DU B
puis
expressions qui peuvent être démontrées élémentairement ($ 3 de la note du n* 81). Substituant il vient
ou
c*est-à-dire les 0,8il ^K^ûe ce qu'on aurait si la section restait
plane.
On arrive, comme on voit, très-près du résultat exact qui a été trouvé (S 26) des 0,8à3/i62 C).
Quant au glissement g = v'6'* + g"* ^^ ©st facile de voir, d'après les expressions de g', g^^ qu'on vient de donner, que sa plus grande valeur a lieu aux milieux des côtés du carré, ou pour u = 0,
v = d= » et est ainsi :
C'est très-près de la valeur exacte 0,675315 06 trouvée au S 28 ; et 11 en résulte pour équation de cohésion
lim. Ml = 5i^ ^ To = 1,2 { T. au lieu de 1,249 ^ T..
On peut donc, dans les cours d'Arts et métiers, présenter élémentairement une théorie très-approchée de la torsion des prismes à section carrée rectiligne par assimilation de sa courbure à celle de la section carrée curviligne circonscrite. Et comme Tassimilation d'un rectangle très-allongé à Tellipse inscrite nous a donné,
(>) Au § 35 ci-après on calculera le momeul de torsion du prisme qui aurait pour base le carré curviligne lui^Dème, el on trouvera 0,S4S6GttJ.
( Ou n« t5G}.
de môme (S 2/i) les expressions relatives aux prismes plats, qui constituent le second cas extrême des prismes rectangulaires, on pourra ordinairement dans les mêmes Cours, pour les cas intermédiaires, ou pour des rapports quelconques des deux côtés c et 6 des bases rectangles, se contenter de citer les résultats numériques de Tanalyse transcendante et exacte qui seront, ainsi , acceptés sans difficulté.
S 30. Sections à contours curvilignes du quatrième degré symé* triques dans les deux sens, — L*elllpse et la section carrée à angles arrondis qui a été considérée au § précédent ne sont que des cas particuliers de celles qui sont représentées par Téquation du quatrième degré (J 10), ne contenant que des puissances paires de u et v :
ou (S il)
+ C,(tt«— 1?«) + q (tt*- 6uV+t>*) = K,
«■ + Cjr» COS 2a + C^r* COS ûa = K.
Elle représente des contours symétriques par rapport à Taxe des u et aussi par rapport à Taxe des t?, mais qui ne sont égaux dans les deux sens que lorsque G, = 0.
On leur donne une largeur b mesurée sur Taxe des u et une hauteur c, supposée moindre, mesurée sur Taxe des v, en faisant
^ 1 + 2716' — c« ^ Un ^l + n 6*c« ^^
\n étant un nombre aii)itraireinent choisi eair« * = 0,207107 et ^ ;
car réquation, qui peut alors être écrite
c*u*-\- 6V— n (6»— c«) (u* - r*) + Un (tt*-.6MV + «*) = ^^ 6V,
est satisfaite par ^^• = j-, r = 0, ou par m = 0, t?' = ^; mais elle
ne fournit des courbes fermées^ ayant bien cette largeur et cette hauteur, que pour des valeurs de n comprises entre les deux limites, Tune positive, Tautrc négative, qu'on vient d*indiquer (*).
(<} En effets quand n est négaiir, l'axe des u est coupé non-seulement aux I. to
( Du qo 166).
Lorsque n = ou sa limite positive, on a un quadrilatère
à angles aigus et côtés concaves comme celui qui enveloppe 1^ autres courbes de la partie supérieure de la figure ci-contre, et qui est formé par la rencontre de deux hyperboles ayant des asymptotes tt=±:(V2— 1)« et t3=db(>/2— i)M, car alors Téquation multipliée par — n peut être mise sous la forme
Lorsque n = .^ , ou sa limite négative (6 étant >c) , on a un
contour avec deux points multiples pour u = dz 6 sur Taxe des u comme celui qui enveloppe les courbes en olive de la partie inférieure de la figure.
Les diverses contours enveloppés par ceux-ci répondent à des valeurs intermédiaires de ;»« et aussi à d*autres valeurs de 6, c.
u* -4- v' Ils peuvent être donnés tous par une même équation — ^ — +
4- C,(tt*— w*) -f- C4 (tt* — 6mV + V*) = K en faisant varier seulement le f^econd membre K.
Si Ton fait c* =r 0, n étant positif, on a la courbé en OD * On peut faire aussi c* négatif. Il en résulte, 71 étant encore positif, des contours composés de deux orbes séparés, coupant Taxe des u chacun en deux points qui sont déterminés, savoir, le plus
poioti ii=:d= - mais encore aux points u
Pour que cet der-
niers points n'apparliennenl qu'à des branches indéfinies de la courbe, fl faut qu'ils soient plus éloignés de l'origine que les premiers, ou qu'on ait •— it< rr-r";*
Et si n est positif >
s/iU ,
il est facile de voir que la courbe représentée
par réqualioo se compose de quatre branches Indéfinies no se rencontrant pas.
