GO 6V

Gaite axpreasiOA cff^f^rocAé* du moment de torsion d'un prisme à base rectangle est celle que rapporte Navier an n* 150 ci-après (en faisant a := i) ; o*est celle qu*a trouvée» «n 18â9, M* Gaucbj, en se basant sur d*autres considérations et sur d'autres hypothèses (*). Si Ton regarde comme exactes les expressions précédentes des glissements ^ et g*» le plus grand gllarament s/g^-fg"* a lieu

pour o = ±^, u=±^, et sa valeur est pour le rectangle

En régalant à la limite ^ des glissements non dangereux et éll«

minant ensuite OS an moyen de Texpression précédente de M^ » on trouve pour équation de résistance à la rupture

Umite M|= ,!— gT,,

donnée aussi par Navler au n* 167 ci-après.

Ces valeurs de M^ et de lim. M^ ne sont exactes» eomme oi) verra 9 que lorsque le prisme est très-plat, ou qu*un des côtés de sa base est fort considérable par rapport à Tautre; on a alors, si c est le petit cété, dont on puisse négliger le carré devant 6* aux dénominateurs :

Mj = Ge^=4Gei. lim.M,= ^T. = ~iT.,

formules semblables à celles qu'on a pour une ellipse très-allongée.

Mats, pour 6 =s c, ou pour la section carrée, elles sont fautives.

Elles donnent en effets alors , la même chose que si les sections restaient planes; et , par conséquent, un moment de torsion M| trop fort , puisque, dans la réalité, les sections se courbent vers les angles

• (*) Bxtreieeide mathémati^ueit 4< année, p. 69, formule (405).

ART. Y. TOBSION. 291

( Da n* fl««}.

de manière à rester normales aux quatre arêtes saillantes changées en hélices (SS A et 17), ce qui rend nulle la résistance ou la réaction élastique en ces endroits, et diminue la résistance moyenne.

On peut remarquer» aussi , que pour un rectangle ou un carré, le glissement, d'après ces formules, aurait la plus grande valeur aux angles, c^est^é^ire précisément aux points aîi il est égal à zéro*

Aussi Texpérlence , et le calcul exact par séries transcendantes , dont nous allons donner le résultat, prouvent qu^il faut corriger la formule de torsion de M. Gaucby en la multipliant par des coefficients numériques compris entre 0,8A3&6 (répondant à 6 s c) et 1 (répondant & c très*petit devant b)*

$ 25. Prisme à base rectangle. Formules transcendantes et exactes de sa ^or^fon.-^ Soient toijjours b les côtés de la section rectangle parallèles aux u, et c les côtés parallèles aux v.

Sur les premiers» on pour v =s d: ^, on a <ft) = o, et, sur les seconds, ou pour u=: dix, on a duss o. La condition définie (S 8)

f^ ^^u\du — f ^ — Ot? j (Z« = 0 relative au contour se partage

en deux autres

dz ^ , b ce

-^ =: Ot^ p<mr tt s :!: ^ qud ont wH 9 entre -— = et ;r du 2 2 2

dz ^ . c b b

•7- =: — Ou pov V = 3= ;r qtiel mu toit U entre — -et ;:. dv 2 2 2

On ne peut pas satisfaire h ces conditions par une intégrale de forme algébrique de Téquation ind^me

Mais cette équation a aussi des intégrales transcendantes car elk est résolue par une somme quelconque de termes he^^é^'^ où e est la base népérienne 2,71828... et A un nombre quelconque si ceux m, m'sont liés par m* + m"* = 0 en sorte que Tun est imaginaire quand Tautre est réel, ce qui revient à prendre pour intégrale générale, 2 s'étendant à toutes les valeurs possibles de Am» de A » et de m,

2 = 2c*»» (A« sin mv + A « cos mv) on le*» (Am sln mu +A « cos muj.

( Du D« 150).

