SIXIÈME LEÇON

Usage des Différentielles et des Fonctions dérivées dans la solution de plusieurs Problèmes . Maxima et minima des Fonctions d’une seule variable . Valeurs des Fractions qui se présentent sous la forme

Apres avoir appris à former les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable, nous allons indiquer l’usage qu’on peut en faire pour la solution de plusieurs problèmes.

i. cr Problème. La fonction y = f (x) étant supposée continue par rapport à x dans le voisinage de la valeur particulière x—x ot on demande si, a partir de cette valeur, la fonction croît ou diminue, tandis que l on fait croître ou diminuer la variable elle-même.

Solution. Soient Ax, A y, les accroissemens infiniment petits et simultanés des variables x, y. Le rapport A y - aura pour limite d ■- —y • On doit en conclure que pour de très-petites valeurs numériques de A* ; et pour une valeur particulière x Q de la variable .v, le rapport A x sera

positif, si la valeur correspondante de y est une quantité positive et finie, négatif, si cette valeur de y est une quantité finie mais négative. Dans le premier cas, les différences infiniment petites Ax, A y étant de meme signe, la fonction y croîtra ou diminuera, a partir de x—~x 0 > en meme temps que la variable x. Dans le second cas, les différences infiniment petites étant de signes contraires, la fonction y croîtra si la variable v

diminue, et décroîtra si la variable augmente.

Ces principes étant admis, concevons que la fonction^— -f{ x ) demeure continue entre deux limites données x-=lx q , xz=z.X. Si ion fait

croître la variable x par degrés insensibles depuis la première limite jusqu’à la seconde, la fonction y ira en croissant, toutes les fois que sa dérivée étant finie aura une valeur positive, et en décroissant, toutes

les fois que cette même dérivée obtiendra une valeur négative. Donc, la fonction y ne pourra cesser de croître pour diminuer, ou de diminuer

Lffons de M. Cauchy,

pour croître, qu’autant que la dérivée y passera du positif au négatif, ou réciproquement. II est essentiel d’observer que, dans ce passage, la fonction dérivée deviendra nulle, si elle ne cesse pas d’être continue.

Lorsqu’une valeur particulière de la fonction f(x) surpasse toutes les valeurs voisines, c’est-à-dire , toutes celles qu’on obtiendrait en faisant varier a- en plus ou en moins d’une quantité très-petite, cette valeur particulière de la fonction est ce qu’on appelle un maximum.

Lorsqu’une valeur particulière de la fonction f (x) est inférieure à toutes les valeurs voisines, elle prend le nom de minimum.

Cela posé, il est clair que, si les deux fonctions f(x), /'(x) sont continues dans le voisinage d’une valeur donnée de la variable x, cette valeur ne pourra produire un maximum ou un minimum de f{x ), qu’en faisant évanouir f' (x).

2.. e Problème. Trouver les maxima et minima d’une fonction de la seule variable x .

Solution. Soit f[x) la fonction proposée. On cherchera d’abord les valeurs de x, par lesquelles la fonction f(x) cesse d’être continue. A chacune de ces valeurs, s’il en existe, correspondra une valeur de la fonction elle-même, qui sera ordinairement ou une quantité infinie, ou un maximum ou un minimum.

On cherchera, en second lieu, les racines de l’équation

avec les valeurs de x qui rendent la fonction y’ (*) discontinue, et parmi lesquelles on doitplacerau premier rang celles que l’on déduitde la formule

W f'(x)=d=oo, ou —,i-y- = o.

Soit x zz x 0 une de ces racines ou une de ces valeurs. La valeur correspondante de f[x), savoir/(x 0 ), sera un maximum , si, dans le voisinage de x~x 0 , la fonction dérivée f'[x) est positive pour x<x 0 , et négative pour x>x Q . Au contraire, /(x 0 ) sera un minimum, si la fonction dérivée / (x) est négative pour x<x Q , et positive pour x>* 0 . Enfin, si, dans le voisinage de x~x 0 , la fonction dérivée f'(x) était ou constamment positive, ou constamment négative, la quantité f(x 0 ) ne serait plus ni un maximum , ni un minimum.

