CINQUIÈME LEÇON
La différentielle de la somme de plusieurs fonctions est la somme de leurs différentielles. Conséquences de ce principe. Différentielles des fonctions imaginaires.
Dans les leçons précédentes, nous avons montre comment 1 on forme les dérivées et les différentielles des fonctions d’une seule variable. Nous allons ajouter aux recherches , que nous avons faites à ce sujet, de nouveaux développemens.
Soient toujours x la variable indépendante, et A xz=z cth = cLdx un accroissement infiniment petit attribué à cette variable. Si l’on désigne par s,u,v, w ... plusieurs fonctions de x, et par A s, A u, A v, A w ... les accroissemens simultanés qu’elles reçoivent, tandis que Ion fait croître x de Ax, les différentielles ds, du, dv, dw, ... seront, dapres leurs définitions mêmes, respectivement égales aux limites des rapports As A u Av Air
<*’ cl 9 * * * * ' *
Cela posé , concevons d’abord que la fonction s soit la somme de toutes les autres, en sorte qu’on ait
On trouvera successivement
A; = Afl + Av + AF+--
As Au Av A»* o
et a a a.
puis, en passant aux limites ,
( 2 ) ds du dv dw ....
Lorsqu’on divise par dx les deux membres de cette dernière équation, elle devient
Ltfsns de M. Cauchy.
*8- COURS d’analyse.
De la formule (2) ou (3) comparée à f équation (1 ), il résulte que la différentielle ou la dérivée de la somme de plusieurs fonctions est la somme de leurs différentielles ou de leurs dérivées. De ce principe découlent, comme on va le voir, de nombreuses conséquences.
Premièrement, si l’on désigne par m un nombre entier, et par a, b, c... P > q > r, des quantités constantes, on trouvera
( 4 ) d(u-}~v) = du-\-dv, d{u — v) =du — dv, d(au -*-b v)=adu-\-bdv;
(5) d (a u-+-bv-+-cw-t-....)=adu-\-bdv-+-cdw-{- . . . ; d ( ax m H- bx m ~ l -f- cx m ~ l . . . -+-px 2 -ï-qx-}-r)
= [max m -'-h(m — i)b x m ~~-\-{ni — 2) cx m ~i -\-.. .-\-ip x-\-q]dx,
Le polinome a x m H- bx m ~ x cx m ~ 1 . . . ~\-p x z -4- qx-\-r , dont tous les termes sont proportionnels à des puissances entières de la variable x , est ce qu’on nomme une fonction entière de cette variable. Si on le désigne par s, on aura, en vertu de l’équation ( 6 ) ,
s' zz= max m ~' -+-(/»—1 )bx m ~~ z -\-(m —2 )cx m ~ } -\~. . . -f- ipx-\-q. Donc , pour obtenir la dérivée d'une fonction entière de x, il suffit de multiplier chaque terme par l’exposant de la variable , et de diminuer chaque exposant d'une unité. Il est aisé de voir que cette proposition subsiste dans le’ cas où la variable devient imaginaire.
Soit maintenant
Comme on aura, en supposant les fonctions u, v, w . . . toutes positives
et, dans tous les cas possibles , s * ~ u 1 v * w 1 . , . ,
l’application du principe énoncé à la formule (8) ou à la formule (9) fournira l’équation
r \ ds du dv ,\. dlv - i- &c
de laquelle on conclura
v f du t dv dur \
(ii) d[uvw>..) = uvw ... “'-J
== vr,.. du-\- ü w... dv -h Uv ... âw-\* • ••
Exemples. d[uv) -H v du, d(u vw)~v W du -f -uw dv -H uv dw ,
d.xl{x) = {i+I{x)]dx, J( X “e-’)=x“e-:* (-2-i) , &c.
Soit encore
En différenciant /(j) ou —-/(/), on trouvera
f v d s du dv . U t du d V \
(>3) — — — -ïïï» ds =—\~Z - —)*
et par suite,
/ ,x |/«\ vdu — udv
On arriverait au même résultat, en observant que la différentielle de —
, / i \ r , , ( i \ d u udv
est équivalente a d [u. —J — — d u-h-u d
.sin x cosxrfsinx—sinxrfcosx dx . dx
Exemples.dtmgx=d—= - — -— y dcotx—
Si les fonctions a, v se réduisent a des fonctions entières, le rapport JL deviendra ce qu’on nomme un fraction rationnelle. On déterminera
facilement sa différentielle à l’aide des formules ( 6 ) et (i 4 )*
Après avoir formé les différentielles du produit uvw .. . et du quotient—, on obtiendra sans peine celles de plusieurs autres expressions
telles que u v , u v , u pW , &c.... En effet, on trouvera
pour s=tt r ,l(s) = vl(u), d -?- = v d -~-*-Uu)dv, ds = vu y -' du-hu’l(u)dv ;
COURS d’analyse.
pourj=a',/(j)=-^-/(«),li=-^— l(u)^~,Js=a” —u’ l{u)
~ -1 du
pour s=u v , l[s) = v w l[u) ,ds = u y v* dvl(u).l[v) .dw~^ î
Exemples. d(x x ) — x x \i-*-l(x)~\dx, d[x~*) — — x~*dx, d.x x —&c...
Nous terminerons cette leçon en recherchant la différentielle d’une fonction imaginaire. On nomme ainsi toute expression qui peut être ramenée à la forme u -H v -j/— i , u et v désignant deux fonctions réelles. Cela posé, si l’on appelle limite d’une expression imaginaire variable, ce que devient cette expression quand on y remplace la partie réelle et le coefficient de V — i par leurs limites respectives, et si, de plus, on étend aux fonctions imaginaires les définitions que nous avons données pour les différences, les différentielles et les dérivées des fonctions réelles, on reconnaîtra que l’équation
entraîne les suivantes
As—Au-±-AvV-
s — u -f- v j/— i , d s = du -H d v V~\.
On aura, en conséquence
(15) d{u~\~ v}/ — \)=du-hdv V~i .
La forme de cette dernière équation est semblable à celle des équations ( 4 )- Si Ion suppose en particulier
s nz cos *4- yC =7 sin x
on trouvera
cos +
Ajoutons que, les formules (4), (5), ( 6 ), (11) et ( 14 ) subsisteront lors même que les constantes a, b, c... p, q, r, ou les fonctions u, y , w ... , comprises dans ces formules deviendront imaginaires.
“ 7 ") "+" V — 1 s * n (* H —= s. V—1 dx.
