Résultats moyens des expériences de M. Telford (c

Dli.UKTRK des (lis.

Poids produisant la rupture.

pouce anglais «

livres avoir du poids.

Le résultat moyen est 63 k ,6 par millimètre quarré.

Poids

sons lequel la barre

produisant

s'étend.

la rupture.

tonnes, quint.

(a) Rapport et Mémoire sur les ponts suspendus, page 11!^.

(ô) OEuvres de Buffon, partie expérimentale, 4 * mémoire.

(r) dn essny on the strength and stress of tituber, page mi; ou Rapport et Mémoire sur les ponts suspendus, page au.

aa leçons sur l’application

37. D’après les expériences de MM. Séguin (a), la force d’un fil de a millimètres de diamètre est moyennement i90 k ; ce qui revient à 60 v par millimètre quarré.

Résistance de l’acier à V extension.

38. D’après les expériences du C c Brown ( b ), sur des pièces de plus d’un pouce de grosseur , la force de cohésion sur un pouce quarré anglais, est, pour

l’acier blislered. i4 , 7a tonnes.

l’acier fondu 27 , 92

Ces résultats reviennent à 27^9 et 44 k pour un millimètre quarré.

3g. D’après les expériences de M. G. Rennie (c), la force de cohésion, pour des pièces quarrées de ~ pouce anglais de côté , est , pour

l’acier fondu ( tilted).

83f)ï ** T ‘ aT do poid*.

l’acier ( blister)

l’acier ( shear )

Ces nombres, aussi-bien

que ceux des n°‘ suivants.

4i et 42, doivent être multipliés par 0,011 25, pour donner la résistance sur un millimètre quarré, exprimée en kilogrammes.

(à) Citées dans la Bibliothèque universelle.

(b) An Essay on the strength, etc. , page a 35 . Rapport et Mémoire

sur les ponts suspendus , page aaa.

DE LA MÉCADriQÜE, I re PARTIE. 23

Résistance du fer fondu à l’extension.

4 o. Résultats des expériences du C e Brown (a), sur des barreaux quarrés.

Le résultat moyen revient à i4 k ,* pour un millimètre quarré.

4 i. D’après les expériences de M. G. Rennie( 4 ), la

force de cohésion pour des pièces quarrées de 4 pouce

anglais de côté, est, pour

le fer fondu horizontalement. . .

1 i 66 Ut •' do i wi ' 1 *

verticalement . . . .

iai8

Résistance de divers métaux à l’extension, r

4 a. D’après les mêmes expériences

, la force de co-

hésion pour des pièces quarrées de -

pouce anglais de

côté , est , pour le

Métal de canon dur

22^3 *’’• ”• da p° id *-

Cuivre battu

aaia

Cuivre-fondu

Cuivre jaune fin

Étain fondu .

Plomb fondu

Éqi-axrissaoi

des

pièces.

Poids

produisant la raptare.

pouce anglais.

tonnes, quint.

(а) Rapporte! Mémoire sur les ponts suspendus, pages aaa, 224.

(б) Philosophical transactions , 1818. Annales de chimie et de physique, septembre, 1818.

LÉÇÔffS SUR L’APPLICATION

Résistance clés cordages à V extension.

43 . D’après les expériences de Duhamel, d étant le diamètre d’une corde, elle porte moyènnement jusqu’à 400 .d* kilogrammes.

44 D’après Coulomb , les cordes blanches portent jusqu’à 5 o ou 6 o kil par fil de éarret, mais on ne doit jamais les charger de plus de 40*”

45 . Les cordes goudronnées 11e portent que les ï ou les ~ des cordes blanches (à).

ARTICLE III

De la résistance d'un corps prismatique il la flexion

produite par un effort dirigé perpendiculairement à la longueur de ce corps. .

46 . Quand un corps prismatique est tiré dans le sens de la longueur, tous les éléments longitudinaux, ou fibres, s’allongent. Si le même corps est comprimé, et qu’il 11e puisse céder en pliant, les fibres s’accourcissent. Lorsque les allongements ou accourcissements sont très-petits , ils sont proportionnels à l’effort qui les produit. La variation de longueur d’un corps, pour un effort donné , est d'ailleurs évidemment proportionnelle à la longueur de ce corps.