(Du D* tftS}.
éloigné de Torigine 0, par w* = -^, et, le plus rapproché, par
u* = —T , ce qui exige que — c* ne surpasse pas |--— 6*,
valeur pour laquelle chaque orbe se réduit à un point, et qui ellemême a pour maximum (V^ *- i)'^'* Les orbes ont la forme de crois-
sauts quand n = ^^ — parce qu'ils sont formés par la rencontre
de deux hyperboles ayant Tune et Tautre Taxe des u pour axe réel.
Si 71 = 0,2, c* étant positif, le contour passe par huit points du rectangle dont 6 est la base et c la hauteur ; mais ce n*est guère que dans le cas c = 6 du S précédent qu'on peut utilement Tassimiler à la figure rectillgne inscrite (^j.
La surface dans laquelle se changent les plans des sections a pour équation (S 11)
ê = • -2- ¥T-ài ^^*^ ^« -^ PT7« ^''"^ ^"'
qui peut servir à la décrire par coupes en se donnant 051 ^^ > ^M^' rantr.
Le moment de torsion est (S 16}
M, = GO r C(tt«+v«) cfo) -(i-|-2n) ^^ \(u> - u») dw
£t les glissement ont pour grandeurs ($ 11)
g* = 0 [— (1 — 2C,) r sin a + UC^j* sln 3a], g" = e [(1 + 2C,) r COS a + 40^7^ COS 3a]|
- 1 - (1 + 2n) ^ï-p^ + gr-? (3«' - »')} g« = 0«[l-(l + 2n)|;=| + 5i|L,(u«-3r«)].
{*>) Ces diTen conloori, au reste, pour 6* el c> inégaux ^ ne son l pas dénués d'intérêt pratique. On peut assimiler plusieurs d'entre eux à ceux des sections des rails de cbemina de fcr^ dont on est quelquefois dans le cas de coosidéror Ta ^
torsion (voyez § 35].
( Du n» iSG).
§ 31. Recherche des plus grands glissements et des points dangereux sur ces sections du quatrième degré. Ils ne se trouvent que sur le contour, -r- On tirera de ces expressions ou de la formule générale du $ il :
|! = r« + ÛCV + AC, (r« + ûC^r*) cos 2a + 8C^r* cos 4* -f iGC\r^.
Voyons d'abord si g' a un maximum absolu sur le plan de la section. Pour cela tirons :
^ |i = — 8C, (r« + AC^r*) sin 2a — 32^* sin A« ,
^ ^ = — 16G, (r* + AC^r^) cos 2a — 128 C^r^ cos &«.
d On satisfait k -j- = 0 i
dOL
1* Par sin 2a = 0, a = 0, ou en prenant les points de Taxe des u;
2* Par sin 2a = 0, a = ^ , ou les points de Taxe des r;
1 4- ÛC r* 3" Par cos 2a = — C, T. * ou les points d'une hyperbole dont
réquation en coordonnées ordinaires (vu que H = u* -f 0*9 r* cos 2a = u* — t?*) est
(2+C,)tt«-(2-.C,)i^-:=^,
et dont Taxe réel est celui des u ou celui des v selon que le signe de G4, le même que celui de n, est positif ou négatif, car — G^ est toujours positif < 2 d'après les limites 6* et — ( v'2 — 1)* 6* assignées à c' au § précédent.
Examinons successivement les points donnés par chacune de ces trois solutions en considérant d*abord le cas où n, et par consé* quentc^, est positif, ce qui est le cas des courbes du haut de la figure du $ précédent
La solution (1") ou a = 0 donne
Ç==[(i + 2C^r4-ÛC,HJS dont le maximum ou le minimum autre que g' = 0 répond à
ABT. T. TOBSIOn. S09
(Do Q* i5G}.
-l-2C, d'Où "^^ 5!-??^(i4-(L + CM
quantité toujours positive quand r est réel, car 1 + G^ + C% peut
mum absolu sur la droite a = o ou sur Taxe des ti.
La solution (2«) ou a = - donne
g=[(l-2C,)r + àC4r»]«,
qui, vu que G, est négatif et G4 positif, crott constamment avec r. 11 n'y a donc pas de maxlmun absolu de g* sur la droite a = - ou
sur Taxe des v*
1 + &G r' Enfin la solution (3*) ou cos 2a = — G. T^ 4* donne, en sub-
^ SG^r"
stituant et réduisant
g = (l-ÛC,^)«(r«-g)
dont la dérivée par rapport à r s'annule ou par r =: 0 qui donnerait g* = 0 , ou par r* =: 77^ » cos 2a = — G, qui rendrait égale-
ment g» nul ("), ou enfin par r* = 71- ^ qui , substitué , donne pour les dérivées du second ordre
quantités de signe contraire soit que G*, ait une grandeur au-dessus ou une grandeur au-dessous de i.
