LA

pour x nz: oo, se présentent sous les formes indéterminées oo°. Ces mêmes valeurs peuvent en général être facilement calculées à laide de deux théorèmes que nous avons établis dans l’Analyse algébrique [ch. II, p. 48 et 53]. Mais nous nous bornerons ici à montrer par quelques exemples comment on peut résoudre les questions de cette espèce.

si x

Soit proposée d’abord la fonction , A désignant un nombre supérieur à funité, et concevons que l’on cherche la véritable valeur de cette fonction pour x — 00. On observera que, pour des valeurs de .v supérieures à — ^ ^ , la fonction dérivée étant toujours positive , la fonction donnée sera toujours croissante avec x. D’ailleurs, si l’on représente par m un nombre entier susceptible d’un accroissement indéfini , l’expression

Leçons de M. Cauchy,

2 6 COÜRS d'analyse.

aura évidemment pour limite l’infini positif. On trouvera en conséquence

(1) Uni —— = oo.

Il résulte de cette dernière formule que l’exponentielle A*, lorsque le nombre A surpasse ïunité , finit par croître beaucoup plus rapidement que la variable x.

Cherchons, en second lieu, la véritable valeur de la fonction-

pour x — oo, la base des logarithmes étant un nombre A supérieur à l’unité. Comme, en faisant y = L(x), on trouvera - L = -^7’ et

que la fonction aura pour limite = o , on en conclura

(2) hm —L-L = o.

II en résulte que, dans un système dont la base est supérieure à ï unité, les logarithmes des nombres croissent beaucoup moins rapidement que les nombres eux-mêmes.

Cherchons encore la valeur de pour x — 00. Comme on aura

évidemment x x = A * > on en tirera

(3) lim x x — A° = I.

Lorsqu’on remplace, dans les formules (2) et (3), * par ~ 9 on en

conclut que les fonctions x L[x) et x* convergent respectivement vers les limites o et 1 , tandis que l’on fait converger x vers la limite zéro.

Nous allons maintenant faire connaître une relation digne de remarque* qui existe entre la dérivée f'(x) dune fonction quelconque

f(x), et le rapport aux différences finies — — — • Si dans ce

rapport on attribue à a: une valeur particulière x Q , et si l’on fait, en

* On peut consulter sur ce sujet un Mémoire de M. Ampère, inséré dans le 13.' cahier du Journal de l'Ecole polytechnique.

outre, -+-// = X, il prendra ia forme Cela pose',

on e'tablira sans peine ia proposition suivante.

Théorème. Si, la fonction f (x) étant continue entre les limites x~x n , a "=:X, on désigne par A la plus petite, et par B la plus grande des valeurs que la fonction dérivée f '(x) reçoit dans cet intervalle, le rapport aux différences fuies

sera nécessairement compris entre A et B.

Démonstration. Désignons par ch, g, deux nombres très-petits, le premier étant choisi de telle sorte que, pour des valeurs numériques de i inférieures à ch, et pour une valeur quelconque de x comprise entre les limites x 0 , X, ie rapport

reste toujours supérieur à f'(x) —g, et inférieur à f' (*)-+- Ê * Si, entre les limites x Q , X, on interpose n — 1 valeurs nouvelles de la variable a: , savoir,

de manière à diviser la différence X —* 0 en élémens X , —— X Q , X z X t f ..... X ~~ — X n — , ,

qui, étant tous de meme signe, aient des valeurs numériques inférieures à <h ; les fractions

se trouvant comprises, la première entre les limites f'[x 0 ) —g, f'[x 0 )-he, la seconde entre les limites f'( x t ) —s, f'(x,)-t-e , &c.... seront toutes supérieures à la quantité^ — g, et inférieures à la quantité B - t-s. D’ailleurs, les fractions (5) ayant des dénominateurs de meme signe, si l’on divise la somme de leurs numérateurs par la somme de leurs dénominateurs, on obtiendra une fraction moyenne, cest-à-dire, comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l’on considère [voyei l’Analyse algébrique, noten, i2. c théorème]. L’expression ( 4 ), avec laquelle cette moyenne coïncide, sera donc elle-même renfer-

28 COURS d’analyse.

mée entre les limites A— e, 5 -f-e; et, comme cette conclusion subsiste, quelque petit que soit le nombre e, on peut affirmer que l’expression ( 4 ) sera comprise entre A et B.

Corollaire. Si la fonction dérivée /'(x) est elle-même continue entre les limites x = x„, x=X, en passant d’une limite à l’autre, cette fonction variera de manière à rester toujours comprise entre les deux valeurs A et B, et à prendre successivement toutes les valeurs intermédiaires. Donc alors toute quantité moyenne entre A et B sera une valeur de/ (x) correspondante à une valeur de * renfermée entre les limites x„ et Xz=x,-h/i, ou, ce qui revient au même, à une valeur de x de la forme x„ -4- 6 h = x Q —t- 6 ( X x,, ) ,

« désignant un nombre inférieur à l’unité. En appliquant cette remarque à l'expression (4), on en conclura qu’il existe, entre les limites o et i, une valeur de 0 propre à vérifier l’équation

ou , ce qui revient au même, la suivante

(6) ü±±lLhzüXl =f'(x, + M).

Cette dernière formule devant subsister, quelle que soit la valeur de x représentée par x of pourvu que la fonction f[x) et sa dérivee/^ (x) restent continues entre les valeurs extrêmes x=x on

aura généralement , sous cette condition,

puis, en écrivant Ax au lieu de h, on en tirera (8) /(*-+- A*) —/(*) =f (x -h 6 A x) . A*.

Il est essentiel d’observer que, dans les équations (7) et (8) , 9 désigne toujours un nombre inconnu, mais inférieur à l’unité.

Exemples. En appliquant la formule (7) aux fonctions E(x), on trouve

£(«- 4 -ft)-£ (»L —I

— a [x H— ÔÆ) Û 1 ,