On trouvera ainsi , en déterminant m, Am» A m par des procédés connus, et en appelant, pour abréger, sib, cob, tab des sinus, cosinus et tangentes hyperboliques en sorte qu^on ait en général

sibx = 2 ' coba;= ^ » ^*^^=pqrF^'

on trouvera, dis-Je, ces expressions doubles en série transcendante , où la somme 2 s'étend à toutes les valeurs entières et positives du nombre n de 1 à Tinfini :

[ «= «(i)n-i sib iîi::iî «w . sin — M V i Ay C ^ ^ C ^ ^ «=:i (2n— 1)« coh ~2^ï5^

JCC

à //MA (—4) * sib — T — Tx . sm — r — Ku I

(2n — 1)» cob ^^^~^ r.c

(<) Eo effet, eo faisant z=z'— Sut;, la deuxième condition définie se limpIiRe, ei on a à intégrer l'équation --t* -h "rr=^ ^^ manière que

dz' b ce

-— = SOv pour fil =: d= - quel que soit v entre et - .

du t t 2

tfz' e b b

.-— = 0 pour v= ±: - quel que loit u entre et ^ .

dv 2 2 2

Vu la sïmétrie de la section par rapport aux axes des t* et des v, on saUsrera 'à ces équations en donnant , dans la première des deux intégrales générales transcendantes du bas de ta page précédente, aux coefficients A , des Taleurs telles que 2' reste le même au signe près quand on change soit u en — t», soit v en — 'V d'oà k'm=0, et

2'=ÏAin(««»«— «-m») sin m»,

et en déterminant convenablement m et Am. I^t deuxième condition définie

dz' c

— =0 pour v=d:-, appliquée au terme général du £, senrira i déterminer m\ Il en résulte, n étant tous les nombres entiers et positifs de 1 à 00 :

me ^ me 2fi— 4 2n — 4

la il faudra que les coefficients Am soient tels que la première condition déHuie

D'où, vu qu'en général — -5 — = coha;, — -r — =sihx:

soil satUraile, ou qu'on ait (eo divisant par S9)

ou , An représentant par Bn la quantité entre crocbels ,

. 1CV , 3it» . 2fi— 4

v=BiBin |-B- sin 1- ..,,-f- Bn sin rv -f ....

ce c

Les coefficients B peuvent être déterminés par l'expression entre parenthèses de la formule suivante, qui se trouve, sous le n" 7, au bas de la page 649 article 386 de la seconde édition (4833) de la Mécanique de M. Poisson,

V^ ( * f ' , » 2i— 4 , \ îi— 4

en faisant f = - , t=n, a;=v, «p(«]=t;, et par conséquent o(a;') = ii;'. Mais

nous pouvons les déterminer directement sans supposer connue cette formule.

Pour cela, multiplions l'équation précidente v=B| sin {- par

rfv.sin — TO? et intégrons ses deux membres de v=0 à v=-. Tout c 8

les termes du second membre disparaîtront, excepté celui qui vient do

Bn sin — ^— rv, où n a la même valeur que dans le multiplicateur, car comme

on a , en général ,

f (• cos(A-^lg')v — cos {k-^k')v sin(A— it*)t; sin(A+A')»

V dv sin Mv sin Vpss V dr ^ — "âTjflTÂ?) 8 (AÏ^'F ^ ^"*^"*«»

on a bien, si n' est un nombre entier différent de », en faisant A= ic

îii'-4

311—4 3n'— 4 di; sin xr , sin tw= 0,

L'équation multipliée et intégrée n'a plus, en conséquence, que le terme affecté de Bn dans son second membre, ou se réduit à

\ vdv sin iw = Bn I ai? . sin"

Sa— 4

irr.

3M SBGT. I. RÉSUTANCB DES SOLIDES.

(Du n« AMI).

[I /Av 1 i-^lr^ coh?V^«u, lia

(2n— 1)' coh— sg— wc

(2n-l)«C0h?î^nô

^ ' (2n— l)'ooh--jg— w? 1

fi f»-4 r» c . în— 4 gfi-4 T» c .

Or \ rfr.Bla'— — 1»= I -— -— : -^tm ■ iw.coi iw I =- ;

j, c \% f(2ii— 4jic c c J« 4

f» fn— 1 r t în-4 / c y, Sn-l T \ rd». tin ■ iw= l — w 7- 77— cos — iw + ( — -r- J fin — iw I =

= ( — ^-r-l (—4)**"** d'où on lire le coefficient V(2n-4W

(,4)fi-ict 4

qui , égalé à U quantité entre erocheti de réqnaUon »=£ [ ] iln — ;j— «»•,

donne la Talcor de Am; celle-d, mise dani «'=SAm(«-««— r-««)ilniwv, miieà ton tour dans *=*'— 611», donne l'Inlégrale salitraisant à loulea Ici conditions, et qui n'est autre cliose que la première des deui Taleurs ar=Wc [ ], données ci-dessos, page S9S, et quMl s'agissait ici de démontrer.

