DOUZIÈME LEÇON

Différentielles et Dérivées des divers ordres pour les Fonctions d’une seule variable. Changement de la Variable indépendante.

Comme les fonctions d’une seule variable x ont ordinairement P our dérivées d’autres fonctions de cette variable, il est clair que d une fonction donnée 7 —f(x) on pourra déduire en général une multitude de fonctions nouvelles dont chacune sera ia dérivée de la précédente. Ces fonctions nouvelles sont ce qu’on nomme les dérivées des divers ordres de y ou f(x), et on les indique à l’aide des notations

/, f. y"> y IV > / .

ou f(*), f (x), f iv (xj, r (x), . . . f <*(*).

Cela posé, / ou f(x) sera la dérivée du premier ordre de la fonction propos ée y =f(x); y" ou f"(x) sera la dérivée du second ordre de/, et en même temps la dérivée du premier ordre de /'; &c... ; enfin y n) ou f (n) (x) \ti désignant un nombre entier quelconque] sera ia derivee de l’ordre n de y, et en même temps la dérivée du premier ordre de / (

Soit maintenant dx=h la différentielle de la variable * supposée

indépendante. On aura, d’apres ce quon vient de dire,

(■) z=^-> j —-JF' y —

dy ("-*) dx ~ ’

ou, ce qui revient au même,

(a) dy=/.h, d/=/.h, d/=/".h, ... =/"-'>■ h-

De plus, comme ia différentielle d’une fonction de la variable * est une autre fonction de cette variable, rien nempeche de ditféiencier y plu sieurs fois de suite. On obtiendra de cette manière les différentielles des divers ordres de la fonction /, savoir :

dy—yh=ydx, ddy=f,.dy=y"h'=zy"dx\ dddy=h'dy'=y" , F=y , "dx\ &c.. Pour abréger, on écrit simplement d*y au lieu de ddy, d'y au lieu de dddy, &c. ; en sorte que la différentielle du premier ordre est repré-

Leçons de M. Cauchy. L

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sentée par dy, là différentielle du second ordre par d*y, celle du troisième ordre par d 3 y, Sic ., et généralement la différentielle de l’ordre n par d y. Ces conventions étant admises, on aura évidemment

(3) dy~y'dx, d\y=y"dx z , d 3 y—ÿ"dx ^, d*y=y ,v dx* t ...d n y~y (n) dx n , et par suite

Il résulté de la dernière des formules (3) que la dérivée de 1 ordre n, savoir, y (h) , est précisément le coefficient par lequel il faut multiplier la n. me puissance de la constante h=^dx pour obtenir la différentielle de l’ordre C’est pour cette raison que y <n) est quelquefois appelée le coefficient différentiel de l'ordre n.

Les méthodes par lesquelles on détermine les différentielles et les dérivées du premier ordre pour les' fonctions d’une seule variable, servent également à calculer leurs différentielles et leurs dérivées des ordres supérieurs, Les calculs de cette espèce s’effectuent très -facilement, ainsi qu’on va le montrer par des exemples.

Soit d’abord y~— sin x. Comme, en désignant par a une quantité constante, on a généralement ds\x\(x-t-a)= co&(x-*-a)d(x-+-a)z=zsin(x-wi-+"{' 7 r)dx, on en conclura

ds\nx=sm[x+'- 7 r)dx ,dsm{x^vc\=sin[x+rt)dx y dûn{x+rt)^ût\{x+-\'ft)dx

et par suite on trouvera

pour 7=si n x, y — s i n (x-»-^ 7 r) , /=si n (x-t -7 r) ,/"=sï n (x-t- j7r),. y * 4 =si n (x-h^tt ). En opérant de même, on trouvera encore

pour < y=cosx,y=cos(x-f-^ 7 r),y'=cos(x-H'?r)y // =:cos(x-v-^ 7 r),. y n; =rcoô(x-+-^7r)î poury=A*, y=A x fJA), y—A x (lA)\ y"=A x (lA)\ .../ n) =A x (lÀ) n ; pour y—x a f y=-ax a ~ 1 , y"= a (a— 1 )x a ~ z ,.. y {n) —a(n— 1 )(a—i)..(a—n+ i)x a ~\ Il est essentiel d’observer que chacune des expressions sin (x - 4 - \ nr 7 c), cos (x-\-- z ti' 7 c), admet seulement quatre valeurs distinctes qui se reproduisent périodiquement et toujours dans le même ordre. Ces quatre valeurs, dont on obtient la première, la seconde, la troisième ou la quatrième , suivant que le nombre entier n, divisé par 4 > donne pour reste

cours d’analyse. 47

o, I, 2 ou 3, sont respectivement sinx, cos x, —sinx, — cos * ' pour l'expression sinfx-4 -{me), et cosx, — sinx, — cosx, sin x, pour lexpression C os (x -f- \n*rc). De plus, si, dans les fonctions A x , x*, on remplace la lettre A par le nombre e qui sert de base aux logarithmes Népériens, et la quantité a par le nombre entier n , on reconnaîtra que les dérivées successives de e x sont toutes égaies a e , tandis que, pour la fonction x *, la dérivée de 1 ordre n se réduit â la quantité constante 1.2.3 ... n> et * es suivantes à tèto.

