne d'abord les cylindres elllp-
ART. y. TORSION. 381
(pu n« IMI).
i 23, Quatrième particularisation. Prisme à section triangulaire équilaiérale. — On donne rarement une pareille section aux pièces tordues ; mais elle est , après le cercle , celle pour laquelle les formules sont les plus simples, et sa considération fournira d'ailleurs , avec des remarques utiles, des chifiVes pour une petite table à Taide de laquelle on peut, en intercalant , se dispenser quelquefois de longs calculs dans la pratique (voy. $ 38).
On obtient cette section triangulaire en réduisant les expressions et équations du $ 10 aux termes affectés du coefficient G3, et en particularisant convenablement le second membre désigné par K. En effet, Téquation
convient, tant qu'on n^établit aucune relation entre G3 et K , à une infinité de contours courbes à trois sommets , dont chacun est compris entre un cercle et le triangle équilatéral inscrit. Mais en y faisant
cette équation multipliée par 26 peut être écrite
et représente bien* en égalant h zéro successivement les fac* teurs entre parenthèses, les trois côtés BG, BA, GA d'un triangle équilatéral dont le centre de gravité 0 est pris pour origine
tiques, la formule de momeot de torsion dont il se sert , sous le n" 44 , pour re*
présenter très-approximalivemenl ses expériences sur l'acier et sur le cuivre
(à TarUcle zu de ion Mémoire, page 23S du volume des jdnnalet)^ coïncide avec
G6 ictM la nôtre cMessus M| = -- --t- — -, ta appelant G, Mi , 0, 5, c ce qu'il appelle
16 VT'f- c'
â^» P^'> .Qfto »» '^i> ^r ^ remarque que rbtbUa physicien fait à la page
suivante de ion Mémoire prouve qu'il n'a pas aperçu œtte coïncidence avec une formule que nous avloni donnée dès 4S47, aux C(mpie$ rendus de F Académie, t. XXIV, p. 849.
SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
(Du n-iftS).
des coordonnées 9 et la hauteur DoA = 36 pour axe des u, vu qu'alors le côté A;=r
BG = 26v^, et que si oP = Tabsclsse u, on a Tordonnée positive correspondante
Alors» aussi, on a ($10)
GlissemenU g'= — e^r+Î^V g" = 8 ^w — îî-IlHÎ\ ,
9« «CM ^^^ mS
Équation de la mitkct de la section 2 = — 0 ^T — t
qui s'appliqueraient aussi à une infinité de contours comme ceux
dont nous venons de parler, résultant de valeurs autres que -^
données au second membre K de leur équation, mais qui sont circonscrits A des triangles ayant d'autres dimensions que ABC (0-
Les plus grandes ordonnées z = z*. = 1/3 66* de cette surface de la section répondent aux points tels que m situés sur le contour à des distances Dm = 6 des milieux des côtés. On a figuré les coupes de cette même surface par des plans z = ±:0,2zm, ^O^Atm,
Le moment de torsion sera, en faisant G, = — g? et les autres 0 = 0 dans la formule générale du § 16,
Ml = GO R (tt« + r*)d» - ^ J (u»— 8uîJ«) deoj.
(1) On Térifle (kcilemeDt que l'6qnation définie ($8) g^dv— g'dv = 0, ou [l^h^u)u-^t^du+^u+b)vdv=Q , MtisfaileptrdMrrO, «=— 6,etauM|
par S&— ti=±:vv3, cfM==p(iv^.eoDT{eBt aux trois côtés du triangle équilatèral , ce qui peut senrir pour près enfer élémenlaireBent le ealcul de la tonion du prisme dont il est la base.
( DU n* !«•).
Pour le calculer, observons d'abord que les deux moments d^inertie fu^thi , fv^dta autour de or, ohu sont égaux ; car les moments autour des trois hauteurs du triangle ont évidemment la même grandeur ; or lorsque les moments d'inertie â^xme figure aun tour de deux droites , même obliques Punê à Vautre^ et yassatit par son centre de ffravité^ sont égaux ^ ils le sont autour de toutes les droites tracées sur son plan par le même centre (')• On a donc d'abord pour le moment polaire du triangle (S i de la note du n* S2) :
J = S(u«+t?«)dw==2jr*dio==2.2. ^•36(^y==~^==36*V^.