La seconde ?a1eur de Jt aunit été obtenue absolument de la même manière en faisant z=«'+8ttw au lieu de ar=a;'— eiir, ce qui réduit i léro le accond membre de la première condition définie au lieu de celui de la deuiième , et en

prenant «'= LAm(e«» — «-•»") «»« «««•

cet deui Taleurs de ar, très-différentes en apparence, sont identiques, comme nous afons été i même de te férifler en calculant un grand nombre de Taleurs Bunérlquei de l'one et de l'autre.

AKT. V. TORSION. 295

(Du n» i5e).

Et M, =G06cJ -^ - 1 f-^V ? V !!^:^^

' L3 16 \r.J b ^é (liTi - 1)« J -

13 16 \tz) c j^ (2n — 1)» J ^^

^ S ii6. Conséquences. Moments de torsion des prismes cams et des prismes rectangles. — On calcule facilement le moment Mj quand 6 n'est pas plus petit que c en mettant la première des deux expressions que nous venons d'en donner sous la forme suivante* ë« égard à ce qtie (Lacroix, Calcul difif., n* 1006 et 118/i)

(2n^l)» 1 ^ 3»^ 5« ^- — ï ^ 2/13"^ 3125"^-~- V 2ï;29642Î5 dont le produit par — P j = 0,209137 est 0,210083 :

(>) ^n effet, en «yant 6garé à c« qite

f j . i„ sin Ar» r. , . , cos Av «in At?

Ja» co« A» r;^ — ^- const.; ^wdw sin *r == — v — j — rj — |- consl.;

p j ... . ,, coh Al* 8ih Au . sih Au

J^titfM sih A» == tt "■ «— — — + oonsl. ; Jdti coh Au = h const.,

on obtient faciiement STec les premières expressions de g",^' r

. <6bc»^ 4 64c* ^ .2c

^ ^ («H— 4)».ebii

qui revient à la première de» deux exprcHslons données pour M| si l'on se rappelle (Lacroix, Calcul différentiel et intégral 4818, t. HI, n« H 83) qnR

> ■; r = ^ + . +-T + . ••.==-: '-' Et la seconde expres'ilon do

^(in-^)^ ^3*^5*^ ^.2.3 2» *

Mj ^'obliendrati de même nvec les secondes expressioiiii de g'', k'.

Mi = Ge6cM 5

(nu D» 1511).

[■ A-tah,^ 1-tah'f* 1-tah^ Vl

On n*a besoin de prendre qu'on petit nombre de termes de la série entre parenthèses, car les tangentes hyperboliques de quantités croissantes convergent vers Tunité (*).

lorsque le côté b est plus de quatre ci le ou cinq fois le côté c, toutes ces tan.-

gentes sont même sensiblement = i, et Ton peut prendre

TA, = G06c> (^ — 0,210083 j) = GO ^ ^l— 0,630249 1^ .

Et si r est assez petit pour qu*on puisse négliger le second terme entre parenthèses, on a GO — = AG6I ou ce que nous avons trouvé

au S 2/i par Tasslmilation de cette section allongée à Tellipse inscrite quant à la forme courbe affectée par son plan après la torsion.

6* Si la section est carrée 6 = c on trouve, puisque ^ = 2 j^,

Mj = 0,1/10577066*= 0.8Û3462G 6 J,

c'est-à-dire les 0,8/i3462 du moment de torsion d'un cylindre dont la base circulaire a môme moment d'inertie polaire que la base carrée, ou de ce qu'on aurait si les sections carrées restaient planes comme le supposait Tancienne théorie, même avec la modification de M. Gauchy.

Nous donnerons plus loin ($ 38) un tableau des valeurs du moment M| d'après la formule générale précédente, et une formule

(>) On a en effet

1 - Uht- =0,003728; 0,0004645; 0,000007; 0,0000008; pour i = 2 j 3 ; 4 ; ft

(Du n» 156).

empirique simple qui les représente à peu près. Ces valeurs sont

généralement confirmées par l'expérience (').

