SIS

(Da n* 156).

BA, ayant ponr équation u' = j- + (v^ — i) t?'

CA

Comme les glissements g\ \g' doivent être nuls à l'angle A , où ces

\K hyperboles se coupent, et dont les coordonnées sont fournies , eu égard à (^2—1) (^2+1) = 1, par

les expressions do ces glissements g', g'' en fonction de u seul doivent contenir comme facteur 16V2.M»— c*-(v2+i)»6«.

Effectivement , en s'occupant d'abord des points de GA, comme on a vu que 3—2^2 = (^2— !)• :

il est facile de reconnaître eu substituant, réduisant et ayant égard à 5^/5—7 = ( ^2— !)•, que g' et g" sont égaux à ce facteur multiplié

respectivement par \% . » ot par r^ x' % ? ^"^ sorte que si

Ton ajoute leurs carrés on a, en remplaçant »' par y + (^^2— l)*tt*, et en ayant aussi égard à ce que 1 + (v2 — 1)* = 2^ . (^ — l) .

(7^^?^ = [2>/2 . (V^2-l)«i^« + J] [16u« v^-c«-6«(V2 +OT.

En égalant à zéro la dérivée de cette expression par rapport à u et en divisant par la seconde quantité entre crochets , dont Tannulation ne fait que donner Tabscisse de Tangle A où g* est nul, on obtient , en remarquant que h — ( v^2 — 1)? divisé par ^2^1 donne A (v/2 + i) — ( v^2 — 1)* = 6v^ + 1*, les deux solutions suivantes de

réquation ^^ == 0 :

(Du no 1511].

u = 0, et ^ = V^8^c,.iv/2-.ir

On trouverait, sur la partie BA du contour, par une analyse semblable, les solutions v=0 et t; = un radical semblable à celui qu'on vient d'écrire pour u, mais qui serait toujours imaginaire, car 6* y tiendrait la place de c* et réciproquement, et on a, par hypothèse, c*<6'. Le point de plus grand glissement, à ne considérer que cette partie Bâ, est donc constamment B, où Ton a

Mais B n'est pas, lorsqu'on a c* positif < 6', le point dangereux. Celui-ci se trouve toujours sur la partie GA, savoir :

1- Si x6« < c« (6v^ + l) ou si I > yj^J-j = 0,32469, au point G pour lequel

« = Od'où»=|. et g = |(v/2+|;^).

2* Si ^ < 0,32469, en un point E du contour^ intermédiaire entre

Cet A^ et déterminé par la seconde des valeurs ci-dessus de l'abscisse répondant à un maximum , c'est--à-dire :

"=Vi8;^i7â^=^* V — kï^ — '''^ — îârtHc») •

Cette valeur du glissement^ g au point du. maximum E surpasse en effet toujours ceUe -s- ( ^^ "*" y . i) ^'^i ®5t relative au point G

quand le rapport ^ est plus petit que W^ ,^ = 0>32469 ; et elle

est, aussi , toiy ours plus grande que la valeur «■ ( V^2 — ^«[T^J

du glissement au point B, môme quand celle-ci vient à surpasser la valeur au point G [ce qui arrive quand ( 6* + c») \/2 < (6 + c)*

d'où ^ < V2 4- 1 — vTv'S + l)*— 1, c'est-à-dire 0,216346]. Par

ART. y. TORSION. 315

(Du n» ifte).

exemple, dans le cas extrême c = 0, où la section se réduit à un oo, ou plutôt à deux triangles isocèles opposés par le sommet, ayant pour côtés les droites v^± (\/2 — 1) u et pour bases légèrement

curvilignes les deux branches de l'hyperbole m' = — + (y 2 — i)*i?* ,

on a encore 0,2ilM 06 pour le glissement en E, et 0, 20711 06 seulement pour le glissement en B.

Le point E est alors, à peu de chose près, celui du contour qui se trouve le plus proche du centre de gravité de chacun des deux triangles isocèles- à base courbe.