Exemples. Les deux fonctions xi, qui deviennent discontinues

en passant du réel à l’imaginaire, tandis que la variable * diminue en passant par zéro, obtiennent, pour x — o , une valeur nulle, laquelle représente un minimum de la première fonction, et un maximum de la seconde.

Les deux fonctions x 1 , xi, dont les dérivées passent du positif au négatif, en se réduisant à zéro ou à l’infini pour une valeur nulle de .y, ont l’une et l’autre zéro pour valeur minimum. Quant aux deux fonctions x s, x 3 (j ont les dérivées deviennent encore milles ou infinies pour x=o, mais restent positives pour toute autre valeur de x, elles n’admettent ni maximum, ni minimum.

La fonction x'-+-p.x-\-q, dont la dérivée est ix-t-p, obtient, pour

a '——~p , la valeur minimum q - ^-p x ; ce quon vérifie aisément, en

mettant la fonction donnée sous la forme (*-H-r/O* ?- TP* m

La fonction > dont la dérivée est - ~], obtient, pour

x = L(e), quant A surpasse l’unité, la valeur minimum -pjTj •

La fonction dont la dérivée est [L{e) — L(x)], obtient;

1 ï * L l e) pour xzzie, la yaleur maximum —— •

La fonction x a e~ x , dont la dérivée est e ~* *) » obtient >

pour x=œ, la valeur maximum a a e ~ a .

3. e Problème. Déterminer l'inclinaison d'une courbe en un point donné. Solution. Considérons la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires y=f(x). Dans cette courbe, la corde menée du point (a-, 7)* au point ( x-\- A x, 7-t- A7) , forme , avec l’axe des x prolongé dans le sens des * positives, deux angles, l'un aigu, 1 autre obtus, dont le premier mesure l’inclinaison de la corde, par rapport à iaxe des .v. Si le second point vient à se rapprocher à une distance infiniment petite du premier , la corde se confondra sensiblement avec la tan-

* Nous indiquons ici les points à i’aide de leurs coordonnées renfermées entre deux parenthèses, ce que nous ferons toujours par la suite. Souvent aussi, nous indiquerons les courbes ou surfaces courbes parleurs équations.

24 COURS d’analyse.

gente menée à la courbe par ce premier point; et iinclinaison de la corde, par rapport à Taxe des x, deviendra i inclinaison de la tangente, ou ce qu’on nomme ïinclinaison de la courbe par rapport au meme axe. Cela posé, comme l’inclinaison de la corde aura pour tangente tiigonométrique la valeur numérique du rapport A d est clair que lin clinaison de la courbe aura pour tangente trigonométrique la valeur numérique de la limite vers laquelle ce rapport converge, cest-à-dire,

de la fonction dérivée y = ~J 1 T’

Si la valeur de y' est nulle ou infinie, la tangente à la courbe sera parallèle ou perpendiculaire à l’axe des x. C’est ordinairement ce qui arrive, quand l’ordonnée y devient un maximum ou un minimum.

Exemples. y=x\ y = x 3 , y = x m , y=xf, y=x a , y=A x , y=: sinx, &c.. 4 . e Problème. On demande la véritable valeur d’une fraction dont les deux termes sont des fonctions de la variable x, dans le cas où Ion attribue a cette variable une valeur particulière, pour laquelle la fraction se présente sous la forme indéterminée

Solution. Soit s=. -y la fraction proposée ,y et z désignant deux fonctions de la variable et supposons que la valeur particulière .v =* 0 réduise cette fraction à la forme -J-, c’est-à-dire, quelle fasse évanouir y et z • Si l’on représente par A*, A y, A z les accroissemens infiniment petits et simultanés des trois variables x,y, z> on aura, pour une valeur

quelconque de x, s=-y = Uni ’

et, pour la valeur partitulière

S = l,m Ty ~d7 ~p~

Ainsi, la valeur cherchée de la fraction jou coïncidera générale-

ment avec celle du rapport ou —,-•

. sin * cos x l [ — 1 .

Exemples. On aura, pour*=o, —— =— - —— i » —* — — 1 »

pour xtzz. i

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