On a , au point A , x — o, y=o , ^ = o; et
au point M , x=c, y=f\ ce qui donne les trois conditions
/—Asin.qB+^c, ■ ,
, o=^Acos.<7B — ^-5,
o = sin.^(c + B), d’où ^(c + B]=tTt ,
ir étant le rapport de la circonférence au diamètre , et i un nombre entier quelconque. On en déduit
q COS. q c 1 '
et il reste l’équation de condition >
tang. qc=.qc ouf=^ T (qc—tang.qc)-
a3a leçons sur l'application
Ainsi la valeur de la force Q est déterminée par la
condition que la tangente de l’arc cy/ - soit moindre
que cet arc de la quantité /"^y/ - ; quantité qui doit
être fort petite, parce que la courbure de la pièce est supposée très-petite. *
33g. D’après les valeurs précédentes , l’équation de la courbe devient
v —P 1 f ~~ sin.gc— sm.g(c — x) \ y q 5 cos. qc ) 7
et Ton en déduit, à fort peu près,
S=c+ J^ ( 3 — Lîîî^if H-tang.^c),
P Ac ' . P' c '\ f
Représentant par o, a,, ffj , « 3 , etc. la suite des arcs dont la longueur est égale à celle de leur tangente, on satisfera à la condition précédente en donnant successivement à la force Q des valeurs un peu plus
petites que ~^r , < ~ri etc - H résultera de ces sup-
positious des courbes offrant un nombre de points d’inflexion de plus en plus grand.
En admettant la première de ces valeurs, la question proposée se trouvera résolue : les dernières équations des n“ s 338 et 33g feront connaître Q et f lorsqu’on se sera donné c, a et P. La forme de la courbe est représentée fig. 65.
DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 2 33
340 . Si l’on suppose f=o, l’équation de condition trouvée n° 338 devient
tang .qc=qc, d’où Q =iÿ=(4,4 9 34) J ^ ;
On a
d’où
Q=P- — et aP=±^v/'—
pour l’expression du poids a P, qui, étant suspendu au milieu de la pièce , peut faire abaisser ce point au niveau des appuis. Ce poids doit être regardé comme le plus grand que la pièce puisse supporter. Si l’on supposait, en effet, le point A placé au-dessous du point C (Fig. 66), l’équation d’équilibre devrait être écrite, en supposant les y positives comptées de bas en haut,
On aurait pour l’équation de condition
tang. qc=qc , ou/^^ (tangue — qc) ; F i
et l’équation de la courbe serait
p * /sin .qc — sin.ofc — x) \
Y = <-ï ( - — — qxy
J q \ COS. q c 1 J
La force Q devrait être supposée un peu plus grande
que o, ~ , Cj* ^ , etc. La première de ces
suppositions doit ici être adoptée , et il en résultera que la force Q, ainsi que le poids a P, prendront des
a 34 leçons sur l'application
valeurs beaucoup mqjndres que celles qu’ils avaient lorsque le milieu de la pièce était au-dessus de la ligne passant par les extrémités. La courbe n’offrant plus de point d’inflexion, est représentée par la fig. 66.
Les résultats précédents expliquent l’excès de résistance dont une pièce est susceptible lorsque, ayant été courbée, les extrémités sont placées entre des obstacles qui ne peuvent être écartés. On voit que cette résistance a une limite, que l’on ne peut dépasser sans obliger la pièce à changer aussitôt de figure. Après ce changement la pièce ne peut plus supporter qu’un poids beaucoup plus petit, et plus petit même que celui qu’elle supporterait, à courbure égale, si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis.
ARTICLE VI
De la résistance des pièces prismatiques dont Vcixe est courbe.
34i. On s’est occupé dans l’article précédent d’une pièce dont la figure naturelle est rectiligne, et que l’on maintient courbée pour en augmenter la résistance. Il s’agit ici des pièces dont la figure naturelle est courbe, telles que les ajcs en bois ou en fer employés à la construction des ponts.
Dans les pièces de ce genre, il peut exister entre la distribution de la charge et la figure de la courbe une telle relation que la pièce se trouve simplement comprimée ou étendue, et ne tende point à changer de figure : on dit alors que la pièce est tracée suivant la courbe d'équilibre. Dans d’autres cas, la pièce tend à fléchir par l’action des poids dont elle est chargée.
. DE LA. MÉCANIQUE, I re PARTIE. a35
Des pièces dônt la figure est celle de la courbe d’ équilibre.
342. La recherche de la courbe d’équilibre relative à une distribution donnée de la charge, dépend des principes déjà émis en traitant des voûtes. Considérons une pièce dont la figure naturelle est la courbe plane AM (Fig. 67), à chaque point de laquelle est appliquée une force dirigée dans le plan de la courbe. Cette pièce sera en équilibre , et ne tendra nullement à fléchir, si la pression qui a lieu au point quelconque m dans le sens de la courbe, est égale et directement opposée à la résultante des forces appliquées à la partie wM de la pièce. On suppose d’ailleurs l’extrémité A appuyée contre un plan fixe perpendiculaire à la courbe. Par conséquent en désignant, comme au n° aa 3 , par
x, y les coordonnées horizontale et verticale A p, pm d’un point m de la courbe; s la longueur de l’arc km-, a, b les coordonnées du point extrême M ;
S la longueur totale AwzM de la courbe ; p le rayon de courbure de la courbe au point m ; a l'angle que la tangente de la courbe au point A forme avec l’horizontale A x-,
F la valeur de la force appliquée au point m , pour une unitéde longueur mesurée sur l’arc de la courbe; <p l’angle que la direction de la force F forme avec l’axe horizontal Ax;
T la pression exercée au point m, dans le sens de la courbe ;
P et Q les forces verticale et horizontale appliquées au point extrême M ;
a36 leçons sub l’application >
on aura généralement
dx ds
d s. F cos. 9,
équations exprimant les conditions qui doivent être remplies pour que la pièce ne tende point à fléchir. 343. On en déduira, comme au n° aa5,
— dT— F ds ^^jsin. <p -+-^jCos. 9^) ,
pour l’équation qui donnera la valeur de la pression exercée suivant la longueur de la pièce.
Cas où les forcés appliquées à la pièce sont partout, normales à la courbe.
344- On trouvera dans ce cas, comme au n" 216 , que la pression doit être constante dans toute l’étendue de la courbe, dont la ligure est déterminée par la condition
P = — d’où T= — p F.
c’est-à-dire que le rayon de courbure doit être partout égal à la pression divisée par la valeur de la force normale rapportée à l’unité de la longueur.
