I. Il

(Du D<»

^lu

Gomme Téquation de cette surface, pour laquelle OB = DOD' est ( S il , p. 258).

on a pu facilement, en la résolvant par rapport à ( ^ j , construire

autant de points qu^on a voulu de ses coupes par les plans

On trouve pour Taire co et pour le moment d'inertie polaire J, par la méthode de quadrature approchée

(Du n* !&•).

10 = 1,22020 6% J =r 5 (tt«+««J (i« = 0,297/»2 6\

Et on obtient de môme

J (tt*— 6ttV +t>*)d»= 0,097706« J (u»— 28ttV-}-70uV— 28mV-}- t;«)du) = 0,0^606 b^^ ;

d*où, pour le moment de torsion

Mi=GO (o,297û2— 4. ^. J-^ . 0,09770 + 8 , ^ . ~ . 0,04606^ 6* = 0,16983 G06S

ou Mi= 0,53741 GOJ.

La résistance élastique à la torsion n'est donc que les 0,537 de ce qu'an aurait si ta section restait plane ^ ou de ce qu^oilHrait une section circulaire ayant même moment dlnertie polaire.

Ainsi les quatre saillies de la section, qui foro^raient les côtes ou nervures de la pièce , et qui ont une assez forte influence sur la grandeur du moment dMnertie, n'en ont qu'une très -faible sur la résistance à la torsion. On en voit la raison en jetant les yeux sur la figure I et, encore mieux , sur un relief, car, dans les parties saillantes, on aperçoit par les coupes que la surface de la section s'incline considérablement de manière à rester à peu près normale aux arêtes devenues des hélices. Les pièces à cotes doivent donc être exclues des parties des constructions où les efforts tendent à tordre, ou , du moins, il ne faut compter que sur une bien faible quote part des côtes ou nervures dans la résistance.

On tire la même ooncluslon lorsqu'on vient à considérer la rupture par torsion.

Pour trouver, à cet elTet, d^abord le point dangereux et le plus grand glissement, remplaçons — 2G4 et 2C, parles lettres a et a\ et supposons, aussi pour simplifier, 6=1. L'équation du contour

r* — cr* cos 4« + a'r^ cos 8« = 1 — a + a'. Le glissement principal g sera donné ($ 11) par ^ =5 r*+4aV+ 16a'V»*— 4ar*cos 4a— 16aay <>cos4« + 8a';-* cos 8a»

3/iO SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(Du n« 156).

d'Où :?- Il = i6r* (a + 4aa'r«) sin &a — 64a'r» sin 8« (fa «

^|| = 64r*(a+àaa'r^cosûa-.5i2a'r«(2cos«4a— 1).

L'équation de maximum ou de minimum relatif £; e* "^ ^ ^^ ^~ tisfaite

i* Par r = O9 qui ne convient pas;

3* Par 8in4ft = 0» cosUazsi^ oua=: Oet=: ^;

3* Parsin&a = 0, cos4a = — 1» oua=:-et 3v; le Par cos 4» = — ' #^ *

La 3* solution, qui donne les points des petits diamètres à 45 degrés sur les grands» ne fournit aucun maximum absolu, car sin 4« = 0,

cos 4a = —1 rendent négatifs tous les termes de ^ |^, mais positifs tous ceux de j-| ||.

La 4* solution , qui donne les points d'une courbe du sixième degré, réelle seulement pour des valeurs de r rendant a + 4aa'r* moindre que 8aV*, ne fournit pas non plus de maximum , car en

mettant Mt* cos 4a & la place de a + baa'r* dans ^rt |s t ^ devient

6i2a'r^(i — cos»4a)

quantité positive pour toutes les valeurs réelles de Tangle a. Quant à la 2* solution a es 0 ou ^ , qui donne les divers points des

deux grands diamètres , il en résulte, vu que a' = r a

ART. Y. TOBSION. 341

(Du n« flftSN

et, VU la valeur a s ^.i^ = o/j2 1969, cette dérivée du second

ordre est négative ou positive selon que r* est au-dessus ou au-dessous de

Biais a = 0 ou ^ donne

dont la dérivée par rapport à r s'anéantit : l"" pour r =s 0 qui ne convient pas; 2« pour 1 -* 2ar'4 àa'r* =: 0 qui annule g* et doit par conséquent être rejeté aussi ; 3* pour 1 — 6ar^ + 28a V* « 0. Cette troisième solution, la seule qui soit h discuter, fournit ^

valeur inférieure à celle 0,9388 au-dessous de laquelle la dérivée du second ordre par rapport à a est positive.

n n'y a donc toujours pas , sur le plan de la figure, de point de maximum absolu du glissement g, et le point dangereux doit être cherché sur le contour^ comme dans tous les exemples que hous avons traités.