27. Suite des conséquences. Forme courbe que la torsion donne aux plans des sections des prismes carrés ou rectangles, — Les valeurs du déplacement longitudinal z, ou plutôt des rapports nu-

mériques — - — — pour diverses valeurs de j—^, ^ — croissant de

dixième en dixième entre zéro et un, ont été obtenues par le calcul d^un nombre suffisant de termes des séries transcendantes du $ 25 dans les deux cas 6 = c et 6 = 2c pour les quarts de section répondant aux u, V positifs. Des poupes parallèles aux plans des zu et des

(>) Nous dirons en effet ici, en atlendant la partie expérimentale, 1* que dea expériences de SaTart {jénnalet de chimie et de physique, t. XLI, 1 SS9, p. 373 et 9uiT.) sur des lames de Terre à Titre et sur des règles de bois de chéoe ont confirmé depuis longtemps la proportionnalité du moment de torsion donné par la

formule M| = - GO&c*, à la largeur de ces lames ou règles minces et au cube

de leur épaisseur; S* que celles de Duleau (Xseai théorique et expérimental tur la reêistance du fer forgé, 48S0) ont donné pour les barres de fer carrées, à égal moment d'inertie J des sections, une résistance moindre que pour les barres rondes dans une proportion moyenne 0,84644^ nombre peu différent de 0,84346S qutf donne notre théorie; 3" que celles de SaTart sur des liges de cuiTre ont donné aux sections carrées une infériorité de résistance encore plus marquée, car le rapport moyen a été trouTé 0,8406, ce qui s'explique facilement si leurs faces offraient une légère coneaTÎté, elc; 4** enfin que les expériences de M. Wertheim {jinn. de ch, et de ph.^ juin 4857), bien que plusieurs d'entre elles aient été poussées Jusqu'à des torsions excédant celles auquelles la théorie 8*applique, ont confirmé, à deux centièmes près, la formule pour des rapports Taries des dimensions des bases rectangles (ce qu'avaient déjà fait quelques-unes de celles de Duleau et de SaTart), car Thabile physicien IrouTC qu'il faut, pour représenter les faits (art. xt de son Mémoire, p. S47), affecter la formule de M. Cauchy de coefficients de correction

b pour des rapports - = 4 ; 4,333 ; S ; 3 ; 4 : 5 ; 6 :

et notre formate en série transcendante jdonne pour ces mêmes coefficients les Taleurs

268 SECT. I. RÉSISTANCE l)ts SOUDES.

(nu n- IM).

tt que ta dis suites de dix vatelin de z ont permla de construire pour ces quarts de sectiotl, et pat stilte pour les troid autres qu&rts où elles ont les mêmes grandeurs numériques, on a pu déduire, gnphlqttmnent, des mupes équldlstaotes parallèles ans u» ou i raticien plan de laeeclion; d'où les topo^ûphief ci-dessous i I* De la BurracQ àlTectée par ta rentlon carrée fc — c, et qui tjSte quatre parties faisant Galtlie'sur le plan primitif de la section et quatre parties Tafsant creux au-dessous parce qu^ori a z = 6 soit pour»=Ooue — 0 soit pouru=±:t;

ÂBT. T. TOBnON.

(Da D* !«•).

2* De la surface affectée par la section rectangle & =: 2c et qui offre seulement quatre parties égales et symétriques, dont deux en saillie et deux en creux.

Elle serait coupée par le plan primitif en huit parties si b était compris entre c et i,A61d c, mais le creux ne serait pas symétrique à la saillie dans chaque quart de section comme lorsque 6 = c.

Les épures ombrées suivantes ofilrent» pour une torsion exagérée (d'une demi-circonférence pour une longueur égale à ic =s 8,iAl6 fois le grand côté b de la base, comme pour le cylindre elliptique du S 21), rélévation du prisme tordu, placée au-dessus de son plan. Les lignes en double doucine ABABA ou ABAGA offrent les projections verticales des contours modifiés d\m grand nombre de sections primitivement planes. Es sont conformes à ce que présente la torsion de prismes carrés ou rectangles en caoutchouc.

300 S£CT. I. BËSI3TAnCB DES SOLIDES.

(Du B* 1&«).

(Da n* 166).

S 28. Pliis grands glissements^ points dangereux et équations de non-rupture des prismes à hase carrée et à hase rectangle soumis à la torsion, — Les glissements g' et g'^ ou plutôt les quotients

*-T-^, TT ont été calculés par les formules transcendantes du S 25

pour un grand nombre de points du contour des sections, c*est-à-

dire pour les points des côtés u = ± ^ 6, sur lesquels on a g =0,

et pour les points des côtés v r= ±: - c, sur lesquels on a g''=0«

C'est, comme on s*en assure facilement, sur le contour qu'il faut

chercher les points de plus grand glissement principal g = Vg'*+g"'. C'est, sur chaque côté, au milieu de ce côté que le glissement g a la valeur la plus considérable; et, lorsque les côtés 6, c sont inégaux, c'^est au milieu des grands côtés que se trouve ce point dangereux ou de plus grand glissement

C*est comme aux SS ^^ et 23 où nous avons déjà trouvé (pour les sections elliptiques et triangulaires) que les points dangereux sont placés, sur le contour, aux endroits les plus rapprochés du centre.

