On a dans ce cas r=^- , • et en

J a' » dx a* ’

substituant dans les formules du n° 364,

d oc — dx— — x 1 — '^j + QÇbx 1 -

— etc. j ,

dÿ—dy=\d.x\v(ax—Ÿ) + Q(>«— |jj'

zb'[ T .('ax i À\ r.fbx 1

— • etc. | ;

d’où l’on tire en intégrant

*'-*=- î|î[ p (t-Ï) + «(t-to

• +Ç[ p (Tr-5) + Q(i?-Bî)]

— etc.j,

/-r=l|p(^-ï>QC-f

bx*\

■~ M v.b' \ -p. ( aa* x 5 \ g^/ba? bx* \"|

-etc.

Si l’on désigne par h et/’ les quantités dont le point extrême M est déplacé horizontalement et verticalement, ces formules donneront, en y faisant x=a.

, V /Sa' b b ’ \ Q /8a b'

— h =- f 1 etc. M-- ( — — -t

e \ ia io J t \ i5

- P / a? ab' \ Q /

f~l\ 3 +75— etc-) +7 (

etc.

367. Considérons une pièce courbe M A M' (Fig. 73) formée de deux parties égales, supportée verticalement sur deux portions d’un plan horizontal, et chargée au milieu A du poids 2 II. La pièce cédera à l’action de ce poids , et le sommet s’abaissera en même temps que les extrémités s’écarteront l’une de l’autre. La moitié AM de la pièce est dans le même état d’équilibre que si, étant encastrée horizontalement en A, elle se trouvait sollicitée à l’extrémité M par une seule force verticale n agissant de bas en haut. Par conséquent, faisant P= — Il et Q = o dans les équations précédentes, et se bornant aux deux premiers termes des séries, les valeurs

exprimeront respectivement la quantité dont chaque point M ou M' se déplace horizontalement, et l’abais-

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. ^9

sement du sommet A de la pièce. Cet abaissement est un peu plus grand qu’il*, ne serait pour une pièce rectiligne, à distance égale des points d’appui.

368. La formule du n° 365 donnera à fort peu près, pour la pression exercée dans le sens de la courbe au point dont l’abscisse est x,

T== H^ ÔT)'

Comme on suppose ici b petit par rapport à a, la plus grande valeur de cette pression aura lieu aux points extrêmes M ou M', dans lesquels x=a.

36g. Considérons maintenant la même.pièce courbe MAM' (Fig. 74 )» chargée de la même manière; mais en supposant que les appuis ne permettent pas aux extrémités M et M' de s’écarter l’une de l’autre. Chaque moitié de la pièce est dans le même état d’équilibre que si cette moitié, encastrée horizontalement en A, se trouvait sollicitée à l’extrémité M ou M' par une force verticale II agissant de bas en haut, et par une certaine force horizontale Q. Cette force horizontale doit être déterminée par la condition que les points M ou M' ne se déplacent pas horizontalement. Il suit de là qu’en mettant — n à la place de P , dans les deux dernières équations du n° 366, et faisaut h= 0 / les valeurs qui s’en déduisent, et qui sont, en se bornant aux deux premiers termes des séries,

Il / à? a3«ê a \

î5o LEÇONS SUS LAPPLICATION

expriment respectivement la pression horizontale que la pièce courbe M A M' exerce contre les appuis , par suite de l’action du poids 2 II , et la quantité dont cette action fait abaisser le sommet A de la pièce. Ainsi, dans une pièce courbe qui a peu d’amplitude, l’abaissement du sommet est à peu près indépendant de la flèche b de cette pièce; et en le comparant à la valeur de f du n° 56, on voit qu’il n’est pas le i/[\o de l’abaissement qui aurait lieu pour une pièce rectiligne des mêmes dimensions. Mais il ne faut pas oublier que la valeur précédente est calculée sans avoir égard à la contraction que doit produire la pression exercée dans le sens de la longueur, et qui contribue avec la flexion à faire abaisser le sommet de la côurbe.

370 . Dans le cas dont il s’agit, les actions exercées sur la pièce ne tendent qu’à la contracter. La formule du n° 365, en remplaçant P par — II, Q par

n f ÿ-r ; et, en ne conservant que les

termes de l’ordre — , donne pour la pression sup-

portée dans le point dont l’abscisse est x

f a5 a b a bx a5Æx , '\

La plus grande valeur de cette pression a lieu dans le

point dont l’abscisse est — — , et cette valeur maxi-

mum est

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE.

De la flexion d’une pièce courbe dont tous les points supportent des poids.

371 . Considérons la pièce courbe AM (Fig. 75), encastrée horizontalement à l’extrémité A , et chargée dans tous les points par des poids dont l’action oblige cette pièce à prendre la position AM'. En conservant les dénominations du n° 36a , et appelant

p le poids placé au point m dont l’abscisse est x, la valeur de ce poids étant rapportée à l’unité de longueur, et donnée en fonction de l’abscisse x; x , l’abscisse A q d’un point quelconque n compris entre m et M; . »

p , la valeur de p dans le point n;

on aura pour exprimer les conditions de l’équilibre, au lieu de l’équation du n° 363,

d’où l’on déduira, comme dans ce numéro,

dx — dx = — \dyjdx\/i+(ï£^j dx,p,(x l — x),

dy—dy— ^dxjdxy/ dx t p,(x t —x),

formules qui feront connaître le déplacement de chacun des points de la courbe.

37 a. .En développant le radical, ces formules deviendront

,+ ;d£)’ etc

I+ ;Gi£)’- etc -

373. La pression qui a lieu au point m est égale à la somme des poids dont la partie mM est chargée, décomposés parallèlement à la direction de la courbe en m. Cette pression est donc

a (îfY ' . *

s Cette valeur est négative lorsque -j- est positif : alors la

courbe n’est pas comprimée, mais tendue dans le sens de sa longueur.

Application au cas où la charge est uniformément distribuée, et où la figure de la pièce courbe est une portion de parabole.

dx — dx= — | dyjdx £

dp 1 — dy— ^dxjdx jj

■]y dx,pfx—x).

374. Lorsque la charge est distribuée de manière que des poids égaux répondent à des parties égales de l’.axe horizontal Kx , p est constante, et les formules du n° 37a deviennent

d x— dx——^dy j'd x £ 1+ ^ • etc . J ^ — a x- f -

df—dy— idxfdx[i+[(^y— etc.](Ç-a*+Ç)-

L’équation de la courbe étant d’ailleurs y = ;

d’où =. - --- s ces formules donnent

dx a * 7

t [ a 4a îo a*

fa'x 5

ax a x 7 >

\ ____ pfn I

J V Lv • 1

ax s x * \

pfp I