ONZIÈME LEÇON
Usage des Facteurs indéterminés dans la recherche des maxima ttminima. Soit
une fonction de n variables x, y, £... Mais concevons que ces variables/ au lieu d’être indépendantes les unes des autres, comme on fa supposé dans la io. c leçon, soient liées entre elles par m équations de la forme
Pour déduire de la méthode que nous avons indiquée, les maxima et les mitiima de la fonction u, il faudrait commencer par éliminer de cette fonction m variables différentes à l’aide des formules (2). Après cette élimination, les variables qui resteraient, au nombre de n — m, devraient être considérées comme indépendantes; et il faudrait chercher les systèmes de valeurs de ces variables qui rendraient la fonction u ou la fonction da discontinue, ou bien encore ceux qui vérifieraient, quelles que fussent les différentielles de ces mêmes variables, l’équation
(3) du — o.
Or, la recherche des maxima et minima qui correspondent à i’équation (3) peut être simplifiée par les considérations suivantes.
Si fon différencie la fonction u, en y conservant toutes les variables données x, y, i .,, l’équation (3) se présentera sous la forme
( 4 ) 77 dx+~^dy+d^dz~h • . =0 ,
et renfermera les n différentielles dx, dy, d £... Mais il importe dobserver que, parmi ces différentielles, les seules dont on pourra disposer arbitrairement seront celles des n — m variables regardées comme indépendantes. Les autres différentielles se trouveront déterminées en fonction des premières et des variables elles-mêmes par les formules dvz=. o , d w hzî o, >tt q U j t lorsqu’on les développe, deviennent respectivement
Leçons dt M. Cauchy. f'
COURS d’analyse.
, , dv , , dv ,, dv , , <t<r — d7-\-..= o,8tc.
Cela posé, puisque i’équation ( 4 ) doit être verifiee , quelles que soient les différentielles des variables indépendantes, il est clair que, si Ion élimine de cette équation un nombre m de différentielles à l’aide des formules (5), les coefficiens des n — m différentielles restantes devront être séparément égalés à zéro. Or, pour effectuer l’élimination, il suffit d’ajouter à l’équation (4) l es formules (5) multipliées par des facteurs indéterminés, — A, — /*, — &c..;., et de choisir ces facteurs de manière à faire disparaître dans i’équation résultante les coefficiens de m différentielles successives-. Gomme d’ailleurs i équation résultante sera de la forme
et qu’après y avoir fait disparaître les coefficiens de m différentielles, il faudra encore égaler à zéro ceux des différentielles restantes ; il est permis de conclure quelles valeurs de À, tirées de quelques-unes des formules
1 J . J.. ri fxr . «
du
d XV
du dv
— Ur-
devront satisfaire à toutes les autres. Par conséquent, les valeurs de x,y, z ... propres à vérifier les formules (4) et (5) devront satisfaire aux équations de condition que fournit i élimination des indéterminées A, / a, v ... entre les formules (7). Le nombre de ces équatioins de condition sera ti — m. En les réunissant aux formules (2), on obtiendra en tout ;/ équations, desquelles on déduira pour les variables données x,y, Z • ■ • plusieurs systèmes de valeurs, parmi lesquels- se trouveront nécessairement ceux qui, sans rendre discontinue lune des fonctions u et du, fourniront pour la première des nuixinid ou des minitna,
II est bon de remarquer que les équations de condition produites par l’élimination de A, /a, v . . . entre les formules (7) ne seraient altéiées en aucune manière, si l’on échangeait dans ces formules la fonction u contre une des fonctions v, » ... Par suite, on arriverait toujours aux mêmes équations de condition, si, au lieu de chercher les maxima et
cours d’analyse. 43
minima de la fonction ü, en supposant vzro, w m o, .~T. , on cherchait les tnaxima et minima de la fonction v, en supposant u = o , ...» ou bien ceux de la fonction w , en supposant «=o, V=Q t ... ; Sic. On pourrait même, sans altérer les équations de condition, remplacer les fonctions u, v, w ... par les suivantes, «—* a,
v w Cf & e . f . a,h,c ... désignant des constantes arbitraires.
Dans le cas particulier où l’on veut obtenir les maxima ou les minima de la fonction u, en supposant x,y, z ... assujetties à une seule équation (8) v=±! 0 ,
les formules (7) deviennent du
~dï
, v du . dv :
. dv
dy A dy ° ’
du
— A -t— =o , Sic ... ;
et l’on (10)
en conclut, par l’élimination de A,
(tt)
\ dy )
( dv \ \ dx J
f dy }
\ 'dy ,
Cette dernière formule équivaut à //— 1 équations distinctes, lesquelles, réunies à l’équation (8), détermineront les valeurs cherchées de x,y, z ...
i. er Exemple. Supposons que, a, b, c .. . r désignant des quantités constantes, et x, y, z • • • des variables assujetties a 1 équation
=r\ ou x l -hy'-\-z-h... — r 1 =z°, on demande le maximum et le minimum de la fonction « = +
Dans cette hypothèse , la formule (10) se trouvant réduite à
on en conclura [voyez î Analyse algébrique, note ÏI]
ax-\-by-+-C7-+-... , ✓ w __^(<2-4-i -W-H.. )