47. Quand un corps prismatique est fléchi, les fibres situées du côté de la face convexe sont allongées; les

ta) Pour les expériences de Duhamel , voyez sou Traité de l’art de la rorilcrie, ou l’article Cordages du Dictionnaire de marine de l’V.ucvclojiédie méthodique. Pour les assertions de Côulomb, voyez le tome X des Mémoires des savants étrangers, page 1 285,

DE t A MÉCANlQtJE, l n PAR+ïE. 25

fibres situées du côté de la face concave Sont accourcies; certaines fibres, situées dans Fintérient dit corps, conservent Une longueur invariable. En admettant , conformément à ce qui a été dit ci-dessus, que lés fibres opposent à Fallongeihent et à raccourcissement , des résistances proportionnelles aux quantités dônt les longueurs de ces fibres varient, on peut se rendre compte de la manière dont un corps résiste à la flexion.

Soit un solide prismatique droit (Fig. i ), èncâstré horizontalement à l’extrémité A , et fléchi par l’action d’un poids P suspendu à l’autre extrémité II. Considérons une section transversale quelconque mafia'. Soit a a' la ligne horizontale qui est la section des fibres dont la longueur n’a pas varié. Il est nécessaire, pour l’équilibre de la partie du corps située à droite de manu : i° que les extensions et compressions des fibres aient fait naître, dans cette seetion, des forces verticales dont la somme égale le poids P ; 2 0 que la somme des farces horizontales produites par ces extensions et compressions soit nulle; 3° que la somme des moments des forces verticales et horizontales dont il s’agit, et du poids P, pris par rapport à l’axe fixe a a', soit nulle.

On nommera

E la force nécessaire pour allonger ou pour aCcourcii* un prisme dont la section transversale est l’unité superficielle, d’une quantité égale à la longueur de ce prisme.

P le rayon du cercle osculateur de la courbe du solide, au point où est faite la section transversale mana'.

u l’abscisse d’un point quelconque de la section ama'n , comptée sur aa.

v l’ordonnée d’un point quelconque de cette section, prise perpendiculairement à a a'.

a la plus grande valeur de u.

f x u l’ordonnée pm de la courbe qui termine la partie de la section transversale où les fibres s’allongent.

f u l’ordonnée p n de la courbe qui termine la partie où les fibres s’accourcissent.

x la distance de la section transversale ama'n à l’extrémité encastrée.

c la distance du point d’application du poids P à l’extrémité encastrée, qui ne diffère pas sensiblement de la longueur AB du solide.

Dans l’état naturel du corps, dx est la longueur de la portion infiniment petite de la fibre dont les coordonnées sont «, v. Après la flexion, cette longueur a

augmenté de — v, parce que l’angle de deux normales e

consécutives est — . La proportion suivant laquelle cette fibre s’est allongée est donc

dx P

dx ’

L’aire de la section transversale de la fibre étant dudv , la résistance quelle oppose à l’allongement est

E .dudv.

et le moment de cette résistance , pris par rapport à l’axe aa\ est

HL. dudv.— •

Par conséquent les sommes des résistances des fibres

DE LA. MÉCANIQUE, l" PARTIE. 2 7

étendues et des fibres comprimées sont respectivement

( a iuf U dv.v.

?J 0 J 0 'lj 0 J o

La somme des moments de ces résistances, pris par rapport à l’axe a a! , est

E / r a /•/>** » y* rJ* u \

~yj duj dv-v'+J duj dv.v'j

48. On aura donc, pour exprimer l’équilibre des forces horizontales, condition qui détermine la situation de l’axe a a ' ,

dv.v

4g. On aura ensuite, pour exprimer l’équilibre de rotation autour de cet axe.

dv.v'+f* 1 duf J dv .v*'\=V(c-x).

On néglige les moments des forces verticales, ce qui est permis quand l’épaisseur du corps est petite par rapport à la longueur.

5o. La quantité

a a rL u r a rf' u \

duf dv.v' + J duf dv.'v'j

a , pour chaque corps , une valeur qui dépend de la

a8 leçons son l’application

nature de ce corps et de la figure de la section transversale. Nous nommerons cette quantité moment cT élasticité du corps. Quand la figure de la section transversale du solide est susceptible d’être partagée par une ligne horizontale en deux parties symétriques , cette ligne est l’axe d'équilibre qui contient les fibres invariables, et à partir de laquelle il faut prendre la valeur de l’intégrale

dont le double est alors la valeur du moment d’élasticité. Dans le cas contraire, il huit déterminer d’abord la position de l’axe d’équilibre, au moyen de la condition exprimée n°48, et calculer ensuite séparément les valeurs des deux intégrales qui entrent dans l’expression de ce moment d’élasticité.

