HUITIÈME LEÇON

Différentielles des Fonctions de plusieurs variables. Dérivées partielles et Différentielles partielles.

Soit u = f( x >y> Z •••) l,ne fonction de plusieurs variables indépendantes x, y, z ... Désignons par i une quantité infiniment petite, et par

les limites vers lesquelles convergent les rapports /(*■+• by>Z")—f( x *y>Z-) , f(*,y-*-hz~)-f(*,y,z-\ f(*,y,z-*-i~)-f(*,y,z~) &c

tandis que i s’approche indéfiniment de zéro. <p[x, y, 1 . . . ) sera la dérivée que l’on déduit de la fonction u =f( x,y y 1 . . . ), en y considérant x comme seule variable, ou , ce qu’on nomme la dérivée partielle de u par rapport à x. De même, % [x>y> Z • • • ) » 4 ' [ x »y> Z • • •) > Sec... seront les dérivées partielles de u par rapport aux variables y, £, &c...

Cela posé, concevons que l’on attribue aux variables x,y, z ... des accroissemens quelconques Ax, A y, A^ . .., et soit A u l’accroissement correspondant de la fonction u, en sorte qu’on ait

(1) Aaz=/(jf + A^ ; ; + A;, 2-H-A £,...)—/(x,y, £•••)’

Si l’on assigne à Ax, A y, A 2 . . . des valeurs finies h , k, l . . . , la valeur de Au, donnée par l’équation (1), deviendra ce qu’on appelle la différence finie de la fonction u, et sera ordinairement une quantité finie. Si au contraire, et désignant un rapport infiniment petit, l’on suppose

(2) A x = eth, Ay=ctk, A £ = et / , &c,...

la valeur de Au, savoir,

f(x-hcth, y-\~ctk, z-h-cel, . . .) — f{ x ,y, Z • • •)

sera ordinairement une quantité infiniment petite; mais alors, en divisant cette valeur par et, on obtiendra la fraction

Leçons de M, Cauchy. r

COURS d’analyse.

qui convergera en générai vers une limite finie différente de zéro. Cette limite est ce quon nomme ia différentielle totale ou simplement la différentielle de la fonction u . On l’indique, à laide de la lettre d, en écrivant du ou df[x, y, 1 ... ).

Ainsi, quel que soit le nombre des variables indépendantes que renferme la fonction u, sa différentielle se trouvera définie par la formule

(4) du = Um — .

Si l’on fait successivement u=x, u=y, &£•*•> on conclura

des équations (2) et (4)

(5) dx — h, dy — k, di = l, &c....

Par conséquent, les différentielles des variables indépendantes x, y, 7 ne sont autre chose que les constantes finies h, k, /...

On détermine facilement la différentielle totale de la fonction f{x,y f z ••♦)* lorsqu’on connaît ses dérivées partielles. En effet, si dans cette fonction on fait croître l’une après l’autre les variables a-, y, z ... de quantités quelconques A*, A y, Aç, on tirera de la formule (8) de la leçon précédente une suite d’équations de la forme

f(x+Ax.y, Z . Z . )=A*.p(x-t-8 ,Ax, y, z . ...),

f(x-*-Ax,y-)-Ay,i - )—/(x-t-Ax,y, Z . . .)=Ay.%(x-i-Ax,y+QAy, Z -).

/ (x+Ax,y+Ay,z-i-Ai. .)—/ (x-t-Ax, y^-Ay, Z . .)=A ,y-i-Ay, z +(j , A z . .),

& c . ;Ô,,Q 2 ,Ô 3 , désignant des nombres inconnus, mais tous

compris entre zéro et l’unité. En ajoutant ces mêmes équations membre à membre, on trouvera

(6) f(x-hAx,y -t-A y, ^..)i=zAv. (* -t-ô.A*,/, £..)

