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^,!fô^4 4

— 0,5rt84

Oj«8Tb

«-"O-.ogse

Le« Vfilétrs âe?^

feervëht à tfàcéf^ la courbe BAÉCDë»D'C'A' du contour et serviront aussi & calculer

le moment de torsion.

(DU n** ift«).

Les

grand gUnBûBiâat se tveuve enipe les points «( = Q,/^ â ^^ ¥ ==^ 0>0 ô • PQUr e^ ftVQir Ift pwflew fftiWP^ 4*03 ^ t^ffmxA^ ^ iftt»rv^ies égaux A = Aj du 8 précédent, ^ = a;, f ^ } = y, et

nous troavous

qui, pria pouF Vftlovr <k) r^t <l9fti)ft

et par conséquent, en ajoutant les c§rrés,

On «'«iwtM (ai Ton » Quelques «kiutes) que Mtte pKuoiàre s>pproximation est trè»-8uflSsante en appliquant les formules du <j^ d'inégaiité deg i^teryaHog h, A, jjftiir

î>i Ton calcule d'abord, comme nous Pavons dit, l'ordonnée maximum de la paMtbole passM»! pa» les trois points ainsi déterminés, ou trouve

'- -^ m,^^ 1 ^ukaA A4.) = °'"^^^ •*- ''^°°°""'' ^^^-

Elle ^iljrè^^ te^^Rient |^ ^e y^ qu'il çs^ évidemme^^ yiu\il§ do recourir à une deuxième approximation.

Seulement, si Ton désire avoir um valeur ckç l'ab^àeisse du point

328 S£CT. I. RÊSlSTàNCE DES SOLIDES.

' (Du D» 150).

de maxlmam plus approchée que x^ = 0,A552, la formule donne

^ + 1 Va , LA = 0*4552 + 0,000916 = 0456116. 2 AjQ -f mil

yordonDée correspondante est 0,27820 ne différant toujours pas sensiblement de la première approximation 0,27821.

SI Ton avait pris Tordonnée maximum yn = yi + « d4-d ^®

la première parabole, on aurait eu 0,27866. Bien que cette valeur ne diffère guère de 0,27821 et puisse être adoptée sans inconvénient au lieu de ce dernier nombre dans un calcul de résistance, la différence suffit pour justifier ce que nous avons dit au $ précédent, qu'il convient en général de prendre, pour première approximation du maximum, non pas l'ordonnée y» du sommet de la parabole, mais bien l'ordonnée y m de la courbe y=fx répondant k Tabscisse de ce sommet.

On a donc pour le plus grand glissement sur la section, répondant à Tabscisse u = 0,656116 - :

D'où T. = ou > 0,5275000 - pour Féquation de cohésion perma^

nente.

Mais calculons Taire b>, le moment d*inertie J = J(u' + v')dcD et le moment de torsion ($ 30)

M,=G6[j(u«+»')dco-1.4.gS(tt»-r«)cico+ gy MO j(„4 6^v+r*)dcoj

Mous trouvons par la formule de Simpson (S 3 de la note du n** 85) en faisant -r- = x, appelant y la valeur correspondante de -j- sur le contour, et partageant le quart de section OCAB, par des ordonnés V, eniiuit zones de 0,1 x, deux de 0,05 , quatre de 0,02^

et trois zones de 0,01 - de largeur :

(Ou D» IMI).

«=4(-^)'Çyda: = 1,16364 (|)

r = Jii«(iu, = ù^*y£yx«da: = 0,46506 (0'

I = Ji,«dco=4QyÇ[^dx =0,038398 (^j* f 1^ , /6\«f»yx*dx = 0,28963 /6\«

J u«t;*da, = 4 (0 ' r ^* x'dJ = 0,020034 ^~ V J «*da, = 4 (I)' J] y ^ = 0,002680 (|)' D'où co = 1,16354 (^y, J = 0,60345 (^]\

M,=G6(0,60345— 0,41898)^1 y=0,08447Gef^y=0,1678Gej=^.