Observons ensuite que si r est le rayon vecteur d*un élément (f<i>, on a Srh>diù = 0, et de même /rHi'(2fa>= 0, u' étant la distance de cet élément à Tautre hauteur ou axe de symétrie GoF.du triangle; car chacune de ces deux sommes se compose de termes égaux deux à deux au signe près ; d'où résulte /r*uc7<o=:0, car u' est somme ou différence des projections de u et de v sur GF et sur sa perpendiculaire. En sorte qu'on a
d'où J (»• — 3Mo')dM = û/tt'd» ;
Donc, définitivement
Le moment de torsion du prisme triangulaire équilatéral est les 0,6 ou les 315 de ce quHl serait si ses sections restaient planes.
Les glissements g', fg^ sont nuls pour o = 0, u == 26, ou pour ti = — 6, V = =t: 6v^3, c'est-À-dire aux angles A, B, G; ce que nous
(*) car, d'aprii l'expreMion Ii=l" + (l'*I'0 (-j du $ 8 de la aole du D* 83, I| ne lauraii avoir la même grandeur poor deux Talenri différenlet de ^ qui déieriDine l^angle des uci de I| ei de 1', i noina qu'on n'ait l'=r'=I|«
(Du D« 166}.
savions déjà, car ($$ 4 et 14) les arêtes doivent y rester normales •aux sections.
Pour trouver les points dsAgereux ou de plus grand glissement par la méthode du S 17, égalons à 2éro la différentielle , par rapport t Tangle «, de Texpression (S il)
|J 3= r« + C\ (3r*)« +2,3 C,r»co3 3« »= r« + i^ -l^^.
Nous aurons l'équation
3 j sin 3a = 0,
satisfaite par r = 0, qui ne jsaurait convenir» et pai*
ein 3« = 0, d'où 8dc := Ot n. 9)c, 3n, An» 5», 6ff
en sorte que (môme $ 17) les points dangereux doivent être cherchés concurremment sur les trois lignes telles que AD abaissées des angles du triangle sur les côtés opposés, et sur le contour, c'est-à-dire sur les trois cêtés tels que BG du triangle.
Or, sur la ligne AD» on a v = 0, g' = 0, g = g" = 6 f u — ^ j ;
86»—. tj* et^ sur la ligne BC, u = — 6, g' — 0, g=:g" = — 0— ^^. La
plus grande valeur du glissement, abstraction faite du signe , a lieu sur Tune comme sur Tautre à leur intersection en D, pour laquelle v=:0»u==---6| d'où
g = -|fl6;
car, au point du maximum par rapport à r ou à u répondant sur AD à u = 6 , ou placé à mi-distance entre 0 et A , ce glissement n'est
que g 96 ou trois /bis moindre*
Les points dangereux sont donc aux milieux dés côtés de la base triangulaire équilatérale , ou (comme pour Tellipse , etc.) aux endroits les plus proches du centre de gravité.
Égalée ou comparée à la limite -~ des dilatations ($ 17), cette va-
(Da n* I&«).
leur ^ 06 du plus grand glissement donne pour équation de cohésion permanente ou de non-rupture
d'oû^ eti éliminant è au moyen de M^ =: ^ 06 6\'3 =^ 0,6GS J,
Limite Ml ^ 0,4 j T. = i,2T.6» v^3 = ^ T„ JT
OU l€s 0,8 = A/5 de jA qu'on aurait par lai théorie ancienne qui
supposait que les sections restent planes.
Il est bon de voir quels résultats aurait donnés Inapplication coin* plète de la méthode de recherche des points de maximum absolu s'il y en a sur le plan de la section , parce que , dans d*autres cas , on ne peut pas se passer de remployer.
on d'abord pour ces points, s'ils existent^
équationa satiafaites par r = 0 ou par
sin 3a 3= 0, V = ^cos 3x ±: ^ v 0 coa* 3a — 8
et qui donnent en conséquence :
1* r = 0 ou le Centre o
^ ^24 • • (r3=î26 oalestroU angles A, B, C»
5* a = 0, ^ t:, 5 ft, C08 3a i= i I . . . . n
'33 ( r = 6 OQ des points tels (pie P,
