SOUMISES A INEXPÉRIENCE

Longueur

des

pièces.

Largeur

des

pièces.

Épaisseur

des

pièces.

Charge qui a causé la flexion, l

mètres.

millimètres.

millimètres.

kilogrammes.

Fer du Périgord. La section

est un triangle équilatéral ,

de o m ,o38 de côté. .......

3,oa

Idem

Idem , doux (destiné pour les

fers des chevaux)

Meme pièce , /ixee au milieu . .

Fer du Périgord ( tel qu’on Pa

Fer du Périgord

Même pièce, fixée au milieu. .

Fer du Périgord ( tel qu'on l'a

trouvé dans la forge )

Idem

Idem .'

Idem

Idem. 1 . . .

Idem

Per rond , de Bilbao , ayant

o m ,o3i8 de diamètre

(a) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 26.

Le résultat général de ces observations est qu’en calculant les valeurs des charges qui causent la flexion

d’après la formule Q = *•- (dans laquelle on mettrait,

à la place de t , E — pour une pièce rectangulaire ,

et E^-pour une pièce cylindrique, en faisant E =

20000 ooo ooo k ), on trouve des valeurs plus petites que celles données par l’expérience, dans le rapport de 7 à 8 environ (a). L’auteur attribue en partie cette différence au frottement du levier employé pour transmettre la pression.

Expériences sur la résistance des pièces de fer fondu , pressées dans le sens de la longueur.

3 16. On peut voir sur ce sujet les expériences de M. G. Rennie, rapportées ci-dessus, n° 16.

D’après d’autres expériences de M. Reynolds (b ) , faites sur de la fonte très-douce , deux barres d’un pouce anglais quarré et de 3 pieds de longueur, ayant une extrémité posée sur une barre horizontale , avec laquelle elles formaient un angle de 45 °, et s’appuyant l’une contre l’autre par les extrémités supérieures, ont supporté sur ces extrémités une charge de i 568 o livres avoir du poids , produisant dans le sens de chaque barre un effort de 1 1 087 livres.

Dans un autre essai , deux barres semblables, mais

(a) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 24.

1 (b) Bank’ s on the poiver of machina, page 89 .

UE LA MECANIQUE, l re PARTIE. 2l3

posées de manière à former avec la barre horizontale des angles de ua° 7, ont supporté sur les extrémités supérieures une charge de 8960 livres , produisant dans le sens de chaque barre un effort de 1 1709 livres.

Remarques sur l’usage que l'on doit faire des résultats précédents dans les applications.

'5 ij. Les résultats exposés dans les n“ 299 et suivants supposent essentiellement la force représentée par Q dirigée dans le sens de l’axe de la pièce, ou du moins dans le plan vertical passant par cet axe, perpendiculairement auquel la flexiou s’opère. Dans la réalité, lorsque une pièce est chargée verticalement, le poids est ordinairement réparti sur toute l’étendue de la section transversale. Il faudrait donc, pour que l’éxpérience s’accordât exactement avec ces résultats, que les pièces fussent terminées, aux extrémités par une pointe ou par une arête. Les conditions d’équilibre, lorsque le poids est réparti sur toute la section transversale, dépendent d’un ordre de considérations dont on ne s’occupe point ici.

En exposant les résultats dont il s’agit, on a supposé le sens de la flexion de la pièce déterminé, et on a représenté par s la valeur du moment d’élasticité qui devait avoir lieu en conséquence, et qui se calculerait d’après la figure de la pièce, par les règles des n M 5 o et suivants. Quand une pièce est chargée sur l’extrémité supérieure, le sens de la flexion, en général, n’est pas déterminé. Il est naturel d’admettre que la pièce fléchira dans la direction polir laquelle la valeur du moment d’élasticité est la moindre possible. Si la section transversale est circulaire , cette valeur est la même

ai 4 leçons sur l’application

dans toutes les directions. Si la section transversale est lin rectangle dont les côtés sont a et ô, et que la flexion ail lieu perpendiculairement à un plan qui forme l’angle <j> avec la face de la pièce dont la largeur est a, on a

a 1 b sin . 3 <p-f- «ê 3 cos . a y

Cette formule apprend i° que, si la section transversale est un quarré, le moment d’élasticité est le même dans toutes les directions (On avait déjà remarqué ( n° 5a ) que la valeur de ce moment était la même , la flexion ayant lieu dans le sens des côtés de la section , ou dans le sens des diagonales ) ; a° que , si a est le plus grand côté, la plus petite valeur du moment délasticité a lieu lorsque la pièce fléchit dans le sens du côté b. Dans les expériences, les pièces à base quarrée fléchissent indifféremment dans le sens de la diagonale ou des côtés. Les pièces à base rectangulaire même , à moins que les deux côtés de la section ne soient très différents, ne fléchissent pas toujours exactement dans le sens du plus petit côté, la direction de la flexion étant ordinairement déterminée par quelque défaut d’homogénéité dans la pièce, ou par la manière dont la pression s’exerce aux extrémités. i: .