En sorte que le moment de torsion est le 1/6 environ de ce qu'il serait si la section restait plane.

tliminant GO avec l'équation de cohésion T, = 0,5275 GO n i on a

"'''"•^'=-();527r Uj T--0,16013 (^^j T,=0,.18l - To- -j^^^^,

b expression dans laquelle le dénominateur 1,0502 - représente le

plus grand rayon vecteur r, répondant à Tabscisse u = 0,9856 ^,

en ^rte que la limite à imposer au moment des forces extérieures . est le tiers seulement (0,33405) de ce qu'elle serait si la section restait plane lorsqu^on tord le prisme auquel elle appartient.

On a trouvé au $ 22 (p. 281), pour une section elliptique, aussi 5 fois moins haute que large, des rapports 0,14792 et 0,3846 au lieu de 0,16778 et 0,33405, en faisant la môme comparaison des résistances vraies aux résistances qu'on aurait si les sections restaient planes.

Et si nous assimilons^ comme il a été dit au S 24, notre section

(Du n» t&S).

du quatrième degré à cette section ellb)t^ue inscrite, quant au gauchissement de son plan, ousi nous supposGtns approximativement que le plan se change, par la torsion, dans \^ même surfftce parabo-

loïdale 2 =—6 , w», où 6 = 5c, que celui de Tellipse servant

de base à un cylindre qui éprouverait \^ môme torsion 0, nous aurons

•^*i~2Ge-^rp^. -2G%2j îT(ô72r- T*^i096Ge^^j ,

expression qui excède de près de 1/3 Ifi vraie valeur 0,08A/i7Gôf-j

trouvée pour M^ (•).

A° Soit, enfin, une autre section ep forme de doubles patule, mais

dans laquelle le rapport rrrr, du plus petit au plus grand diamètre

DO

est 0,t4 qu eftvifon 1/7 au Ijeu de 0,3 = »/|, Ge mç^^ffl ^(^ çst celui de la plus petite épaisseur à la hauteur des rails des cheniuis de fer de Touest de la Franee) mais il faut observer qu*eii ftiisaat'

ainsi

dae^ réquatipn du quatrième degré c*M*+6'i;*-f ....= -Té-m ^\ elle

donne pour la plus grande épaisseur ou la double ordonnnée maxi- -nium 2t7, les 0,377 seulement du ^ran^ diamètre 2^, tandis <^u*avec

= 0,20, elle doone les 0,A0, ce qui est ua peu moins éloigné des

1^3^' = %^'^T\ rapport ^ffQçtif çlç^ la plm graçiae épH^^W k 1» l^^Ht^ur

pour les mêmes rails de l'ouest.

11 en résulte

(i) on »Hfif4( up fiSQM^iii p»GarA i^iut fori cp «iitwUaai U loaiian A k*eUl|U0

iu' * tnjani ks mémâ» m9m$n$9 dHnertie I, 1*, ou en prcoaDl (S^) M^siiO — ^ , car

il CD rétuUerail 0,4448G6f - | . Celle cUipse auraii ses deux axo» 26, 3c d^nf )s rapport 3,48 : 4 au lie^ <tfi 5 1 4 4

Atit. V. torts W^. âSl

(DU n*" f te).

«=l,022ft/|^ ,r=Jî/»da>=0 4256û^^y, I=Jr'c^a>= 0,02783^^]*,

Et fedfâaè lë {»lii^ ^r&nd glîsëemeht, rêpôndjltit & ètivîroti

u := 0^523 7 , a pour valeur 0,^693 0 ^ , on trouve

le dénominateur i,0/iO - représentant à peu près le plus grand

f^yodvectetif . OU aurait, pour un^seétfon elllptlt^nedes mémeâ dimensions principales 2c et 26, des rapports 0,075i!ii5 et 0,27A62 au . lieu de 0,12712 et 0,2817, entre les valeurs véritables de M^ et Lim. M^ et celles qui résultent de la supposition que les sections restent planes.

