La valeur de la pression sera

T = Q t/' +££,ouT=<£ y/, ■

Au point extrême M, la tangente de la courbe forme avec l’axe des abscisses un angle ddnt la tangente

est — • La valeur de la pression est dans ce point

358. On pourrait supposer qu’au lieu du plan fixe placé en A, il existe de l’autre côté de ce point une autre portion de courbe AM' (Fig. 71 ) égale à la première, et chargée de la même manière. Il suit de là que la parabole ordinaire, représentée par l’équation du n° 356, est la figure qu’il convient de donner à une pièce courbe MAM' posée sur deux appuis aux

LEÇONS SUR l’aPPLICATION

points. M,M', et chargée par des poids uniformément répartis sur l’horizontale B B', pour que cette pièce ne tende point à fléchir sous la charge. Les valeurs précédentes de P et Q représentent les efforts verticaux et horizontaux supportés par les deux appuis. Les valeurs de T du n° 357 donnent la pression supportée par les diverses parties de la courbe, pression qui, au sommet A , est égale à Q.

359. Si, au lieu d’une charge distribuée uniformément sur la ligne AB (Fig. 70 ), la pièce courbe supportait une charge augmentant uniformément du point A au point B, les équations du n° 348 deviendraient, en désignant par k une quantité constante.

d’où

— j=i[Pa: — p{ax — -h ±k(a’x —

On doit avoir au point A, x=o, jr—o t ^£=0; et

au point B, x=a , y-=.bi d’où l’on déduit pour les forces qui doivent être appliquées au point extrême, — V =p a + { ka %

^ 3 pa'-\- k a 5

et pour l’équation de la courbe d’équilibre,

b(ipx'~\~k x > )

? Z p a’ 4 - ka*

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. ol (\ 3

36o. La valeur de la pression, calculée par la formule du n° 35o, serait ici

T — ny/ T ■

V V V lpa'+ka' J >

et deviendrait, au point extrême M,

* \ 3 pa-\-ka J

La courbe forme en ce point avec l’horizon un angle dont la tangente trigonométrique est

3 b ( a p-\-ka)

Zpa + ka'

36r. Si l’on supposait la charge distribuée uniformément sur la longueur de la pièce courbe, la figure qui conviendrait à l’état d’équilibre serait la courbe connue sous le nom de chaînette. La pression sup* portée dans les diverses parties de la pièce se calculerait comme on calcule la tension dans cette courbe. On peut donc recourir, dans ce cas, aux formules données dans les traités de statique (a).

De la flexion des pièces courbes.

362. On considérera une pièce courbe AmM (Fig. 72) encastrée horizontalement à l’extrémité A , et l’on supposera que deux forces verticale et horizontale P et Q, ayant été appliquées à l’extrémité M de cette pièce, elle ait été fléchie suivant la courbe A/ra'M'. Il

(") ° n P eut aussi voir l’ouvrage intitulé : Rapport et Mémoire sur les ponts suspendus , page 65.

s’agit, la figure de la courbe AM étant donnée, ainsi que le moment d’élasticité de la pièce et les forces P et Q, de connaître la figure de la courbe AM'. On nommera

x,y les coordonnées horizontale et verticale A p,mp d’un point quelconque de la courbe AM; s la longueur de l’arc km;

x',y les coordonnées du point m' de la courbe AM', dans lequel se transporte le point m ; a, b les coordonnées AB, MB du point extrême M; a', b’ les coordonnées AB', M'B' du point M', dans lequel se transporte le point M;

9 l’angle que la normale de la courbe AM menée au point m forme avec la verticale;

9' l’angle que la normale de la courbe AM' menée au point m\ forme avec la verticale;

* le moment d’élasticité de la pièce courbe AM, dont l’expression générale est donnée n° 5 o. Reprenons les considérations exposées n° 47, en désignant, comme dans ce numéro, par v la distance d’un point quelconque de la section transversale de la pièce à l’axe d’équilibre. Avant la flexion, la longueur d’une portion infiniment petite d’une fibre placée à la distance v de cet axe est ds + vd 9, parce que l’angle de deux normales consécutives est dy. Après la flexion, et en faisant abstraction du changement qui peut être survenu dans la longueur de l’élément ds , la longueur de la même portion de fibre sera devenue ds + vdy. La proportion suivant laquelle cette portion de fibre s’est allongée est donc

(dm' — dm)v , dm' — dm

±r— , ou simplement ; — l'y,

ds+vd<f ’ r ds ’

DE LA. MÉCANIQUE, I r ' PARTIE. -

en négligeant vd<f à l’égard de ds, ce que l’on peut faire dans les cas ordinaires des applications, l’épaisseur de la pièce étant fort petite par rapport au rayon de courbure. On conclut de là , que les conditions de l’équilibre d’une pièce courbe s’expriment de la même manière que celles d’une pièce droite, en remplaçant

la fonction — ou par

f 1 dx ' r ds j '

363. L’équation exprimant les conditions de l’état d’équilibre de la pièce courbe AM sera donc

d’où l’on déduit

La flexion de la pièce étant toujours supposée trèspetite, les angles ?' et 9 doivent différer très-peu l’un de l’autre. Le second membre peut donc être regardé comme un angle très-petit, qui ne diffère pas de son sinus, et dont le cosinus est égal à l’unité. Ainsi l’équation précédente donnera

cos. 9' — cos. 9= — “Sin.ç Jdx\/ [P(<z— .r)

sin.9 — sm.9= -cos.

■?fdx\/T+(^ÿ[P(a-x)

dx . d y , dx’

Mais on a cos. 9 = — , sin. % = cos. 9 = ——, T ds ’• T d s 1 T ds 7

•■*46 ' ' LEÇONS SH II l’application

dr'

sin.<p'= -d~ ; en supposant toujours que les parties de

la pièce ne changent pas de longueur quand elle fléchit. Donc <

dx — dx=-- t dyjdx\/ * [P(« — *) + Q

dÿ-dy= - f dxJdx\/ i+(^yiV(a—x)+Q(b—y)], I

équations qui, en intégrant, feront connaître les déplacements de chacun des points de la pièce courbe, quand la figure de cette pièce sera donnée.

364- En développant le radical, les expressions précédentes deviendront

dx'—dx—~\dyjdx [1 + etc -]

dy—dy = '-dxjdx^ 1-4-i (^y etc.] [P (a—x)

On pourra presque toujours , dans les applications , à raison du peu d’amplitude de la courbe des pièces, se borner au deuxième terme de la série. On ne commettrait même , dans beaucoup de cas , que de trèsfaibles erreurs en négligeant ce terme.

365. Dans une pièce courbe sollicitée de la manière indiquée n° 36a, les parties sont tendues dans le sens de la longueur de la pièce par l’action de la force P, et comprimées par l’action de la force Q. La tension ou compression produite par chacune de ces forces, en un point quelconque de la courbe, est égale à la

DE LA MÉCANIQUE, J re PARTIE.

force décomposée parallèlement à la direction de la courbe en ce point. Ainsi T désignant comme ci-dessus une pression, on a ici

Application au cas où la figure de la pièce courbe est une portion de parabole.