-t-A < y.^(^-t-Ax , ,^-f-ô 1 A < y, £...)-t-A£. ^(x-{-Ax,y-\-Ay, -+-&C.

Si, dans cette dernière formule, dont le premier membre peut être remplacé par A u, on pose Ax — cth, Ay — <tk, et s * l° n

divise en outre les deux membres par et, on obtiendra la suivante

cours d’analyse.

(7) = h.<p{x-\-b l cLh,y, Z ...) z.:.)

-f-/.^(A'-h-ct//, < y-4-ccÂ^H-ô J ct./...)-f-&c., de laquelle on conclura, en passant aux- limites, puis écrivant dx, dy , dz> au lieu de //, k, / ...,

(8) == <p (x,y, z- >')dx-\~x(x>y>Z' >-)dy-\r\(x,y>Z- • - )dz-+-&c. Exemples, d(x-hy-hz •. • )=-dx-+-dy-\-d £- 4 -..., d{x y)=zdx dy,

d[ax *+• Æjm-c £...) =w7</ x -+- bd y -*-cdz • -;d [xyz> • •) —'^ x ~^ x Z • • dy-+-xy .. </£-+-..,

dxx y l[x)dy, &c.

II est essentiel d’observer que, dans la valeur de donnée par l’équation (8), le terme $ (x,y, z--• )dx est précisément la différentielle qu’on obtiendrait pour la fonction u = f[x,y , £...) en considérant dans cette fonction x seule comme une quantité variable, et y, £... comme des quantités constantes. C’est pour cette raison que le terme dont il s’agit se nomme la différentielle partielle de la fonction u par rapport à a-. De même, 4 '(*> y» Z •••) d Z> sont les différentielles

partielles de u par rapport à y, par rapport à £, ... Si l’on indique ces différentielles partielles en plaçant au bas de la lettre d les variables auxquelles elles se rapportent, comme on le voit ici, d x u, d y u, d t u, . . . &c. ,

et l’équation (8) formes

pourra être présentée sous l’une ou l’autre des deux

du — d x u -+- d u -f- d, u -+- &c.,

du — —— d\

Pour abréger, on supprime ordinairement dans les équations (9) les lettres que nous avons placées au bas de la caractéristique d, et l’on représente simplement les dérivées partielles de u , prises relativement è x,y,

COURS d’analyse.

par les notations

du du du d x ’ dy 5 d^

Alors , n’est pas le quotient de par dx ; et, pour exprimer la

différentielle partielle de w, prise relativement à a-, il faut employer la notation —dx qui n’est point susceptible de réduction, à moins qu’on ne rétablisse la lettre a- au bas de la caractéristique d. Lorsqu’on admet ces conventions, la formule (11) se réduit à

(t 3 ) Jtt = ^Lj x+ jg- tl j+j£j z +& c...

Mais, comme il n’est plus permis d’effacer dans cette dernière les différentielles dx y dy, dz. . rien ne remplace la formule (io).

Les définitions et les formules, ci-dessus établies, s’étendent sans difficulté au cas où la fonction u devient imaginaire. Ainsi, par exemple, si l’on pose u — .v — \-y V — i > les dérivées partielles de u , et sa différentielle totale seront respectivement données par les équations

4^=1, - — Y —i , d u zzz dx-\- ]/—i dy.

Nous indiquerons, en finissant, un moyen fort simple de ramener le calcul des différentielles totales à celui des fonctions dérivées. Si dans l’expression /( x-}- et h, y-h a k, on considère <t comme

seule variable, et si l’on pose en conséquence

(1 4 ) /(x-Het/z, y-\-cnk, z~\-cl 1 . . .) = F(cl), on aura, non-seulement,

mais encore A u — F[du) — F( o), et par suite

(16) d u = îim ~ F ^° — — F' (o).

Ainsi, pour former la différentielle totale du t il suffira de calculer la valeur particulière que reçoit la fonction dérivée F 1 (et)> P our * = °*