Et la supposition que la section- donnée ^ gauchit de même que

oette ellipse, cûnduirail à M^ = 0|07«9666 Ca » qui edt de i/5 à 1/4

en sus de là valeur véritable 0,05764500 Uj de ce moments

Gëà fotîniiteà peuvent donner une idée de la k^ésl^tancé dés faits à là toi^Ion.

L'*àsstAllàti6ili àlVUipëe ($ %), f)tiànt au gauchissement des sections de fbrmeanàld'gue à éëllés doht nous venons de nous occuper, peut, comme on voit, apprendre quelque ciiose sur Tordre de grandeur du moment de torsion des prismes auxquels elles servent de base, mais elle ne fournit pas une approximation généralement suffisante de leur valeur ('}.

(f) Cette assimilation ne fournit pis non plu)i une rateof approcha du plui grand gUssement, et par conséquent de la limite i imposer à M]; car il en résulte

332 SEGT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(Du D* t&S).

Il conviendra d'assimiler plutôt une section donnée à une courbe du quatrième degré [voy. $ 37) quand on ne voudra pas se livrer au long calcul ordinairement nécessaire pour trouver, parmi les co.urbes de degré supérieur, celle qui se confond sensiblement avec son contour.

§ 36. Observation relaiive avx sections séparées en detix orbes, — Ces sections doubles, dont plusieurs se trouvent tracées dans la partie supérieure de la figure des $$ 30 et 33, s^obtiennent, avonsnous dit, en remplaçant, dans Téquation du quatrième degré avec

n positif = ou < •^^— ^ — » c* par une quantité négative — c\

telle qu'on ait ($ 33, p. 307)

Vi -\- n b

— — distance mntnelle des deax points, antres qne ceaz u=^dz-^ ma

les orbes conpent l'axe des u.

En calculant le moment de torsion, autour de Taxe intermédiaire 0, du prisme ou plutôt des deux prismes auxquels de pareils orbes servent de base, on doit, d'après ce qui a été démontré au $ 15, obtenir Justement la somme des moments qu'on aurait si chacun d'eux était tordu d'un pareil angle autour d'un axe intérieur passant, par exemple, au centre de gravité de sa section, ou bien au point, généralement peu difiérent, où le glist*ement est nul.

C'est ce que nous avons pu vérifier

'u d'une manière très-rapprochée sur les

orbes ovoïdes presque circulaires qui

s'* + 8 =M» -—r— — —- dont le maximum, quand c* eil très-petit devant fr*, répond à peu près à la plus grande valeur de - l'ordonnée v ; d'où, quand

- = -, rf ) =0,696 au lieu de 0,27821.

ART. y. TORSION. 333

(Du n» t&S).

s'obtiennent en faisant » dans Téqaation générale des contours da S 30,

d'où 9 pour l'équation qui les représente tous deux :

6« ( 23u*— 113 îj') — 64 (w* - 6m V + 1?*) = g 6*,

et, pour la distance entre leurs deux points les plus rapprochés :

.^l±«^6^=o.661/Uk6.

ou presque les deux tiers de la distance 6 entre leurs deux points les plus éloignés, en sorte que les deux orbes sont espacés d'environ

quatre fois leur largeur du diamètre principal 0,33856 ^ qui diffère

lui-même fort peu de leur hauteur (*).

Mous avons trouvé, en effet , par la méthode de quadrature déjà employée au $ précédent , pour le moment de la torsion simultanée des prismes ayant pour bases ces deux orbes

M, = 0,002 473 463 ( ^ Voe , ce qui fait les 0,018573 ou le 1/54 environ du produit

GÔJ= 0,133179 ("hYgO

qu'on aurait pour M^ , conformément à Tancienne théorie, si les sections, au lieu de s'incliner, restaient dans le môme plan perpendiculaire h l'axe 0 autour duquel on les tord solidairement. Or, si l'on remplace approximativement leurs bases par des cer-

(') Les lignes peu courbes, laut pleines que poocluèes, qui sont tracées dans l'Intérieur de ces orbes, sont les coupes topographiquei, par des plans èquidistants perpendiculaires i l'axe o, des surfaces presque planes, mais inclinées , dans lesquelles leurs plans primilivement normaux à l'axe se changent par la torsion.

iik SECT. I. KiSISTÂMGfi DES SOUDES.

