La question précédente diffère de celles qui
DE LA MÉCANIQUE, i" PARTIE. 21 9
ont été traitées dans les n"* 299 et suivants , en ce que l’on obtient ici une relation entre le poids II dont la pièce est chargée, et la flèche de courbure f produite par l’action de ce poids ; ce qui permet de déterminer la limite des efforts auxquels on peut exposer la pièce dans une construction. On y parvient en remarquant i° que les fibres de cette pièce sont d’abord comprimées également dans toute l’étendue de la section , par l’action de la force II dirigée parallèlement à l’axe; 2 0 que, par l’effet de la courbure, cette compression se trouve diminuée à la face convexe et augmentée à la face concave. La flèche de courbure f, et par suite le poids II, peuvent être réglés par la condition que la plus grande compression des fibres ne dépasse pas une limite donnée.
Désignant par w l’aire de la section transversale de la pièce , et E ayant la signification indiquée n° 47 >
on aura pour la compression des fibres résultant
de l’action de II. Désignant de plus, comme au n° 75, par v' la distance à l’axe d’équilibre de la fibre extrême qui subit la plus grande compression , la plus grande compression des fibres résultant de la flexion de la pièce sera exprimée pour un point quelconque,
comme on le voit d’après le n° 47 > P ar v ' ,
quantité dont la plus grande valeur, qui a lieu au
point A , est 1 — . Le plus grand accourcissee cos.cV/ S
ment des fibres est donc ici
nf w
Eu
t cos. c y/
aao
Par conséquent, si l’on veut que le plus grand effort auquel les fibres sont exposées sur l’unité superficielle ne dépasse pas une certaine limite, représentée comme au n° ia4 par fi » il ue faudra pas que ce plus
grand accourcissement surpasse la fraction — • I»a valeur de line devra donc point dépasser celle qui satisfait à l’équation
Les valeurs qu’il convient d’attribuer au poids R' , pour les divers matériaux, ont été indiquées n°‘ ia4 et suivants.
323. Si la section transversale de la pièce est un rectangle dont a soit la largeur et b la hauteur, on ci b* b
a <a = ab, ez=E , v' = — • • L’équation précédente
devient
324 . On supposera maintenant que l’extrémité supérieure de la pièce est fixée et encastrée (Fig. 5g), et que le poids n fait supporter à cette pièce une tension longitudinale, en même temps qu’il la fait plier. Dans ce cas, en conservant les dénominations du n° 321, l’équation d’équilibre sera
et supposant pour abréger
on aura
pour
l’intégrale
DE LA MÉCANIQUE, i" PARTIE. 22 I
l—f+ y=Ae^+Be~ r *,
e représentant la base des logarithmes hyperboliques , A et B deux constantes arbitraires.
Cette équation devant au point A donner a:=o,
y==, 0 ,^= 0 ; et au point M, x—c, y-j, on a
ï i » • it
7 i TC r\ V C
1= Ae +Be ; . » . r
d’où, l’on déduit
r c — rc ’
L’équation de la courbe est
rx — rx
rc y, ' — rc e -\-e
1 3i5. On obtient ici, comme dans le cas précédent, une relation entre le poids n et la flèche de courbure /“que ce poids fait prendre à la pièce. Le plus grand poids II dont la pièce puisse être chargée se déterminera donc également par la condition de ne pas faire supporter aux fibres une tension qtii dépasse
aaa leçons sur l’application
une limite donnée. En conservant les dénominations
du n° 3aa , on aura -P- pour l’extension des fibres Eu
résultant de l’action de II, et ^ 1 pour la plus-
grande extension des fibres provenant de la courbure de la pièce, qui a lieu au point M où cette pièce tend "à se rompre. Par conséquent, si l’on veut que la plus grande tension ne dépasse pas R', on posera l’équation
d’où l’on déduira la valeur de II.
3a6. Si la section transversale de la pièce est un
rectangle dont a soit la largeur et b la hauteur, on
, E aP . b . ... ,
a «0=a£,e=— — , u = -* L équation precedente de-
vient
R — ri — tt-, d ou ri=n — j - — •
ab * 7 as
ARTICLE IV
De la résistance d’une pièce prismatique chargée obliquement.
3 37. On suppose une pièce AM (F^g. 60) posée obliquement, dont l’extrémité inférieure A est encastrée, et dont l’extrémité supérieure M est chargée d’un poids O. Soit nommé
a. l’angle formé par la direction AB delà pièce avec la verticale ;
DE LA. MÉCANIQUE, I re PARTIE. aa3
c la distance AB; '
x, y l’abscisse Ap et l’ordonnée mp d’un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce ; y l’ordonnée MB du point extrême;
P, Q les composantes perpendiculaire et parallèle à A B du poids II suspendu au point M , d’où P = II sin. a, Q — n cos. a; e ayant la signification indiquée n° 55.