Ces remarques indiquent par quelles raisons les expériences connues ne donnent pas toujours, pour le poids qui peut faire fléchir une pièce à base rectangulaire chargée verticalement, une valeur conforme à

celle que l’on calculerait par la formule

eu supposant que la flexion ait lieu dans le sens du

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 2l5

petit côté de la seétion transversale. Mais lorsque l’on prend les précautions convenables pour accorder les circonstances de l’expérience avec les hypothèses sur lesquelles les formules sont fondées , le résultat est alors représenté exactement par cette formule.

3 1 8. Les pièces destinées dans les constructions à résister comme on le suppose ici, c’est-à-dire pressées dans le sens de la longueur, sont ordinairement trop courtes, eu égard à leur grosseur, pour qu’elles puissent céder en offrant le genre de flexion auquel s’appliquent les résultats des n 0, 299 et suivants. La résistance de ces pièces doit être déterminée d’après d’autres considérations. En effet , considérant une pièce rectangulaire chargée verticalement, on aura, d’après

le n° 3 o 2, — p , ou E 5-», pour l’expression du

moindre poids qui peut maintenir cette pièce fléchie; c’est-à-dire

pour l’expression du moindre poids dont on puisse charger l’unité superficielle de la section transversale. EnsupposantE= 1 ooooooooo k pour le bois de chêne, E = 20000 000 ooo k pour le fer forgé; et comparant les valeurs données par cette formule avec les résultats rapportés d’après M. Rondelet, dans les n°* 3i2 et 3i4, on trouvera que la formule précédente donne des valeurs plus grandes que ces résultats lorsque l’épaisseur b de la pièce surpasse le ■— environ de la longueur c. Par conséquent, pour les pièces dont la longueur n’est pas égale à 20 fois l’épaisseur, c’est-àdire dans la plupart des cas qui se présentent dans

2l6 leçons sur l’application

les constructions, la résistance ne doit pas être dé-

terminée d’après la formule précédente, mais par la considération du poids qui pourrait écraser la pièce.

Le poids qui peut écraser ou comprimer une pièce dont la longueur est égale à une ou deux fois l’épaisseur, peut être estimé, pour chaque millimètre quarré de la section transversale, à

3 kiL pour le bois de chêne et de sapin,

4o fer forgé ,

ioo fer fondu.

On conclut des expériences rapportées ci-dessus: i° que pour les bois l’évaluation précédente doit être réduite aux 4 lorsque la longueur de la pièce est égale à 12 fois l’épaisseur, et à moitié quand cette longueur est égale à 24 fois l’épaisseur;

2 0 Que pour le fer forgé l’évaluation précédente doit être réduite aux -§- quand la longueur est égale à 12 fois l’épaisseur, et à moitié quand la longueur est égale à 24 fois l’épaisseur;

3 ° Que pour le fer fondu l’évaluation précédente doit être réduite aux.f à-peu-près, quand la longueur est égale à quatre fois l’épaisseur, à moitié environ quand la longueur est égale à 8 fois l’épaisseur, et au lorsque la longueur est égale à 36 fois l’épaisseur.

Les expériences connues ne donnent pas les moyens d’évaluer avec exactitude la résistance dans les cas intermédiaires différents de ceux que l’on vient de spécifier.

3 19. Quant aux pièces dont la longueur surpasserait 20 fois environ l’épaisseur, on peut en évaluer la résistance par les formules des n os 3o2 et suivants ,

DE LA MÉCANIQUE, I rc PARTIE. Il']

avec la certitude que cette évaluation ne dépassera pas les résultats donnés par les expériences.

3ao. Lorsque dans les applications on aura évalué, conformément aux deux n M précédents , la résistance dont une pièce chargée verticalement est susceptible, on pourra , pour en conclure le plus grand poids dont cette pièce puisse être chargée avec sécurité dans les constructions, réduire les résultats au environ pour le bois, au - ou au | pour le fer forgé ou fondu

ARTICLE III

De la résistance d'une pièce prismatique chargée verticalement , lorsque la direction du poids est distante de l’axe de la pièce.

32i. Soit une pièce verticale AM (Fig. 58 ), encastrée à l’extrémité inférieure, et supportant le poids II suspendu à l’extrémité de la traverse MC assujettie à former toujours un angle droit avec la pièce AM. L’action du poids comprime la pièce verticale dans le sens MA, et tend à la faire plier et rompre. On nommera

c la distance AB; l la distance MC;

x , / l’abscisse A p, et l’ordonnée m p d’un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce ; / l’ordonnée MB du point extrême; e aura la signification indiquée n° 55.

L’équation d’équilibre sera

•^"F+z-jO;

21 8 LEÇONS SUR l’àPPLICATION

et l’intégrale de cette équation ( qui doit donner y — o

et f ~ — o quand x=o), d oc

y = (i+f) (i— cos.^v/5).

On doit avoir y—f quand x — c : donc

ou

et

r ^.= COS.C y/f > /= ‘‘ .oy/*

„ » arc f cos. =

Il = e | V 1 +fJ

L’équation de la courbe est

i — cos. x Y i?

cos. c y —

On doit mettre dans l’expression de ri le plus petit

des arcs dont le cosinus est égal à

à moins

qu’il n’y ait certains points de la pièce AB maintenus fixes. La flèche de courbure produite par un poids donné est proportionnelle à la distance MC. Le poids capable de faire prendre à la pièce une flèche de courbure donnée, est réciproque au quarré de la longueur de cette pièce.