51. Si la figure de la section est un rectangle (Fig. a), dont a et b soient la largeur et la hauteur, la valeur du moment d’élasticité est

a E / dut dv-v' = E •

Ainsi la résistance à la flexion est proportionnelle à la largeur et au cube de la hauteur du solide.

52. Si cette figure (Fig. 3 ) est formée «le deux triangles égaux, dont les côtés soient p et q, la valeur du moment d’élasticité est

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 29

En déduisant de cette expression la valeur du moment d’élasticité d’un pfisme à base quarrée , flécbi dans le sens des diagonales de la base , cm trouve que ce moment a la mêpae valeur que dans le cas où le prisme est fléchi dans le sens des côtés de cette base.

53. Lorsque la figure de la section transversale (Fig. 4) est un cercle dont r est le rayon , l’expression générale du moment d’élasticité devient

dont la valeur est E— —

On conclut de là que les résistances à la flexion du quarré et du cercle qui lui est inscrit, sont entre elles

dans le rapport de i à

54- Le moment d’élasticité d’un tuyau est la différence des moments d’élasticité de deux cylindres, r ' , r" étant les rayons extérieurs et intérieurs du tuyau, le moment d’élasticité sera

55. Considérons, comme dans le n°47» un solide prismatique droit ( Fig. 5 ) , encastré horizontalement à une extrémité A , et chargé à l’autre extrémité M d’un poids.

Nommons

x l’abscisse A p d’un point m de la courbe du solide , comptée sur l'horizontale A B.

3o LEÇONS SUR l’aPPLICA.TION

y l’ordonnée pm.

p le rayon du cercle oscillateur de la courbe du solide en m.

P le poids placé à l’extrémité M du solide.

c la distance horizontale AB des deux extrémités ' du solide.

f l’ordonnée BM de l’extrémité de la courbe.

s la longeur A/raM du solide.

a l’angle formé avec l’horizon par la tangente de la courbe du solide à l’extrémité M.

e la valeur du moment d’élasticité du solide, dont l’expression générale est donnée n° 5o.

L’équation d’équilibre du n° 49 est

c’est-à-dire

dx ’

dx'J

et dans le cas où la flexion est très-petite, ce qui permet de négliger le quarré de on a

djr

*r = p (t—tD-

tang. « =^.

DE LA MÉCANIQUE, I™ PARTIE. 3l

56. Quand le solide est posé horizontalement sur deux appuis ( Fig. 6 ) , les équations précédentes conviennent à la courbe formée par chacune des moitiés. Nommant

f la flèche AC de la courbe du solide, a P le poids suspendu au milieu du solide.

ic la distance MM' des appuis.

■is la longueur M AM' du solide entre les appuis, a l’inclinaison de la courbe à l’extrémité M.

On a, en supposant la courbure du solide très-petite,

aP (ac) 3 e ' 48 ’

tang.

La flèche de la courbe est proportionnelle au poids i P, et au cube de la distance des appuis.

57 . En considérant toujours, comme dans le n° 55, un solide prismatique droit (Fig. 7 ), encastré horizontalement à une extrémité , on peut le supposer chargé, dans tous les points de la longueur, de poids distribués d’une manière quelconque. Nommant x,y les coordonnées horizontale et verticale d’un point quelconque m de la courbe du solide.

x' l’abscisse d’un point quelconque m' situé entre m et l’extrémité M.

c la distance AB.

p’ la valeur du poids suspendu en m , rapportée à l’unité de longueur de l’abscisse, en sorte cpiep'dx'

3a VEÇONS SUR i.' APPLICATION

est le poids supporté par l’élément dont la projection est cl x'. (jha quantité p' est censée donnée en fonction de x' . )

/ l’ordonnée BM de l’extrémité de la courbe.

On aura

ty — l dx I dx I dx'.p'{x ' — x).

58. Si les poids portés par chacun des éléments de la longueur du solide sont égaux, ce qui comprend le cas où ces poids seraient ceux mêmes des éléments , p' aura une valeur constante p, et l’on aura

dx'