Ce qu'il y a de plus simple pour cette dernière recherche, est d*opérer numériquement, ou de calculer g' et g'^ et par suite g'*+g''*=g* à diflTérents points de Tare BD, qui est le demi-quart du contour de notre section. On trouve, ainsi, que la plus grande valeur de g' est au point D, extrémité du petit diamètre DD'. Et comme nous avons vu (S 17) que les extrémités des plus grands et des plus petits diamètres des sections symétriques sont nécessairement des points de maximum ou de minimum de g*, nul doute que les extrémités des petits diamètres ne soient les points dangereux.

Or on a exactement, à ces points ^

d'où

C0S&a=s^l, C08 8a=l, rt-^.

ir = «[^ + 2«(5y+4a'(5y]=i,w5S9.e|.

3/^2 SECT. I. BtSISTAMCK DBS SOUDES.

(Dtt B« t6«).

■■'■■■ ■ I I II ■ m

En régalant & la limite (S 17)7^61 éliminant G6 au moyen de Mi^O,537&iG0J on Obtient

Limite de M, = 0,7285 { T..

ou les 0,7285 seulement de ce qu^on aurait par Tancienne théorie qui supposait que les sections restent planes.

Le plus petit glissement sur le contour a lieu pour r = 0,99 ^ ,

tout auprès des extrémités des quatre saillies, aux angles arrondis qu'elles forment à droite et à gauche. Sa grandeur est

Vo,000571. 66 r= 0,023960 = 0.0241(0,9960)

ou moins du 1/40 de ce qu'il serait si les sections restaient planes.

Pouvait-on arriver approximativement à la valeur du moment M| et à celle du glissement g qui donne sa limite , pour une section d'une pareille forme « en l'assimilant, quant au gauchissement, à une section ayant un contour d'un degré moindre que le huitième?

L*ass!milation à un contour du second degré ne pouvait pas même être tentée, car, pour les sections égales dans les deux sens, l'ellipse serait un cercle, en sorte que la section serait st^^posée rester

Mais voyons ce qui résulterait de l'assimilation à une section du quatrième degré. Nous comparerons notre section du huitième degré à celle qui s'en rapproche le plus, et qui est la section carrée à angles aigus ADâ'D' du % 32 (p. 310) ou du (!*} du % 35 (p. 323) , mais tournée de 45 degrés en sorte que les axes des u et des i? soient les diagonales, ce qui revient à prendre 7i négatif et— n=r son maximum 1/2, d'où pour l'équation du contour, en appelant 6' la demilongueur des diagonales ou Tabscisse u répondant à v = 0.

2 46'»^ Dut -t-r;- ^

nt par conséquent ($ 16)

(Du n« fl6«}.

OU bien, en mettant pour Jrfti)(M*+t3*)cïa), J(u*— 6uV+t?*)<îu), le^i valeurs calculées ci-dessus (p. 339) pour la section du huitième degré (Intégrales qui seraient également faciles à calculer pour une section non représentée par une équation)

M, = ^0,29742 — 0,09770 —^ GO bK

11 faut supposer la diagonale 26' de la section du quatrième degré un peu moindre que la diagonale 2& de la section du huitième dogfé pour que leurs deux contours se rapprochent autant que le permet

leur difiTérence de forme. Prenons ï- = 0,85, nous aurons

Mi = O,16218G0 6*,

ce qui 8*éloigne peu de la valeur eiacte 0,159 83 G66\ Quant au plus grand glissement g, Il sera donné par

pour u = v = 5.VtCv = -rT7î»*doù

ou. en faisant b' = 0,856 :

Cette valeur du plus grand glissement ne diffère pas beaucoup de

la valeur exacte g = 1 ,47539 0 x .