(Du n* tMI).

des de môme diamètre 0,SdM6 ^ on aura, poHP le moment de torsion de chacun (S 18)

ce qui diffère assez peu de la moitié de ce que nous venons d'obtenir pour le moment de torsion M| des deux prisiàea.

Le principe du S 1^» consistant en ce que le moment de torsion d'un prisme est indépendant de la position de l*axe parallèle h ses arêtes autour duquel on le tord , se trouve donc ici confirmé par un moyen particulier ('),

Et, en invoquant ce principe du S 15, on peut déterminer le moment de torsion et la résistance à la rupture pa.r torsion de prisme3 ayant des bases simples, qui ne sont fourAi^ qqe doubles par Té-quation du quatrième degré du $ 30, ou par toute équation com-

prise dans la formule générale —^ — h ... = K du S 10, et capable

de donner deux orbes ou deux autres figures égales i^e se touchant pas ou n'ayant de commun qu'un seul point situé À l'origine des coordonnées.

Par exemple, pour chacun des orbes ovoïdes figurés d'autre part, si on rappelle D leur diamètre, le moment de torsion sera

lo,33856} ^^*

et le plus grand glissement, au point ^ = â » t? = 0, aura pour valeur

résultats qui permettront de poser Téquation de résistance^à la rupture par torsion du cylindre unique ayant cet orbe pour section. Où obtient, au reste, divers contours ovoïdes simples avec l'é-

(1) C'est même le résultat relaUr aux deux orbes q\ii pousa fait soupçonner Teiistence de ce principe, démontra d'une manière générale au $ iô.

(Du D* IMI).

quation du troisième degré

+ C,(M«—r«)+C3(tt»— 3wt>«) =K (').

S 37. Torsion des pièces à côtes , ailes ou nervures. — Ces pièces» désignées par les ingénieurs anglais sous le nom d'axes emplumés (feathered axis) ont été examinées au S 19 de la note du n' 130 aous le rapport de la flexion.

Ainsi que nous avons dit alors, elles ne sont nullement propres à résister à la torsion.

Il nous a fallu pour obtenir, de Téquation générale du S 10, un

(1) Voici encore un exemple de l'usage des conlours doubles, qui est tout au moins curieux , surtout dans le rapprochement de son résultat avec un de ceux du S 33, p. 156.

Soit un triangle isocèle UOD'll dont les côtés OD, OD' forment ayec la médiane

ou hauteur 0H= A des angles ayant pour

tangente \/i — 4=: 0,44 12. Assimilonsle approximativement, quant aux glissements délerminés par la torsion d'un prisme qui l'aurait pour section , au triangle légèrement curviligne AOA'B ayant pour base« avec les mêmes côtés, la portion d'hyperbole ABA' dont l'équation est

(§33) M«=-r + (v^— 0'»* et par

conséquent une hauteur om médiane

b 0B= - placée sur l'axe des « et supposée un peu moindre que A.

Nous aurons pour le moment de torsion 'du prisme autour de l'axe 0 perpendiculaire au plan du triapgle, et par cQpséqueiit ($45) autour de tout axe parallèle,

V^2— 4 Texpressioa de Mj du § 30 en faisant n = , c* = 0 , ou

• M,= ce R (fo> (tii-ft;!— y/i(tt^— »!))+ ^^^^^""^^ J diù (u*- 6i«V -f r*)l.