En substituant les différentielles aux dérivées, on tirera des formules que nous venons d'établir

d n smx=zsïï\(x-*-'-n'K)dx v , d n cosx= cos (x+'-n' 7 c)dx n , d n A x = A X (lA) n dx n , d n e x = e x dx n , d n (x a )=a(fi—i).'.{a—ii-t-i)x a -*dx n , d n (x 1 t )=zU2..^...n .dx n ,

d"l{ X J = dx.d'- ld±j±=!l dx", & C .

Considérons encore les deux fonctions f(xAra) et f(ax). On trouvera pour yi^{x+a) f ÿ^Xx+ù),ÿ'^f\x-*-a )>• [x^d),d n y==f ( J {x-\-d)dx ,

pour [dx), <t t y=â n f° i \ax)dx n .

Exemples. d n (x^a^=i. 2 .^..m.dx n , d n e ax = a e ax dx\,d n sïnax = &c... Soient maintenant y—f (x) et Z deux fonctions de x liées par i équation

En différenciant cette équation plusieurs fois de suite, on trouvera

(6) d z =F'(y)dy é d' z ^F"(y)df+F'(y)d'y, d\=F'"(y)df+iF" (y)dyd'y

Exemples . d n (d-+-yj=d n y> d n (—y)——d n y, d n (ay)—ad n y 3 d n (ax n )=^ 1.2.3. ' nM ^ x * de^^e^dy , À % t’(dy *&}) , &t> (dy % -4- $dy d'-y + d>y), &c'.

Si la variable x cessait d’être indépendante, 1 équation

étant différenciée plusieurs fois de suite , donnerait naissance à de nouvelles formules parfaitement semblables aux équations (6), savoir :

(8) dy=f(x)dx> d i y*=f l (x)dx+f'(x)d z x, d'y^f'"(x)dx^f"{x)dxd'x

On tire de celles-ci

COURS d’analyse.

dxfdxdiy—dydix )— 3 d 2 x(dxd 2 y—dyd 2 x)

dxf

1 j / dxd 2 y — dyd*x

Pour revenir au cas où x est variable indépendante, il suffirait de supposer la différentielle dx constante, et par suite d i xz=z o, d 3 x = o, &c. Alors les formules (9) deviendraient

dx 5

c’est-à-dire quelles se réduiraient aux équations ( 4 ). De ces dernières, comparées aux équations (9), il résulte que, si l’on exprime les dérivées successives de f (x) à l’aide des différentielles des variables x et y=f (x), i.° dans le cas où la variable x est supposée indépendante, 2. 0 dans le cas où elle cesse de l’être, la dérivée du premier ordre sera la seule dont l’expression reste la même dans les deux hypothèses. Ajoutons que, pour passer du premier cas au second, il faudra remplacer

d 2 y dxd 2 y — dyd 2 x ■ d y y dx(dx<Py — dyd l x )—3 d*x(dxd*y — dyd 2 x ) n

:ï,~ P ar — 77 >— ’ ~d P ar - j x \ 1 ~ » &c --

C’est par des substitutions de cette nature qu’on peut opérer un changement de variable indépendante .

Parmi les fonctions composées d’une seule variable, il en est dont les différentielles successives se présentent sous une forme très-simple. Concevons, par exemple, que l’on désigne par u, v, w .... diverses fonctions de x. En différenciant n fois chacune des fonctions composées u-hv, u — v, u- f-vp/—i , au-\-bv-\-cw —|—..., on trouvera (11) d n (u^-v)—d n u^-d n v ) d n (u—v)=d n u—d n v, d n (u-hr/^\)=d n u+d n vV^ï, (1-2) d n (au-t-bv-hcw-\~. . .) — ad n u-{-bd n v-\-cd n w-h. . .

Il suit de la formule (12) que la différentielle d n y de la fonction entière y =z ax m -+- bx m ~ l -1- cx m ~ z -+- . . , -\-px z -f- qx -+- r se réduit, pour n—m, à la quantité constante 1 .2.^^»nuadx m t et pour n > tti, & zéro.

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