Mais il en est autrement lorsque , c* devenant négatif, ou la sec-

tion se partageant en ces deux croissants dont oYi a parlé § 30, -^ r; s'abaisse au-dessous de 0,01223, valeur pour laquelle on a

v/6;n/2 + 1)(6' + 5cV__ b / /5 b^'-c*\ 18 (6« -f c*) 2 V^ 6»+cV'

En effet, alors , le glissement en B excède le glissement en E , et les

points dangereux sont désormais déterminés par u = dï: ^ sur Taxe

des u. Il est remarquable que ce sont encore (comme dans les cas S$ 21, 23, 28, 32, 36y les points les plus rapprochés des centres de gravité.

Maintenant, lorsque le paramètre n a une grandeur quelconque

positive (mais moindre que ^ 7" j , le point dangereux se trouve

en G ou aux extrémités du petit diamètre 2c, et a en conséquence pour valeur

g = (~g' pouru = 0, t;« = ^) = 0c(n+5^),

à moins que le rapport -r de ce diamètre au plus grand ne descende au-dessous d'une certaine valeur, variable avec n, & savoir que

Pour « = 0,907407; 0,i; 0,4; 0,08)66; 0,05; 0,04; 0

on n'ait ^< 0,3)4694; 0,3303; 0,3487; 0,3339; 0,4984; 0,0967; 0;

(Du D« fé%\

On obtient ces valeurs limites en exprimant la condition pour

que, T devenant plus petit après avoir été plus grand, le point

G devienne point de minimum après avoir été point de maximum du glissement sur le contour, ou que le coefficient différentielle du second ordre de g' passe, en ce point, du signe ^ au

signe + ou qu'on ait '^ = 0 pour les valeurs de v cherchées.

Pour arriver simplement à cette expression faisons

i - 2C, (i + n) b^-^nc^ __ i + 20, (i +n)c*--n6*__

nous avons d'abord , pour l'équation de la courbe,

qu' + pv' + 2 =2C:^

qui , différentiée deux fois, donne

-- — = 0, . ^ = 2 -= 7-2 an point C pour leqnd m = 0, t>' = t.

du ' du* c^ + Up F -1 » ^

Mais on a l'expression

qui différcntiée aussi deux fois par rapport à t4, donne, en égalant à zéro la valeur, au même point 0, de sa différentielle seconde, la condition

(3c' — ûg) (3c« + 2p - 2g) — 3c« (c« + 4p) = 0 ou l'équation

(i-i6n + 38n«)(~y-. (1 + lOn - 8n«) ^5 = ~ n (i + 2n),

d'où l'on tire pour r la suite des valeurs numériques qui viennent

d'être écrites. Elle se réduit au premier degré quand 1— i5n -f 387i'= 0 ou n = 0,08266 ; au-dessus de cette valeur de n il faut donner le

signe + au radical de la formule obtenue pour ^; au-dessous, le signe — .

ART. y. TORSION. 31 7

(Du n* f Ml).

Lorsque ? descendra au-dessous des limites que nous venons de

i/î — 1 donner, et quen aura une autre valeur que-^^— r — , il faudrait,

pour trouver analytiquement le point dangereux E sur le contour, combiner Texpression de ^ différentiée par rapport aux deux variables r et oc et égalée à zéro , avec l'équation du contour aussi différentiée ; ce qui donnerait, en divisant par r* sin 2a, une équation où r' cos 2a et r', considérées comme doux inconnues, seraient Tune et Tautre engagées au second degré; et, en éliminant la première au moyen de Téquation du contour, Tautre inconnue, r\ resterait engagée dans une équation du sixième degré fort compliquée.

Aussi il est préférable, alors, et dans les cas analogues, de se servir d'une méthode de recherche numérique du point de maximum par approximations successives, qui sera donnée au $ suivaùt.

Quand c' est négatif, n toujours positif, ou quand la section se sépare en deux orbes, le point dangereux doit être cherché de même numériquement sur le contour, mais il se trouvera presque

toigours aux extrémités u = ±:-,t?=:0,du diamètre commun.

Enfin, quand n est négatif, c* positif, les valeurs de ^ tirées de réquation qu^on vient de trouver entre p et n, sont négatives, et

^ est imaginaire. Aussi , pour les sections en olive de la moitié inférieure de la figure, les points dangereux sont toujours aux extrémités du petit diamètre c.

