La théorie de ee genre de résistance peut être

formée au moyen de considérations analogues à celles employées pour la résistance à la flexion.

Soit (Fig. 12) un solide prismatique encastré horizontalement à l’une des extrémités. Supposons qu’une force P agisse à l’autre extrémité avec le bras de levier Bc pour tordre le solide autour de l’axe Ce. Imaginons que, par l’effet de la torsion, un diamètre b b de la section extrême, sur laquelle agit la force P, se soit transporté en b' b'. Le diamètre correspondant AA de l’extrémité encastrée n’aura éprouvé aucun déplacement; et on doit concevoir que tous les diamètres des sections intermédiaires, tels que dd, se sont déplacés proportionnellement à la distance C e de l’extrémité encastrée. Par l’effet de ces déplacements, les molécules qui,. dans deux sections transversales consécutives, étaient avant la torsion vis-à-vis les unes des autres, ont été éloignées d’une quantité proportionnelle i° à la distance de ces molécules à l’axe Ce; 2 0 à la différence des angles parcourus par chaque diamètre dans deux sections transversales consécutives, différence proportionnelle à l’angle beb', et réciproque à la longueur Ce du solide. On peut supposer, la torsion étant censée très-petite, que les résistances naissant des déplacements relatifs sont proportionelles à ces déplacements. Le moment de la résistance qui a lieu dans une section quelconque du solide, doit d’ailleurs être

7 2 LEÇONS SUR LAPPLICATION

égal au moment du poids P. Considérons une section transversale quelconque , et nommons

c la longueur du solide, depuis la section fixe AA jusqu’à celle b b où agit la force P;

0 l’angle bcb' décrit par les diamètres de cette section extrême , angle qui est supposé fort petit ;

p la distance d’un point quelconque d’une section transversale au centre e de cette section;

<p l’angle de la ligne p avec un diamètre de la même section ;

p = y(< p) l’équation de la courbe qui forme le contour de la section ; ,

R le bras de levier Bc avec lequel la force P agit pour produire la torsion ;

t un poids constant pour chaque espèce de corps, représentant la résistance spécifique à la torsion.

L’élément de l’aire de la section transversale placé à l’extrémité du rayon p étant on aura

t-dy.dç.f

pour la résistance provenant de la torsion qui a lieu dans cet élément ; et pour exprimer l’équilibre entre le moment de la force P, et la somme des moments des résistances semblables ,

ou

ii o. La section transversale étant un cercle dont/*

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DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 73

est le rayon, on a /'(<p) = r, et la formule donne

d’où

acR

nrr 4

ni. La section transversale étant un rectangle dont les côtés sont a et b (Fig. i 3 ), on doit chercher à part l’expression de la résistance à la torsion de l’un des quatre triangles égaux à ABC, et de l’un des quatre

triangles égaux àBDC. L’équation de A B est —

On a d’ailleurs

f , i i sin. o a sin. 9

‘ cos. 4 9 6 cos. 9 j cos. 9

Ainsi le moment de la résistance du triangle ABC est

*6 a 4 /i sin. <p c 4 -i 6\3 cos. '9

a sin.

3 cos, 9/’

l’angle <p étant celui dont la tangente =-• Le moment de la résistance du triangle BDC est

<0 b* /i sin.<p c 4 - 1 6 \3 cos.*p

sin. 9 cos. 9

l’angle 9 étant celui dont la tangente = y Ajoutant ces

deux expressions et multipliant par 4, on aura pour le moment total de la résistance du rectangle

d’où

£0 i 4 rt ^( a ’+^ 2 ) ab (ci > -\-b ' 1 ). G

1 XX. — — • 7 o tf j

P iacR

Dans le cas du quarré, le moment de la résistance est