C'est ce qu'indiquent, au reste, assez clairement les épures ombrées du S précédent, car c'est en ces points (B, B, B... pour le prisme carré, et C, C, G... pour le prisme rectangle) que l'arête ou fibre BBB..., CGC..., changée en hélice, coupe sous l'angle le plus aigu le contour ABA, ou ÀCA, de la section modifiée, tandis que les arêtes vives A AA ... lui restent normales.

C'est ce qu'on remarque aussi sur les prismes de caoutchouc.

Le calcul donne pour le plus grand glissement, aux quatre milieux des côtés des sections du prisme carré, ou quand - = 1 ,

g = g' ou g" = 0,675316 06 = 1,350630 ^.

En l'égalant (S 17) à la limite -^ des glissements non dangereux,

on a pour l'équation de cohésion permanente

T. = ou > 0,676315 066 ;

"", =: j\. T.. Sa valeur véritable n'est donc que les

SOS SECT. I. ttSISTANCI DBS SOLIDES.

(Du n* 166).

(Toù, en éliminant GO au moyen (S 26 ) 4e Mi = 0.843/ii63 G6J :

Umite de M, = ^^^ J T. = 1,24900 J T. « 0,208165 . 6»T.. SI la section restait plane, on aurait pour la môme limite

*^Z ■ = 0,88318 de la valeur que donnait Tanclenne tbéorie. Pour des grandeurs qu^conques de - > 1, en a pour les valeurs

du plus grand glissement, vu que le sinus =(—1)»-'*,

On donnera plus loin le tableau de ces valeurs.

$ 20. Délerminatiori élémentaire et très-approchée- de la torsion df un prisme à base carrée reciiligne par V assimilation de ses sec^ tions à des carrés curoilignes quant à la courbure prise par leurs plans. — Gomme les considérations transcendantes des $$ 25, 26, 2?, 28 ne sauraient être présentées dans tous les cours où Ton traite de la résistance des matériaux, il est bon d'arriver, au moins approximativement, k une partie des résultats ci-dessus d'une manière élémentaire.

Nous le ferons facilement, en ce qui concerne le prisme à base carrée dont le c61é est 6, en assimilant ses sections, quant au mode de courbure de leurs plans, à des carrés curvilignes à angles légèrement arrondis dont l'équation est

lOfc* («• 4- tï») + 8 (u*- 6uV 4- V*) = 36*

et qui ont avec ces sections carrées rectilignes inscrites huit points communs^ savoir les quatre ann gles ou extrémités des diagonales ou plus grandi diamètres , et les milieux des quatre côtés auxquels ils sont tangents, car l'équation précédente est sa-

(DaB*t50).

tisfaite par u ou v = ^ 6 ou 0 avec v ou u = 0 ou ^ 6. Comme

cette équation est un cas particulier de celle — ^ — hC^u +• .• = K des contours considérés $ 10, p. 256, en faisant

*" ~ 20 ' ^* ~ 56^ ®^ ^^ ^^ autres C nuls ,

la surface courbe dans laquelle se changeraient» par une torsion d, les sections d*un prisme ayant pour base le carré curviligne qu*elle donne , est représentée par (même $ 10» p. 255)

ou, en coordonnées polaires (S llfp. 258}, par

ce qui permet de construire facilement une suite de coupes de cette surface, et de voir qu*elle a une forme très-analogue à celle dont la première épure du S 27 donne la topographie*

Les glissements auront, en même temps, pour expressions (même S 10, p. 255) :

et le moment de torsion (§16)

Mj = Ge[ J (ii« + tJ>) du) — J|- j(6wV — tt* — v*) du>l

Cette expression du moment est exacte pour la section curviligne. L*appliquer approximativement à la section carrée rectUigne in* scrite dont le côté est son petit diamètre b c'est supposer approxl* mativement que le plan de celle«ci prend par la torsion à pou près la même forme courbe que l'autre. On a, en prenant les intégrales pour rétendue de la section rectiligne

J s S (M* ^^d^ «c S$tf*d<« := ^;

30& SEGT. I. RÉSISTANCB DES SOLIDES.