(*] Il est ficile de Toir que dam le cas eitrême où n a i a plas grande taleur — , rhyperbole coi Jar= — -Cj - * ■ coupe ceUes dont te eompoie le
contour aux angles où elles se coupent eUes - mêmes , et que la Bolution
4 6>+c> r'=-— = -^ r pour laquelle le glissement est boI, donne précisément
4C4 8(vï — I)
cet points d'angle.
310 SEGT. I. RÉ8I8TANGB DES SOLIDBS.
. (Du n* 166).
Par conséquent il n*y a pas non plu^de maximum absolu sur les
i 4- liC 9*'
hyperboles représentées par cos 2a = — c, ^ ^ ■
Lorsque n et par conséquent G^ est négatif, et c' positif ^ 6% ce qui est le cas des courbes en olive de la partie inférieure de U figure du S précédent, il n*jr a toigours évidemment pas de maximum absolu sur la droite « = 0; il n*y en a pas non plus sur Vhj-
perbole cos 2« = — C^ * , car r* = T^ 'donne r Imagi-
naire. Et il n*y en a pas davantage sur la ligne « = ^i car la valeur
|j SI [(1 — 2C,) r + tiC^;/*Y a son maximum sur cette ligne pour
tive cette dérivée du second ordre par rapport à «.
D'où nous concluons (S 17) que c'est sur leur contour quUl faut chercher les points dangereux des sections symétriques du W^ degré représentées par les équations ci-dessus.
S 32. Suite, Recherche de ces points sur les contours des mêmes sections. Cas particuliers oii les dimensions sont égales dans les deux sens uetv,'^ Dans ces cas par lesquels nous commençons on a
Cj = 0, 6 =3 c
et réquation des contours est
r' An h*
^ + C4 r*cos A« = K, ou r« -f ^.r* cos A« = (i + n) j;
ou tt*4- v'+/in ^ ^, ^"^ = (1 + n) ~.
Le contour carré à angles aigus et côtés concaves ADA'D' formé . de deux hyperboles égales répond à
(Du n* IftG).
Le contour carré à angles arrondis qui lui est intérieur répond à
On a, pour les points de ces contours
C'est celui dont on s*est servi au $ 29, et qui a huit points communs avec le carré rectillgne Inscrit.
Des valeurs de 'N n décroissantes donneraient une infinité d'autres contours, compris entre celuici et le cercle inscrit qui répond lui-même à
r* ces 4« +
Pour obtenir sa plus grande valeur relative à ces mêmes points, éliminons en cos lia au moyen de Téquation du contour ; nous avons, en fonction de r seul
|= = (l-hn)6«-3r«-|-:::^r«,
dont les dérivées première et seconde par rapport à r sont
— 6r + 38/j j5 r», et — 6 4- 1920 rj r*;
donnant un minimum.
d*où f en égalant la première à zéro,
r = 0 donnant un maximum; ^ = s vs"
Mais la fonction g* peut avoir d*autres maxima et minima, vu que sa variable r en a elle-même pour les points du contour, ce qui est une cause de discontinuité. On les obtiendra en examinant sa marche,
3i2 SECT. I. BÉSISTANCE bES SOLIDES.
(Du n* i&e).
Remarquons pour cela que les deux valeurs du rayon vecteur r
qu'on vient de trouver sont la première plus petite et la seconde
plus grande que toutes celles qui appartiennent à des points du
contour, à la seule exception du cas extrême n = ^^— - — où les
points 7* = À \/ ô'^^ ^^^ ^^^^ chose que les quatre angles ai^s A, D, K\ U; car, en faisant a=z - dans Péquation générale du contour, elle donne pour le carré de la demi-diagonale
, /6\ • i — v^i — An — An»
qui est toujours plus petit que f ^ j ^ , excepté quand le radical
s^anéantit, c'est4t-dire quand 2n = v^ — 1.
L'expression ci -dessus de g* en fonction du rayon vecteur r décroit donc de r =r 0 à r = une valeur relative à des points extérieurs, ou, dans un seul cas, aux points du contour les plus éloignés du centre.
Les plus grandes valeurs du glissement principal g sur le con^ tour ont donc lieu aux points les plus rapprochés du centre de la section.
Ces points, ou les extrémités B, G, B', G' des médianes ou plus petits diamètres sont en conséquence les points dangereux des sectiens égales dans les deux sens. Gomme ils répondent à cos &a= 1,
r* = f - j , le plus grand glissement sur la section a pour valeur
S 83. Suite. Recherche des mêmes poirUs dangereux sur les contours du quatrième degré symétriques mais non égaux dans les deux sens, — Considérons d'abord, parmi ces contours dont les deux dimensions principales 6, c sont inégales, ceux qui répondent à
et qui sont formés, avons nous dit, par les hyperboles