On pense que cette discussion de la position du point dangereux sur les sections du quatrième degré, complétée au $ 35, et celles des SS précédents et du $ 37 pour d'autres sections, suffiront pour indiquer la manière de les trouver dans tous les cas (<}•

(<) Getlo recherche serait abrégée fi l'on reconnaissait et pairenait i établir d'une manière générale et certaine ce que rensemble des résultats partiels semble indiquer, i savoir que sur les plans des sections il n'y a Jamais de points de matimum absolQ du glissement g , et qu'en conséquence 11 suffit toujours de chercher les points dangereui sur les contours qui les limitent.

(Da n« IMI).

S 3/i. Méthode générale de recherche numérique du maximum ou duminimun d'une fonctimi d'une variable^ dont la forme est donnée explicitement ou implicitement. — On connaît la méthode dite de fausse position ou des différences proportionnelles^ servant à la résolution d'une équation numérique

de forme quelconque algébrique ou transcendante, et qui consiste, après avoir essayé pour x deux nombres a et 6 choisis plus ou moins arbitrairement, àregarder, dans une certaine étendue, les variations de/x comme à peu près proportionnelles à celles de x, ou a et 6 comme s^écartant de la racine cherchée dans le rapport des résultats de leur substitution à x dans /a:, et à poser en conséquence

X — :;: = 1s; — a7 Q^^ ®û faisant/o; = 0, revient bien & - — - = V 0 — a jo-^fa " x— a Ja

et d'où Ton tire

__ qfb-'bfa - , . . fb fb—fa ^ ' fb —/a'

première solution approchée qui , désignée par c, conduit à en obtenir une seconde en la substituant dans le premier membre fx et en combinant de la même manière le résultat nouveau fc avec le plus petit des deux résultats précédents/a etfb^ d'où (si c'est fb)

fc ac = c — (c— 6) f ^fL » solution qui, représentée à son tour par d et

fd combinée de la même manière avec c, donnera d— (d— c) ^j^ — jr

fa — Je

pour troisième solution , et ainsi successivement jusqu'à ce que deux ou trois solutions de suite s'accordent au degré d'approximation ou avec le nombre de chiffres décimaux qu'on veut Cette méthode généralement expéditive, qui se présente naturellement et qui ne saurait tromper finalement puisqu'elle fournit d'elle-même, avec les rectifications, des vérifications continuelles, s'applique, comme on sait, à la résolution des problèmes sans avoir besoin de développer leurs équations, ni même de les poser en équation, puisqu'il suffit qu'on sache, d'après leurs conditions, quel résultat doit donner l'inconnue x traitée d'une certaine manière numériquement et même géométriquement ou mécaniquement pour y satisfaire.

▲BT. V. TOBSION.

(Du D* IMI

Elle revient à chercher Tintersection , avec Taxe des coordonnées X, d'une portion de courbe ayant pour équation y =fx en substituant à cette courbe une suite de sécantes, ou de lignes droites tirées par deux de ses points que Ton rapproche de plus en plus Tun de Tautre et de cet axe.

Le problème de la recherche du maximum numérique d*une fonction d'une variable x

est un peu plus compliqué que celui de la valeur de x qui Tannule. On peut néanmoins le résoudre d'une manière analogue et assez simple, aussi avec toute l'approximation qu'on veut, en substituant successivement à la courbe représentée par y =/x, au lieu de lignes droites ou de pente constante sur l'axe des x, des lignes de pente uniformément croissante ou décroissante , c'est-à-dire, comme dans la méthode d'évaluation d'aires de Thomas Simpson ($ 2 de la note du n* 85), des portions de parabole à axe parallèle à celui des ordonnées y et passant par trois de ses points.

Soient en effet trois points m^^m^, m^ de cette courbe quel* conque y =/x , déterminés par les abscisses et les ordonnées

Si la seconde ordonnée yi excède chacune des deux autres y^^y^^ la fonction y=fx a un maximum entre les points m„ m, de la courbe qu'elle représente.

Pour en déterminer approxiv^x mativement Tabscisse x quand on remplace cette courbe par la parabole m^m^sm^ à axe ^^ parallèle aux ordonnées et passant par les points m,, ttij, tti,, il s'agit simplement de déterminer la position du sommet s de celle-ci. Pour cela faisons

520 SECr. I. BÊSISTAKCE OES SOLIDES,

(bu Q^f 66).

