NEUVIÈME LEÇON
Usage des Dérivées partielles dans la différenciation des Fonctions composées . Différentielles des Fonctions implicites .
Soit y — F(u. v, w ...) une fonction quelconque des quantités variables u, v, w ....que nous supposerons être elles-mêmes fonctions des variables indépendantes x, y, £ ... : s sera une fonction composée de ces dernières variables; et si l’on désigne par Ax, A y, A £ ... des accroissemens arbitraires simultanément attribués à x, y, £... , les accroissemens correspondans Au, Av, Aw, ... As des fonctions u, v, w, ...s seront liés entre eux par la formule
(1) A s = F(u-+-Au, v-h-Av, w-t-Aw, ...) — F(u,'v, w ...).
Soient d’ailleurs O (u, v, w ... ), X (u, v, w ... ), ^ ( u, v, w ...), .,. les dérivées partielles de fa fonction F[u, v, w . . .) prises successivement par rapport à u, v, w ... Comme l’équation ( 6 ) de la leçon précédente a lieu pour des valeurs quelconques des variables x, y, £... et de leurs accroissemens Ax, A y, A £ ...» on en conclura, en remplaçant x, y, Z. . . par u t v, w . . . , et la fonction f par la fonction F,
(2) F[u-*-Au, v+Av, w+Aw ,..) — F[u, v, w ..)=Au $ (//-+- ü x Au,v,w..) -*-AvX[u-*-Au, Av, w AWŸ(u-+-Au, v-hAv, w-t-Q 3 Aw.. ) -h &c.
Dans cette dernière équation, G,, 0 4 , G ? .... désignent toujours des nombres inconnus, mais inférieurs à l’unité. Si maintenant on pose Ax = dbh = ctdx, Ay=(tk = cLdy, A £ = ct/=: et e/£ » ..., et que l’on divise par et les deux membres de lequation (2), on en tirera
Aiv, w...) — -b-X(a-f-et//, v-t-Q x(t k,w...) —
v-f-ct k, TP-t-Q 3 et / ...)■—&c. ;
L(Ç9hs de M. Cauchy.
34 COURS d’analyse.
puis, en faisant converger cl vers ia limite zéro,
( 4 ) ds=$[u, v , w...)du-+-X(u, v -, w..)dv-+- < ï{ü, v, w..)dw- 4-&c.
La valeur de ds fournie par l'équation ( 4 ) est semblable à la valeur de du fournie par l'équation (8) de la leçon precedente. La principale différence consiste en ce que les différentielles dx, dy, di ... comprises dans la valeur de du sont des constantes arbitraires , tandis que les différentielles du, dv, dw ... comprises dans la valeur de ds sont de nouvelles fonctions des variables indépendantes x, y, £ ... combinées d’une certaine manière avec les constantes arbitraires' dx , dy , d £....
En appliquant la formule ( 4 ) à des cas particuliers, on trouvera d H-y-Hip..) =du-+-dv-*-dw .., d (i u-v) —du-dv, d[au-+-bv-+-cw ..) —adu-^-bdv-^-cdw .., d(tivw..)—vw..du+uw..dv-*~uv..dw -*-.., d l ' - h 'J du , du v =vu v ~ l du-hu v l[ti)dv .,
&c.. Nous avions déjà obtenu ces équations [ voye^ la 5* e leçon] en supposant u, v, w ... fonctions d’une seule variable indépendante x ; mais on voit qu’elles subsistent, quel que soit le nombre des variables indépendantes.
Dans le cas particulier où l’on suppose u fonction de la seule variable x, v fonction de 1a seule variable y, w fonction de la seule variable £... , on peut arriver directement à l’équation (4), en partant de la formule (io) de ia leçon précédente. En effet, en vertu de cette formule, on aura généralement (5) ds — d x s -+- d y s -f- d t s -1- &c.. . .
De plus, comme parmi les quantités u, v, w ... la première est, par hypothèse, la seule qui renferme la variable v, en considérant s comme une fonction de fonction de cette variable, et ayant égard à la formule (10) de ia 4- e leçon , on trouvera
d x s = d x F(u, v, w...) = $(u,v, w...)d x u = $(u, v, w--.)du.
On trouvera de même
d y s — X[u, y, w .. .)dv , d z s =: [u, r, w .. • ) dw , &c....
cours d'analyse. 3 S
Si ion substitue ces valeurs de d x s, d y s, d z s ... dans la formule (5), elle coïncidera évidemment avec l’équation (4).
Soit maintenant r une seconde fonction des variables indépendantes x, y t z... Si Ion a identiquement, c’est-à-dire, pour des valeurs quelconques de ces variables ,
on en conclura
(7) ds — dr.
Dans le cas particulier où la fonction r se réduit, soit à zéro, soit à une constante c, on trouve dvszzo\ et par suite, 1 équation
(8) s — o y ou s — c , entraîne la suivante
Les équations (7) et (9) sont du nombre de celles que ion nomme équations différentielles. La seconde peut être présentée sous la forme
(10) $(u,v, w ...)du-+-X(u, v, w ...)dv-h't(u, v, w,..) dw-h... = o ,
et subsiste dans le cas même où quelques-unes des quantités u, v, w ... se réduiraient à quelques-unes des variables indépendantes x, y, 1. . . Ainsi, par exemple, on trouvera,
en supposant F(x,v) = o, $(x, v) dx-t-X(x, v )dv = o ; en supposant F(x,y, ir) = o, $ (a*, y, w) dx+X(x,y t w)dy (x,y, w)dw =o ;
&c. Dans ces dernières équations , v est évidemment une fonction implicite de la variable x, w une fonction implicite des variables x, y; & c...
De même, si l’on admet que les variables x,y, £..., cessant d’être indépendantes , soient liées entre elles par une équation de la forme
(ti) f ( x > y > Z -• •) = o ,
alors, en faisant usage des notations adoptées dans la leçon précédente, on obtiendra lequation différentielle
(12) z-)Jz-+--=o,
au moyen de laquelle on pourra déterminer la différentielle de l’une des
variables considérée comme fonction implicite de toutes les autres. Ainsi, par exemple, on trouvera,
en supposant x z -f- y z = a z , xdx-\-ydy — o, dy ——*-dx ;
en supposant y z — .y* = a z , y dy — x dx — o , dy zzz *-dx ;
en supposant x'-i-y'-h ^ — a x , xdx-*-ydy-ï~zdz= o , d%~ — ^ dx —^ dy.
Comme on aura d’ailleurs, dans le premier cas, y z=z ± Va z -x z , et dans le second, y=.±Va z -\-x z , on conclura des formules précédentes
V X 2 V fl ■+■ *
ce qu’il est aisé de vérifier directement.
Lorsqu’on désigne par u la fonction f(x t y, £...), les équations (i i) et (12) peuvent s’écrire simplement comme il suit, u — o, du — o.
Si les variables x,y, £..., au lieu d’être assujetties à une seule équation de la forme u=o , étaient liées entre elles par deux équations de cette espèce, telles que
(14) u— ro, v —o,
alors on aurait en même temps les deux équations différentielles
( 15 ) du = o, dv = o,
à l’aide desquelles on pourrait déterminer les différentielles de deux variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.
En général, si /; variables x, y, % .... sont liées entre elles par m équations , telles que
alors on aura en même temps les m équations différentielles
(17) du = o, dv = o , dw = o , &c...,
à l’aide desquelles on pourra déterminer les différentielles de m variables considérées comme fonctions implicites de toutes les autres.
COURS d’analyse.