En intégrant pour toute l'étendue de notre triangle rectiligne dont h est la haueur OH et SA(v/i 4) la base DD', nous trouvons

336 SECT. I. RÊSISTAltCB DES SOLIDES.

( Da n* IMI).

contour en croix de Malte ou en étoile à quatre pointes, analogue aux sections de ces sortes de pièces, la porter au huitième degré , ou prendre

tt«4.t?«-}-2C^(M*- 6uV+t?*)-}-2Cg(u«— 28uV+70tt*t?*— 28uV+tJ«) = 2K.

Mais pour qu^elle donne des courbes fermées dont les plus grands et les plus petits diamètres soient très-inégaux , ses coefficients doivent remplir certaines conditions qui sont discutées à Part. 96 de notre Mémoire sur la torsion déjà cité. Nous nous sommes arrêté à

Si nous prenions OH égal à Tabscisse 01 des points A , A', ou

eette expression se réduirait à — GOA\ Et comme, en calculant le moment

d'inertie J du triangle autour de son centre de gravité, on troure

il en résulterait -^ = -- = 0,6 comme pour le triafUfle é^[tiUatéral ($ 93). GvJ o

Mais il convient, pour que Passimilation soit plus approchée, de donner A OH une valeur moyenne entre OB et 01. En prenant, ce qui est pius simple et revient

A A peu prés au même, pour le carré du rapport de A A -, la demi-somme de l'unité

/V'SI4.4\1 ^ 4A« 4SI+Sv/î et du carré f — r — J .ïv* du rapport de 01 à OB, ce qui fera — = tt — »

nous trouverons

- Mi==--I^^-l-GeA*==9,4yr64GeA*; d*oi\

Ml 3A9V^i — 69 ^^ S5— 43VÏ ^ „^«^a

résultat très en harmonie avec celui du $ S3, car le prisme ayant pour base notre triangle isocèle, doit opposer un peu moins de résistance i la torsion que le prisme triangulaire équilatéral pour lequel nous avons trouvé 0,6.

L'accord de résultats ainsi obtenus par des procédés variés confirme les principes dont ils découlent.

ART. T. TOBSIOII. 337

(Du n» tau).

Les plus grands diamètres, dirigés suivant les axes des u et des t-, sont 26; et les plus petits, inclinés à /i5 degrés, sont 6, ou justement moitié moindres. Cette équation revient, en coordonnées polaires, à

lé • 17

qui donne bien r=6 pour a = o ou .^, et r= - pour «= ~ et 3 ^ En remplaçant cos 8a par 2 cos* 4« — 1 elle n'est que du second

degréenr*cos/ia; etcommeona 2cos*a— i=cos2a=\/--i^ — î, r cos a = tt , »• = r* — *m*. Ton obtient

et Ai

t^\-^2b^'^i\2y'^b'^) 2\^[iS'i6V^by''2yby'

ce qui permet de calculer autant de systèmes qu on veut des coordonnées t£, 17 de la courbe en se donnant une suite de .valeurs arbitraires du rayon vecteur r.

Elle est représentée page suivante ainsi que les coupes topographiques, par des plans équidistants perpendiculaires à Taxe 0, de la surface Sourbe dans laquelle se changent, par la torsion, les plans des sections auxquelles elle sert de contour (^).

(^] MoD anciea camarade H. nardin, ancien chef des Iravaoi graphiques i TÉcole polytechnique, a bien voulu Joindre, à sa jolie collection de modèles en plâtre, des reliefs de cette surface courbe et de celles dans lesquelles se changent, de même, les plani des sections carrée (§ S7), reciangy (id.), elliptique ($ %i), triûngutiUre'éqvilatérale (§ 93) et en double ipâtule (§ 86, 3*, p* 3S6I.

On les trouve, chez M. Dunod, éditeur, quai des Augustins, 49, ainsi que deux relieferelatift à ta flexion, et à la forme courbe que prennent les sections des prismes fléchis par des forces ne rai«ant pas couples (flg. des p. S4S, 411, 41 î), deux reliefs flguratifs do mouvement de la corde vibrante (Ulstorique, p. ccxxvij), et un autre qui représente le mouvement très-compliqué d'ano barre heurtée transversalement (td., p. ccxxiviij).