DIXIÈME LEÇON
Théorème des Fonctions homogènes . Maxima et miniina des Fonctions de plusieurs variables.
On dit qu’une fonction de plusieurs variables est homogène , Iorsqu’en faisant croître ou décroître toutes les variables dans un rapport donné, on obtient pour résultat la valeur primitive de la fonction multipliée par une puissance de ce rapport. L’exposant de cette puissance est le degré de la fonction homogène. En conséquence, f (x,y, £... ) sera une fonction de x, y, i... homogène et du degré a, si, t désignant une nouvelle variable , on a, quel que soit t,
(t) f(tx, ty, t Z ...) — t a f(x,y, Z . . .J.
Cela posé, le théorème des fonctions homogènes peut s’énoncer comme il suit.
Théorème. Si l'on multiplie les dérivées partielles d'une fonction homogène du degré a par les variables auxquelles elles se rapportent, la somme des produits ainsi formés sera équivalente à celui qu'on obtiendrait en multipliant par a la fonction elle-même.
Démonstration. Soient u =f (x, y, z . . . ) la fonction donnée , et Q (x, y, x( x >y> Z"') > 4 ’( x >y> Z"') » ses dérivées partielles
par rapport à x-, à y, à z> &c.... Si l’on différencie les deux membres de l’équation (i), en y considérant t seule comme variable, on trouvera P(tx,ty,tz..)xdt-h’)( j (tx J ty,tz.,)ydt+.\,(tx,ty,tz..) £dt-+-..=at a ~' f (x,y,z..)dt;
puis, en divisant par dt , et posant t — i ,
( 2 ) x(p(x,y, Z ..)-^y X (x,y, z ..)- hZ -\'(x,y, Z ..)-h.. = af{x,y, Z ...),
OU, ce qui revient au même,
/v du du du
( 3 ) x — +-y-jy+Z-7^-+- ■■■ = au -
Corollaire. Pour une fonction homogène d’un degré nul, on aura
du du du
dy
Exemples . Appliquer le théorème aux fonctions Ax'-y-Bxy+Cy' et
Leçons de AL Cauchy.
38 COURS d’analyse.
Lorsqu’une fonction réelle de plusieurs variables indépendantes *, y, 1 ... atteint une valeur particulière qui surpasse toutes les valeurs voisines, c’est-à-dire, toutes celles qu’on obtiendrait, en faisant varier y, 1 ... en plus ou en moins de quantités très-petites ; cette valeur particulière de la fonction est ce qu’on appelle un maximum .
Lorsqu’une valeur particulière d’une fonction réelle de x, y, £ ... est inférieure à toutes les valeurs voisines, elle prend le nom de minimum.
La recherche des maximaux mini ma des fonctions de plusieurs variables se ramène facilement à la recherche des maxima et minima des fonctions d’une seule variable. Supposons, en effet, que u=f(x,y,z...) devienne un maximum pour certaines valeurs particulières attribuées à x, y, £ . . . On aura, pour ces valeurs particulières, et pour de très-petites valeurs numériques de cl ,
(5) f(x-*-«.h, y-*-itk, £-+-«./, ...) <f(x,y,z ...),
quelles que soient d’ailleurs les constantes finies h, k, l .pourvu
quelles aient été choisies de manière à ce que le premier membre de la formule (5) reste réel. Or, si l’on fait, pour abréger,
( 6 ) /(x-[-cl/i , y-\-duk, z~{-clI, ...) =z= F(cl) , la formule (5) se trouvera réduite à la suivante
Celle-ci devant subsister, quel que soit le signe de et, il en résulte que, si cl seule varie, F (a), considérée comme fonction de cette unique variable, deviendra toujours un maximum pour cl=z:o.
On reconnaîtra de même que, si f(x t y, Z-..) devient un minimum pour certaines valeurs particulières attribuées à x,y, . , la valeur correspondante de F (cl) sera toujours un minimum pour cl = o.
