OU — —- Z2Z

et par conséquent ,

Pour s’assurer que les deux valeurs de u données par l’équation (12) sont un maximum et un minimum , il suffit d’observer qu’on aura toujours

44 COURS d’analyse.

C (ax-A-by-\-c £- 4 -.. .) z -h(h x — ay) x -\-(çx — az) 3, Ar.7M-(cy — 6%)*- H. A

= fa*-\-b* -l-c*-*-...) (x* -b-y 2 -hz* —) >

et par suite u* < (à 1 -h b'-hc 1 )r x , à moins que les vaieurs de x, y, Z . .. ne vérifient la formule (i i).

2. e Exemple. Supposons que, a, b, c .... k désignant des quantités constantes, et x,y, z • • • des variables assujetties à l’équation ax by ci~\~ . . . = k ,

on cherche le minimum de la fonction s — \~z 2 -h... Dans cette hypothèse, on obtiendra encore la formule (i i), de laquelle on conclura

-, et par suite k 1

Si les variables ..., se réduisent à trois et désignent des coordonnées rectangulaires, la valeur de }/u, donnée par l’équation (i4)» représentera évidemment la plus courte distance de l’origine à un plan fixe.

j. e Exemple. Concevons que l’on cherche les demi-axes d’une ellipse ou d’une hyperbole rapportée à son centre et représentée par l’équation A x* -h 2 B xy-h- Cy x = K.

Chacun de ces demi-axes sera un maximum ou un minimum du rayon vecteur r, mené de l’origine à la courbe, et déterminé par la formule r z — y*-j-v*. Cela posé, comme on aura drz=i-K-(xdx-\-ydy), on nç pourra faire évanouir dr qu’en supposant r — oo ou xdx-hydy = o. La première hypothèse ne peut être admise que pour une hyperbole. En admettant la seconde, on tirera de la formule (io)

Ax-\-By ~ Cy-+-Bx “ x(Ax-^By)-*-y(Cy-i-Bx) ~~ K ’ r 1 x 9 r 1 y 9

Observons maintenant qu’à des valeurs réelles de r correspondront toujours des valeurs positives de r x , et que l’équation (15) fournira, pour r z , deux valeurs positives, si l’on a AK >0, A C — B z > o ; une seule, si l’on a A C—B'< o. Effectivement, la courbe , étant une ellipse dans le premier cas, aura deux axes réels ; tandis que, dans le second cas, elle se changera en hyperbole, et n’aura plus qu’un seul axe réel.

COURS d’analyse.