PiPo = X| — Xo = A, PxPi = X, — Xj = ^1,

^1 — y. = d, yi— yt = di.

Et appelons x», Tabscisse du sommet cherché s de la parabole, t/n = ts son ordonnée, y» Tordonnée correspondante de la courbe y =fx.

Nous aurons aux points m|, mo, nz«, en vertu de la constante proportionnalité d*une des coordonnées de la parabole au carré de l'autre quand on les compte à partir du sommet parallèlement à Taxe et sur la tangente

Vn — Vi d + yn — yi" d, +yH— yi

d dj

équation qui se réduit au premier degré en x^ — x^ et qui donne

Ordinairement les trois ordonnées y., y^, y^ se calculent à intervalles égaux , ou on suppose

h^ = h* Alors on a simplement

^-»-''*+2dTd; ="'^*"^22y,-y,-y.

^ -^ 1 i«i-d,)' , i (y>-yo)'

î^'^-y^+S d + d, "^*^ 8 2y,-y.-y,• ll ne convient pas, en général, de prendre pour le maximum cherché de y la valeur de y» donnée par ces formules , car y» est Tordonnée d'un point de la parabole substituée et non celle d'un point appartenant à la courbe y =/x elle-même. On en obtiendra une en mettant dans/x Tabscisse trouvée Xm, d'où pour une pre^ mière valeur approchée du maximum :

Généralement cette première approximation sera suffisante, car

(DO n* f «•).

d Xm « déterminé comme il vient de l'ètre« diffère légèrement de la yéritable abscisse du maximum de y^ Tordonnée correspondante ^M ne différera de ce maximum que d'une manière insensible , vu qu'aux environs d'un point de maximum les différences très-petites du premier ordre sur l'abscisse ne produisent que des différences très-petites du second ordre sur l'ordonnée.

Mais je suppose qu'on veuille s'assurer du degré de Tapproximatîon« ou en obtenir une plus grande pour l'ordonnée, ou bien avoir plus exactement sa position ou son abscisse. On y arrivera en se servant du nouveau point {x^t y m) de la courbe y=fx^ avec deux des points déjà connus, savoir m^ et m, si c'est entre eux que tombe ce point nouveau , pour faire un calcul tout semblable à celui qui a eu lieu sur m^ , m» , m, , ce qui reviendra à déterminer le sommet d'une nouvelle parabole passant par {x^ , y^) , {Xm » ym)^ {^9 t/t) et qui sera nécessairement bien plus rapprochée que la première de la courbe y=/x aux environs de son point de maximum.

Cette fois-ci on pourra calculer d'abord Vordonnée du sommet ; en l'appelant ' y 'n -et en faisant y«— yi = d', ym— y, = d'„ Zm—x^ = h\ X, — a;m=^'i9 la formule donnera

Si, ce qui arrivera le plus souvent^ le second terme de cette expression est insensible, ou si y'n ne diffère de y m que d'une des décimales qu'on néglige, on se tiendra k la valeur trouvée ym pour le maximum. Sinon, on calculera la nouvelle abscisse

qu'on substituera à x dans l'équation de la courbe afin d'avoir une deuxième approximation y m du maximum , qui sera ainsi

Si elle différait trop de la première approximation y^ (ce qui pro« viendrait de ce que primitivement les points m^^mi^m^ ont été pris trop éloignés l'un de l'autre), on en obtiendrait une troisième

322 SEGT. T. HÊSISTANCB DES SOLIDES.

(Du n* 160).

«III' Il - I ■! 11^

en se servant de mftme in iiouveau point (««» y «) »vec deux dM points déjà connus, ou d'autres plus prQobes dont on oaleuler» Tordonuée fx.