On voit le parti qu*on pourrait tirer, pour la détermination simplo et approximative des moments de torsion et des conditions de résistance à la rupture par torsion, de rassimilation des sectious des prismes aux courbes fermées du quatrième degré dont on a donné réquatlon générale au S 30, en choisissant convenablement leurs dimensions 6, c et la valeur positive ou négative de la constante nu-

34ft si:cr. i. nÊSfSTANCE des solides.

{ Du D* ifts;.

mérique n. A plus forte raison approcherait-on des vraies valeurs pour certaines sections en croix en les assimilant à la courbe du huitième degré dont nous venons de nous occuper.

S 38. Tbrsion des prUmes à base quelconque* — Mais il faut dire que les résultats de ces assimilations d*un contour à un autro qui en diffère sensiblement sont toujours aff'ectés de beaucoup d'incertitude (fin du S 35 ci-dessus).

Lorsqu'on voudra doncarriver à connaître les lois de la résistance à la torsion et à la rupture par torsion d'un prisme ou cylindre dont on se donne la base de formequelconque, le plus sûr sera de mesurer les coordonnées soit ordinaires soit polaires d'un très-grand nombre depoints de son contour^ et de les substituer à u^ v, ou à r» « dans Té-

quation générale ÎÎ-J-— + CiU-|-...=K du S iO ou ^ +Circos«+. ..==K

du S 11 prise avec un grand nombre de termes en effaçant ceux dont les coefficients G doivent être nuls d'après la forme particulière de ce contour et la position de l'axe de torsion ($$ 12 et 15}« puis de résoudre toutes ces équations numériques du premier degré par rapport aux coefficients G restants et au second membre K aussi inconnu, afin de composer l'équation d'un contour dont il conviendra en!«uite de vérifier le rappro<fhement de celui qui est donné en calculant ses ordonnées pour des points intermédiaires entre ceux qui sont communs h tous deux et qu'on a choisis sur celui-ci. Ce n'est que lorsque la presque coïncidence des deux contours aura été éta* blie qu'on substituera les coefficients dans la formule générale du moment de torsion M| du S 16, en calculant par quadrature numérique les intégrales /(M*+t?";da), /(u'— 3ui?')(îw, etc., pour la section m donnée et qu'on déterminera sur le contour ( d'après ce qu'on a vu & tous les SS précédents), par la méthode d'approximation du S 34,

les points dangereux qui donnent un maximum pour ^ ($ 11) ou (e) '^ (t ] ' ^^^ ^'^^ déduire la condition de cohésion (S'i7 ]

i'él "^ ^^ ^ maximum de g*, d'où la limite à imposer au moment M des forces qui font tordre.

Âr«T. V. TOASIO.N. 3A5

(Du n* i6«).

On verra an $ UO une manière prompte^d'obtenir M^ et lira. M^ qui , faute de fournir une approximation certaine , peut donner tout au moins une idée de leur grandeur.

S 39. Cas oU la matière du prisme tordu est d^inégale eoniexiure dans les divers sens transversaux^ bien qu'homogène ou d^égale nature aux divers points. Formules lorsque la contexture est supposée symétrique par rapport au plan de chaque section et à deux autres plans rectangulaires entre eux et à ce/ut-ct.— Nous avons supposé", depuis le S 3« que la contexture de la matière du prisme tordu est non-seulement homogène ou la même partout « mais» aussi, égale en tous sens autour de chaque point.

Les formules données conviennent encore si. seulement, cette contexture est la même dans tous les sens transversaux ^ tout en pouvant être très-différente dans le sens longitudinal comme il arrive dans les bois, les fers étirés et d'autres corps fibreux.

En effet, alors, les efforts transversaux sur les éléments du d'une section auront toujours les mêmes directions que les glissements g (S 5, note n* 152) et seront, pour Tunité superficielle, égaux à ces glissements multipliés par un coeflicient G le même dans toutes ces directions. Les efforts longitudinaux sur les quatre faces latérales des éléments solides prismatiques à base carrée que nous avons considérées au $ 6 seront aussi mesurées par le produit des glissements g' ou g'' et d'un même coefficient, qu'il soit ou non égal à G. Et comme ces coefficients d*élasticité de glissement disparaissent des équations indéfinie et définie posées aux SS 6 et 9 pour Téquilibre à tous les points de riutérieur et aux points particuliers du contour des sections, on aura les mêmes formules que sMl y avait isotropie ou égale contexture dans toutes les directions en chaque point.