L’équation d’équilibre sera
*ë= p ( c -*)+QC /— r);
PO
et faisant pour abréger />* = — , q % — — , on aura
pour l’intégrale de cette équation
/— y- — A sin. q ( a: + B ) — p — ( c — x ) ,
A et B étant deux constantes arbitraires.
On a au point A , x o , y — o, — — o ; et au
dx
point M , x= c, y =f-, ce qui donne les trois conditions
f— Asin.^B—
o=ç'Acos.ÿB-t- , o = sin. q (c + B);
On en déduit
sin. ^B = sin. qc, cos.^B= — cos .qc,
ycQS.qc
/=^r(tang .qc — qc).
328. D’après les valeurs précédentes, l’équation de la courbe sera
p % f'sïn.qc — sin.y(e — x)
cos. q c
qxy
1 /expression de /'donnera la valeur de la flèche de courbure en fonction des forces P, Q. Cette flèche devant demeurer très- petite, il est nécessaire que tang. qc — qc soit une très-petite quantité. Donc, o, p', p", p", etc., étant la suite des arcs dont la longueur est respectivement égale à celle de leur tangente, on ne peut attribuer à la composante Q que des
n'> a Ma
valeurs qui surpassent peu les nombres o, ,
, etc. En adoptaut la première de ces valeurs, la
pièce affectera la courbe représentée fig. 60. Les valeurs suivantes répondent à des courbes offrant un nombre de points d’inflexion de plus en plus grand , et dont l’existence supposerait que certains points de ces courbes ont été maintenus fixement dans la ligne AB. Si tous les points sont libres dans l’intervalle AB, les poids II, que la pièce pourra supporter, sont donc assujettis à la condition que le
nombre c W 9 soit compris entre o et p’ , et que la
valeur précédente de f soit fort petite. Cette valeur de/ indiquera le déplacement du point M causé par l’action du poids II.
329. La limite des poids dont la pièce peut être chargée, se détermine ici de la même manière que
DE I.A MÉCANIQUE, I re PARTIE. aa5
pour la pièce considérée n° 3ai. w et v' ayant ici les
mêmes significations qu’au n° 3a2 , on aura -Q- pour
l’accourcissement des fibres résultant de l’action de la force Q dirigée parallèlement à l’axe de la pièce ;
et v' -j-p pour l’accourcissement des fibres placées à
la face concave produite par la flexion. La plus grande valeur de cette dernière quantité, qui a lieu au point A,
étant ici y' tang. q c , le plus grand accourcissement total des fibres est
Par conséquent, si l’on ne veut pas que le plus grand effort exercé pour comprimer les fibres , rapporté à l’unité superficielle , surpasse R', on posera l’équation
R' Q VPtang.cy/ST
E ~Ew + vTqT
Eu déterminant le poids II de manière que les valeurs
des composantes P et Q satisfassent à cette équation ,
on connaîtra la limite cherchée.
33o. Si la section transversale de la pièce est un
rectangle ayant a pour largeur et b pour hauteur,
, ab 3 ,
tù = ab, % = E , v = - ; 1 équation obtenue ci-
dessus devient
aa6 leçons sur l’ application
Les valeurs qu’il convient d’attribuer à R' pour les ' divers matériaux, ont été indiquées n” 124 et suivants.
33 1. On suppose maintenant la pièce AM (Fig. 61) fixée et encastrée à l’extrémité A, inclinée de bas en haut , de manière que le poids II tend à l’étendre et non à la contracter. En conservant les dénominations du n° 327 , on aura ici pour l’équation d’équilibre
ou
L’intégrale de cette équation est
/ r = Ae» (*-*> + B
e étant la base des logarithmes hyperboliques , A et B deux constantes arbitraires.
On a, au point A, x—o, j=o, ^=0; et au point M, x=c,y=f: dônc
fr= + + '
o=q (ke qc — o = A + B; d’où l’on déduit
DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE.
Le poids II doit être tel que cette formule dopne pour /' une valeur très-petite.
L’équation de la courbe est
e1 C +e- qC
332. Les considérations employées u° 322 peuvent s’appliquer ici. Les fibres de la pièce sont d’abord étendues également, par l’action de la composante Q, de
la quantité Les fibres situées aux faces convexe 1 E.ca
et concave sont ensuite étendues et comprimées au point A, par l’effet de la courbure, de la quantité
— — - • Par conséquent, si la plus grande ten-
sion des fibres ne doit pas surpasser R', ou posera l’équation
1/(21 ’ cÇ/^ cV /V
La plus grande valeur que l’on puisse attribuer au poids n est déterminée par la condition que les composantes P, Q de ce poids satisfassent à cette équation.