On peut, aussi, s'élever à des approximations de plus en plus grandes en ne faisant usage que de la formule simple à intervalles h

égaux Xfn = x^-^ - y«7"y* — si Ton caloule, après une pre-

mière opération, deux ordonnées y=fx de la courbe proches de celle qui répond à Xm , et également distantes en deçà et au delà , et en se servant de ces trois ordonnées équidistantes comme on s'est servi des premières y.» ^i » Vv

Cette méthode s'applique aussi bien à la recherche d'un minimum qu'à la recherche d'un maximum. Alors, par d et d| il est commode de désigner Vo-^Vx et y^—y^ au lieu de y^—y^ et yy—y^^ car l'ordonnée Intermédiaire est la plus petite des trois quand c'est un minimum qui tombe dans l'étendue supposée petite m^m^m^ de la courbe y=fx.

De même qu'on peut extrapoler légèrement lorsqu'on cherche par la méthode de fausse position la racine d'une équation /x= 0, ou obtenir utilement une des approximations successives en se servant de deux résultats fa , fb de même signe ou répondant à des valeurs a, 5 de x entre lesquelles la racine cherchée n'est pas comprise, on peut, aussi , lorsqu'on cherche le maximum ou le minimum, appliquer les formuHs quand le sommet cherché d'une des paraboles sort un peu de l'intervalle des deux ordonnées ex* trêmes ; mais il doit y ôtre compris lors de l'opération finale.

Cette méthode n'exige nullement que la quantité y dont on cherche la plus grande ou la plus petite valeur soit donnée d'une manière explicite en fonction de la variable x dont elle dépend. Elle peut être fonction de deux, de trois.... variables liées entre elles par une, ou deux.. .. équations, et la résolubilité algébrique de celles-ci n'est pas même nécessaire. Il suffit que pour chaque valeur de x on puisse avoir la valeur de y soit par un calcul simple ou complexe, soit par une construction, soit même par une expérience précise.

Aussi convientroUe parfaitement à la recherche numérique du

ART. V. TORaïQH. SSt

(Do n* IMI).

plus grand glissement g = vS^-g^ sur le contour des section» dflB prismes tordus» lenque le» ooordoniiées ordlnairai eu polaires du point où il a lieu dépendent de deux équations compliquas et trop difficiles à résoudre même numériquement On en verra l'application au troisième exemple du $ suivant

S 35. Calcul du moment de torsion et de sa limite pour divers contours du quatrième degré, — Cçs contours seropt, 1* qt 2°i ceu$ du S 32 , c'est-à-dire le carré curviligne à angles aigus et côtés concaves» et le carré à angles arrondis ayant huit peints communs avec le carré rectiligne Insorit; d* et A""» des courbes dont la largeur 26 est cinq fois et environ sept fois 1^ hauteur 2c au milieu.

i* Sur le premier contour, répondant à

les deux hyperboles Au»— /i(v'2— i)*v«= 6% Av*— /i(v'2— i)V=6«, qui le composent , se coupent w quatre point?

en sorte que la flèche de courbure des côtés est le

âjSs = 2p6i ^ ^""^ "^^^^ N°"' *^'*°' *™"^^'

en calculant par la méthode de quadrature de Simpson Taire <*>, le moment d'inertie polaire J=2$i;'do>

et le moment de torsion Mj = GO [J — -^ S (6m«i?«— 2v*) dwl (' )

w=/i,2557o[^y\ J=3,06533Qy. Mi= 2,38339 G 0 ^gy= 0,77832 GO J,

(i) Pour calculer CB général Jtt">t;*"'<fa> on remplace dcopar âuâv; et, en intégrant d'abord par rapport à r, on a, Vi « ~^o désignant leji ordonnées des parties sapérieure et infèrleare du eonlour, eiiprimèes en fonetioB de rabsidun « ,

eipression au calcul de laquelle on peut appliquer la méthode de quadrature, méQM qutQd on ne peut obtenir qu^ par appr^^lnatlOQ nnnériqQo \^ «fdonaéei Vi r — ▼« (x^ur chaque Taleur numérique de i#.

B24 8BGT. I. RÊSISUNCE DES SOLIDES.

(Daii*ift«).

On a aussi, pour le plus grand glissement 06 [»+ ,, ,j au point B du contour, pour lequel u=^^ v=:0

g=o|v/2=Mi/i2o|.