Il en est autrement si la contexture du corps homogène n^est pas la même dans tous les sens transversaux^ circonstance que peuvent présenter les bois, les fers méplats, etc.

Mais au moyen de quelques modifications, les formules précédentes peuvent encoreservirdansuncastrèsétendu, et où nous nous placerons toi]^our8^ savoir le cas ok la contexture est partout symétrique par rapport à trois plans rectangulaires dont un est le plan de la

Sft6 8BGT. I. RÊSI8TANC1! DES SOUDES.

(Dtt B* IMI).

section et dont les deux autres ont la même directionentous lespoints. Alors, en effet» en prenant les coordonnées ti» v parallèles aux intersections des sections «o avec ces deux autres plans principaux ou plans de syToéirie^ les efforts tangentiels sur les éléments dw auront encore la même direction que les glissements g lorsque ceux-ci seront parallèles soit aux u soit aux v, car (comme au S 5 de la note du n* 163, p. 193), il 11*7 aura aucune raison pour qu'ils s'en écartent & droite plutôt qu'à gauche. En sorte que si nous appelons G' et G'' deux coefficients d'élasticité de glissement relatifs aux directions u^ V, nous aurons, sur l'élément dw, G'g'du, G^g^'dta pour les expressions d'un effort parallèle aux u et d'un effort parallèle aux V , provenant respectivement d'un glissement unique g' et d'un glissement unique g^ aj^ant ces directions. Par conséquent, en vertu du principe (S 3 note du n* 21) de composition correspondante des efforts et des petits déplacements, nous aurons aussi

G'g'dw, GV^w

pour les eomposanies^ suivant les u et suivant les «, de la force tan* gentielle qui s'exerce dans une direction quelconque sur l'élément dti), en vertu du glissement g = v'g'* + g"* résultant de g' et g". Cette force fera avec l'axe des u un angle dont la tangente est

et non p comme pour le glissement g qui la développe.

Or remarquons que généralement, dans un solide en repos dont les molécules agissent les unes sur les autres à des distances insensibles, si l'on imagine deux très-petites faces A, B se coupant perpendiculairement et égales en superficie, Vaciion totale à travers A estimée ou décoffiposée perpendiculairement à B est toujours égale à Vaction totale à travers B estimée perpendiculairement à A. Cela est,

en effet , nécesteire pour réqullibre de rotation , autour d'un axe G06 parallèle à leur intersection commune ach, d'un petit cube so-

(DU n* t5tt).

Ifde dont A et B seraient deux des faces adjacentes, et par le centre duquel passe CGC ; car si les actions dont nous parlons s'exerçant des moléeules de Textérieur à celles de rintérieur de cet élément solide, avaient des composantes totales inégales dans les directions cd^ ce perpendiculaires & cette intersection, une inégalité de même ordre de grandeur existerait entre les composantes parallèles et contraires, suivant dd\ de\ des actions s^exerçant sur les faces op* posées et très-voisines A', B' ; en sorte que le moment total ne serait pas nul, et ferait tourner l'élément autour de CGC

Cette égalité, découverte par M. Caiichy, se reconnaît encore en considérant séparément et successivement les actions moiécuialra*) 8*exerçant dans diverses directions ou parallèlement à diverses droites imaginées dans Tespace. Les sommes ou intensités totales de celles qui 8*exercent ainsi à de petites distances à travers la face A et à travers la face B, parallèlement & Tune quelconque de ces droites, sont évidemment enti*e elles, vu l'homogénéité delà matière, comme les superficies des projections de A et de B sur un même plan perpendiculaire à la droite particulière queron considère, ou comme les cosinus des angles qu^elle fait avec les normales ce, cd aux fkces A, B. Pour estimer ces sommes d'actions, la première suivant cd^ la seconde suivant c^, il faut les multiplier par les deux mêmes cosinus pris dans un ordre inverse , et cela donne des produits égaux. Donc , comme on peut dire la même chose pour les sommes d'actions dans toutes les autres directions imaginables, on a bien Tégalité de Taction totale sur A, estimée suivant cd, à Taction totale sur B , estimée suivant ce.