Observons maintenant que, si les deux fonctions F (cl) , F' (cl) sont l’une et l’autre continues par rapport à et, dans le voisinage de la valeur particulière ct=^o, cette valeur ne pourra fournir un maximum ou un minimum de la première fonction , qu’autant quelle fera évanouir la seconde [voyei 6* c leçon], c’est-à-dire, qu’autant que Ion aura
D’ailleurs, lorsqu’on écrit dx, dy, d %... au lieu de h, k, / iequation (8) prend la forme (9) d u zzz o ,
[voyez ta 8. e leçon]. De plus, comme les fonctions F(&) et F'(c t) sont ce que deviennent u et du, quand on y remplace x par x-\-<lIi, y par y-\-cLk, z par . . . , il est clair que, si ces deux fonctions sont
discontinues par rapport à et, dans le voisinage de la valeur particulière et—o, les deux expressions u et du, considérées comme fonctions des variables x,y, ç... seront discontinues par rapport à ces variables dans le voisinage des valeurs particulières qui leur sont attribuées. En rapprochant ces remarques de ce qui a été dit plus haut, nous devons conclure que les seules valeurs de x, y, z .. . propres à fournir des maxima
ou des mi ni ma de la fonction u, sont celles qui rendent les fonctions u et du discontinues, ou bien encore celles qui vérifient l’équation (9), quelles que soient les constantes finies dx, dy, dz • • . Ces principes étant admis, il sera facile de résoudre la question suivante.
Problème. Trouver les maxima et minima d’une fonction de plusieurs variables.
Solution. Soit u=f (x, y, z •••) la fonction proposée. On cherchera d’abord les valeurs de x,y ,£... qui rendent la fonction u ou du discontinue,* et parmi lesquelles on doit compter celles que l’on déduit de la formule (10) du = ± 00.
On cherchera, en second lieu, les valeurs de x, y, z • . . qui vérifient l’équation (9), quelles que soient les constantes finies dx, dy, dz . . .. Cette équation, pouvant être mise sous la forme
(") -ïr dx -*--T7 d y+--TT d l-* -
du o
-zzzo, ——== o , &c.
entraîne évidemment les suivantes
, x du du
M —=°> ~ry
dont on obtient la première en posant dx — 1 , dy^no , dz~ o ...; la seconde en posant dx — o, dy — 1, dz= o ... ; &c.... Remarquons en passant que, le nombre des équations (12) étant égal à celui des inconnues x, y, Z ••• » on n en déduira ordinairement pour ces inconnues qu’un nombre limité de valeurs.
Concevons à présent que l’on considère en particulier un des systèmes de valeurs que les précédentes recherches fournissent pour les variables v, y, , et désignons par x ot y 0 , £«,... les valeurs dont il se compose. La valeur correspondante de la fonction f(x,y,Z")> savoir, f(x 0t y 0 , sera un maximum, si pour de très-petites valeurs numériques de ce, et pour des valeurs quelconques de h, k, l ... la différence ( 1 3 ) f(x 0 A-<th f y o Arctk, Zo-h et l ...J — f(x ot y Q , Zo •••)
est contamment négative. Au contrair e t f (x ot y Q ,Zo->) sera un minimum, si cette différence est constamment positive. Enfin, si cette différence passe du positif au négatif, tandis que l’on change ou le signe de et, ou les valeurs de h, k, l, f(x OJ y ot £ 0 ...) ne sera plus ni un maximum ni un minimum.
Exemple. La fonction Ax 1 -\-Bxy-+- Cy z -\-Dx -\-Ey-+-F admet un maximum ou un minimum , lorsqu’on a B z — \AC<o, et n’en admet plus, lorsqu’on a B z — \AC>o.
Nota. La nature de la fonction u peut être telle, qu’à une infinité de systèmes différens de valeurs attribuées à x, y, z ••• correspondent des valeurs de u égales entre elles , mais supérieures ou- inférieures à toutes les valeurs voisines, et dont chacune soit en conséquence une sorte de maximum ou de minimum. Lorsque cette circonstance a lieu pour des systèmes dans le voisinage desquels les fonctions u et du restent continues, ces systèmes vérifient certainement les équations (i 2). Ces équations peuvent donc quelquefois admettre une infinité de solutions. C’est ce qui arrive toujours quand elles se déduisent en partie les unes des autres.
Exemple. Si l’on prend u = (cy— bz-\-l) % -\-(ai—cx-\-m)*-+-(bx-—ay-\-n) t - t les équations (12) donneront seulement
cy — b z —H l az — a+m bx — a y n
et la fonction u admettra une infinité de valeurs égales à
(al- J rbm-±-cn) x a* -t- b'- r ’
dont chacune pourra être considérée comme un minimum.
COURS d’analyse.