En régalant à la limite ^ des glissements non dangereux et

en éliminant GO au moyen de Texpression de M| on obtient pour équation de cohésion ou de résistance permanente

Limite M, = T. ?iZZ?3?J

ou , en appelant r la demi-diagonale V^2 • - \/^ J" :

Limite M^ = T. ^ ^^^^ s/W^ = 0,85513 p T,,

2* Pour le second , ou le carré à angles arrondis et côtés légèrement concaves, considéré dès le S 39 dans un autre objet, et qui

répond à

ou qui est représenté par Téquation

B ,4»+ V» + ^f (tt*-6ttV+ »*) = 0,86%

nous avons trouvé de môme u>=4,12712 (|^ ', J=2,86967 (^V, M,=2,34917 (^ *= 0,81862GOJ.

Le plus grand glissement 6 In-^ TTITt) » ^^ P^^°^ ^= 5 » v= 0 , est

g=MO^,

d'où, pour réquation de résistance permanente, r étant encore la demi-diagonale ou la moitié du plus grand diamètre bsj^ :

AKT. V. TORSION. 325

(Du n« tte).

Limite M. = 0,82693 -T..

Pour ces deux sectioos, la résistance élastique à la torsion est donc respectivement les 0,778 et les 0,819, et la résistance à la rupture par torsion les 0,855 et les 0,827 de ce qu'elles seraient si les sections restaient planes au lieu de se gauchir. Nous avons trouvé, pour le carré rectiligne ou ordinaire (S$ 26 et 28), les 0,8/i3 pour la première résistance et les 0,883 pour la seconde. On voit qu'une légère concavité dans les côtés d'un carré suffit pour diminuer très-sensiblement la résistance d'un prisme tordu auquel il sert de base ; ce qui peut rendre compte de quelques résultats d'expérience (sous-note du $ 26, page ?97).

3* Soit, en troisième lieu, la section symétrique mais inégale dans les ûexu, sens représentée par l'équation cV + 6V — =

— — 6*c* du S 30, p. 306, quand on y suppose

n=:0,2, r-=0,2 ou 6 = 5c;

d'où C.= - 0,7^^, C,6'=^^

G*est l'espèce de double spatule qui est figurée page suivante (* j avec les coupes topographiques de la surface courbe dans laquelle elle se transforme, par des plans 2 = =bO,22m> =b0,/i2:m, :±: 0,62.1, =to,82m,

z« étant sa plus grande ordonnée z = 0,28372 6 f ^ j répondant aux • points A, A', D, D' dont les abscisses sont ± 0,8895 5 (•).

{}) Sa forme, et ceUe de la courbe du 4* exemple, soot aiaex rapprocfaé»s de eellea des leciions des rails de cbemio de fer pour qu'on puisse, par leur consldéraliOB, se faire une idée de la rétislance de ceux-ci à la torsion. Si l'on Toulait des courbes qui s'en rapprochassent bien plus, il faudrait recourir à dea équations du huiUème, du douzième ou du seizième degré.

C) On obtient facilement chacune de ces coupes, répondant à une yaleur déter- ^ minée de z, en donnant diverses valeurs à l'angle a, et en calculant le rayon vecteur r correspondant au moyen de l'équation 2=0(C|r*8in9a + C4r^sin4a} qui est du second degré on r*. Elles sont tangentes au rayon vecteur pour lequel

tang. îa^ — ï""^» *' ****^ °°' P**"*" **>'™P'®'^ * "* ^•'« P*^"*" lequel «=;-•

(Du n" 1I5G).

Gomme le rapport ,- des deux diamètres a ane valeur plus petite (]ue 'd,â'203 qui répond à n = Ô.2 daiis là ))étîtë tablé dû ]$ 33, page 31 5, lés points dangereux né soritpaâ *ad5c êÎLtl'émîtèâ 'du petit diamètre; il faut lès ctiéi^hër huroêriqlieffièhi k âroï'té et à gauche siif le côbtéUr. Or, eh résôtVàrtt IMqbàtiÔh du ëbtttour par

rapport à TordoD née v ou plutôt son rapport -r au demi-grand éiamètre, et eu càtcu\iit\t ëbsùiië lë^ glis^meàts p6uf âiVël^ëT^itof*»

à ce domi-diamètre g, on trouve faci-

de -r-^ rapport de r^ lement

Pour

Pour 0.85