333. Si la section transversale de la pièce est un rectangle ayant a pour largeur et b pour hauteur ,
tl) - — - Cl b y
LEÇONS SUR LAPPLICATION
e __E — ? v' = -- L’équation 12 2
précédente
devient
Équilibre d’une pièce inclinée chargée entre les extrémités.
334. Le cas le plus simple est celui d’une pièce inclinée À B (Fig. 62), chargée en C du poids II, et supportée aux extrémités par des portions de plans horizontaux. Cette pièce ne tend point à glisser, parce que le glissement ne produirait pas l’abaissement du poids n. En désignant par c, c' les longueurs AC, BC,
„ TT c ' et n C - pour les efforts verticaux on aura n ei 11 c + d v
exercés en A et en B. Chaque portion AC, B C de la pièce peut être regardée comme encastrée en C, et sollicitée à l’extrémité A ou B par ces efforts. Par conséquent la partie AC, qui est comprimée dans le sens de la longueur, est dans le même cas que la piece considérée n° 3* 7 , la force désignée par II dans ce
numéro étant ici II ^ ; et la partie BC, qui est
étendue dans le sens de la longueur, est dans le même cas que la pièce considérée n» 33 1 , la force désignée
par il dans ce numéro étant icij^I
335. La pièce AB (Fig. 63), supportée dans une direction inclinée par le point d’appui C sur lequel
elle ne peut glisser, et chargée aux extrémités de poids qui se font mutuellement équilibre, est sollicitée de la même manière que la pièce précédente. La partie B G, qui est comprimée, est dans le même cas que la pièce considérée n° 327; et la partie AC, qui est étendue, est dans le même cas que la pièce considérée n° 33 1.
336 . La pièce inclinée AB (Fig. 64), chargée en C du poids II, est souvent supportée d’une manière différente de celle que l’on a supposée dans le n° 334 - L’extrémité supérieure B. est appuyée contre un plan vertical, et l’extrémité inférieure A sur un plau horizontal : mais comme cette dernière extrémité tend alors à glisser, elle doit butter contre un appui, ou être retenue par un tirant, Le poids II est ici entièrement supporté par l’appui A. La pièce exerce en B une pression horizontale, déterminée par la condition de faire équilibre autour du point A, avec le bras de lévier AE, au poids n agissant avec le bras de levier AD; et cette même pression horizontale se reporte contre l’appui placé en D. Nommant c, c' les longueurs AC, BC, et a l’angle ACD, on aura donc
. n c tang. « c+c'
pour la pression horizontale dont il s’agit. Chaque partie AC et BC de la pièce est dans le même cas que si elle était encastrée en C , et sollicitée à l’autre extrémité par les forces qui viennent d’être indiquées. Par conséquent : i° la partie AC, qui est comprimée, doit être assimilée à la pièce considérée u° 327, les forces désignées par P,Q, Il dans ce numéro étant
a3o LEÇONS SUR LAPPLICATION
ici respectivement égales à n sin. a »
partie BC, qui est également comprimée, doit être assimilée à la môme pièce, les forces désignées par P,Q, n dans le n° 3a 7 étant ici respectivement, ^csin.a csin. atang.a ^ctang. a c+7 5 ’ “ c + c' *
ARTICLE V
De la résistance d’une pièce prismatique fléchie , posée horizontalement entre deux appuis, et chargée au milieu .
337 . On suppose qu’une pièce prismatique M A M' , (Fig. 65) ayant été fléchie, est posée horizontalement entre deux appuis dont l’intervalle est Un peu moindre que la longueur de cette pièce, de manière que la convexité est tournée en haut. Un poids a P étant suspendu au milieu A de la longueur de la pièce, il s’agit de trouver les conditions de l’équilibre de ce système. Chaque moitié de la pièce est dans le même cas que si, étant encastrée horizontalement en A , elle était sollicitée à l’extrémité M ou M' par une certaine force dont la composante verticale est P. Ainsi nommant
Q la composante horizontale de l’effort exercé contre les appuis M ou M' ;
x,jr les coordonnées A p, mp d’un point quelconque «le la courbe:
c la moitié AB de l mlervalle des appuis;
DE LA. MECANIQUE, l re PARTIE. A3I
s la moitié A/nM de la longueur de la pièce; f l’ordonnée BM du point extrême de la courbe; e ayant la signification indiquée n° 55 :
l’équation d’équilibre sera
ou, faisant pour abréger , q' —
L’intégrale de cette équation est
f — y = A sin. q(x-h B)-t- P ~X C — x )i
A et B étant deux constantes arbitraires.