Il en résulte qu'on a respectivement c'g', 6''g'' pour les actions tangentielles longitudinales sur Tunité superficielle des faces la* térales adjacentes mn, mp du petit élément prismatique dont la base carrée est figurée au S 6 (page 2liS), comme pour les actions transversales sur cette base suivant ses côtés parallèles aux u, aux o; en sorte que Téqullibre de translation longitudinale de cet élément

ds: ds' solide, exprimé à ce S par -j|^ -f ^ = 0, l'est maintenant par

3<|8 8ECT. I. BÊSiSTANCe I>BS SOLIDES.

(Du A* i6«).

ou bien, en mettant pour g^, g" leurs valeurs qui sont toujours (S 5} . g' = i-.ec=^-.Ou, g"=i + eu = g + Oa,

que Ton a, en tous les points des sections dn prisme à trois plans

de sjrmétrie de contexture

Il en résulte également, comme les éléments des faces latérales du prisme sont supposés n^éprouver ($$ A, 8) aucune action longitodi nalement ou dans la direction des arêtes, qui étalent primitivement perpendiculaires aux sections du prisme, que les éléments du de ces sections, auprès du contour, ne supportent aucune action transversale dans un sens perpendiculaire aux Intersections communes de ces deux sortes d'éléments superficiels, c'est-à-dIre perpendiculaire aux éléments linéaires du contour. En sorte que Paction sur d(u, dont les composantes sont G'g'do), G"g"db>, a la même direction que ces derniers éléments dont les projections sont du^ dv parallèle-

ment aux u, v ; ce qui s'exprime par —^ = ^, ou

G"(g + eu)d«-G'(|-e«)do = o.

équation au contour qui remplace celle de la fin du S 8.

Ces deux équations montrent, avec Texpression du moment de torsion qui est maintenant

Mj= JV'g"M-G'g'iO(/«,

que toutes les valeurs :

Du petit déplacement longitudinal x des points du prisme, Des glissements g', g^.

Du moment de torsion If |,

peuvent être déduites de celles qui ont été trouvées ci-dessus pour le cas d'égale contexture G' = O" = G

ART. V. TOASlOlf. d/|9

(Du D* !&•).

tt ea tt v/";t t? «n « %/-;; («* ^»8"»* ^ "*■"• P*"' *** ▼alenrb

particalières de ces coordonnées),

Ge i/GV*, 0 en 0 I '^ G '

en /g'«g'y/|,g"«.g"yf.

changeant

Mé en Ifi ■'. dana les teilités Mi = •••• silesintégritions loot

déjà effecinées dans le second membre, ou si seoleoent (2(i> y est remplacé par dudVf

Mais en laissant M| tel qn'il est dans le premier membre si les intégrales dn second sont encore soos la forme Ju'^"'(Iq).

En effet ces changements donnent bien les deax équations différentielles nouvelles et Texpression nouvelle du moment M| qu'on vient

éPz d*z de poser, quand on les introduit dans les équations 7~i + w^ = ^)

^^ + eu^ dtt — ^^ - e»^dv = 0, Ml =: gJ (g"M — g't?)dai des

SS 6, 8 et 9. Us donnent encore Texpression nouvelle de M| lorsque, dudv étant mis pour da>, on y fait les changements relatifs à u et à v en

ayant soin de remplacer alors le premier membre M^ par M|--p==.

Enfin ces mômes changements introduits dans les premiers comme

dans les seconds membres de g' = ^ — Ot?» g" = g- + Ou laissent

ces égalités les mêmes.

On obtient ainsi t au lieu des formules générales entières dn.S 10,

expression dans laquelle on pourrait effacer, ainsi que dans les sui» vantes, les facteurs ou diviseurs \/ô et g, et aussi le multiplicateur

S50 8EGT. I. RtoSTAMCB DES SOLIDES.

( DU »• tëm).

général v^g'g'', en les regardant comme compris dans les coefficients G|, C,, ... , C'„ etc.

On trouve aussi pour les glissements et, pour réquation des contours correspondants des sections