TREIZIÈME LEÇON

Différentielles des divers ordres pour les Fonctions de plusieurs variables .

Soit w=.f(x,y, %•••) une fonction de plusieurs variables indépendantes x, y, g... Si l’on différencie cette fonction plusieurs fois de suite, soit par rapport à toutes les variables , soit par rapport a 1 une d elles seulement, on obtiendra plusieurs fonctions nouvelles dont chacune sera la dérivée totale ou partielle de la précédente. On pourrait même concevoir que les différenciations successives se rapportent tantôt à une variable, tantôt à une autre. Dans tous les cas, le résultat d’une, de deux, de trois, ... différenciations, successivement effectuées , est ce qu on appelle une différentielle totale ou partielle , du premier , du second, du troisième ... ordre. Ainsi, par exemple, en différenciant plusieurs fois de suite par rapport à toutes les variables, on formera les différentielles totales du, ddu , dddu ... que l’on désigne , pour abréger, par les notations du , d z u , d* u , ... Au contraire, en différenciant plusieurs fois de suite par rapport à la variable x, on formera les différentielles partielles d x u, d x d x u > d x d x d x u ,... que l’on désigne par les notations d x u, d x u, d x >u.., En générai, si n est un nombre entier quelconque, la différentielle totale de l’ordre n sera représentée par d”u, et la différentielle du même ordre relative à une seule des variables x,y, %.. par d x ”u, d”u, dfu, &c. Si l’on différenciait deux ou plusieurs fois de suite par rapport à deux ou à plusieurs variables, on obtiendrait les différentielles partielles du second ordre ou des ordres supérieurs désignées par les notations d x d y u, d y d x u, d x d z u ,... d x d y d z u, ... Or, il est facile de voir que les différentielles de cette espèce conservent les mêmes valeurs quand on intervertit l’ordre suivant lequel les différenciations relatives aux diverses variables doivent être effectuées. On aura, par exemple,

T’est effectivement ce que l’on peut démontrer comme il suit.

Leçons de M. Cauchy. M

jO COURS D’ANALYSE.

Concevons que Ton indique par ia lettre placée au bas de la caractéristique A, l’accroissement que reçoit une fonction de x,y, £.. lorsqu on fait croître x seule d’une quantité infiniment petite cl dx. On trouvera

(2) A x u=f(x-t-a,Jx,y,z---)—/(*'?> I d * ü = îim -“T"’

(3) A x d y u = d y (u-+-A x u) — d y a = d y A x u, et par suite

puis, en faisant converger et vers zéro, et ayant égard a la seconde des formules (2), on obtiendra i’équation (1). On établirait de ia meme manière les équations identiques d x d z u = d z d x u , d y d z u = d z d y u , &c.

Exemple. Si i’on pose u z=. arc tang -y- > on trouvera // a ~ A y r d y u= x2 dy , d y d x u=d x d y u —

717 dx dy.

L’équation (1) étant une fois démontrée, iï en résulte que, dans une expression de la forme d x d y d l ..u , il est toujours permis d échanger entre elles ies variables auxquelles se rapportent deux différenciations consécutives. Or, il est clair qu’à l’aide d’un ou de plusieurs échanges de cette espèce, 011 pourra intervertir de toutes les manières possibles l’ordre des différenciations. Ainsi, par exemple, pour déduire la différentielle d z d y d x u de la différentielle d x d y d 7 u, il suffira d’amener d’abord par deux échanges consécutifs la lettre x à la place de ia lettre 1, puis d’échanger ensuite les lettres y et afin de ramener la lettre y à ia seconde place. O11 peut donc affirmer qu’une différentielle de la forme d x d y d % .. u a une valeur indépendante de l’ordre suivant lequel sont effectuées les différenciations relatives aux diverses variables. Cette proposition subsiste

dans le cas même où plusieurs différenciations se rapportent à i une des variables, comme il arrive pour les différentielles d x d y d x ii, d x d y d x d x u , &c. Lorsque cette circonstance se présente, et que deux ou plusieurs différenciations consécutives sont relatives à la variable x, on écrit, pour abréger, d l x au lieu de d x d x , d* K au lieu de d x d x d x > &c. Cela pose, on aura d, 2, x d y U — d x d y d x u zz; d y d* x u, dd y d z u nzi d x d y d x d z d x u — d y d x d z ii~ m&c... d\d\ü = d\d\u, d x d%d\u — d x d\d z y u = d z y d x d\u = &c-

et généralement, l, m, n ... étant des nombres entiers quelconques,

( 4 ) d l x d n ,d\..u=zd l .d\d m ,..u = d m ,d l x d\..u = 8ic...

Comme , en différenciant une fonction des variables indépendantes x, y, par rapport à l’une d’elles, on obtient pour résultat une

nouvelle fonction de ces variables multipliée par la constante finie dx, ou dy, ou d Z .~, et que, dans la différenciation d’un produit, les facteurs constans passent toujours en dehors de la caractéristique d; il il est clair que, si l’on effectue l’une après l’autre, sur la fonction u—f{x, y, £...), / différenciations relatives à m différenciations relatives à y, n différenciations relatives à la différentielle qui résultera de ces diverses opérations, savoir , d l x d m y d\... u, sera le produit d’une nouvelle fonction de x, y, Z • •• P ar Ies facteurs dx, dy,d z • • • élevés, le premier à la puissance /, le second à la puissance m , le troisième à la puissance «... La nouvelle fonction dont il s agit ici, est ce qu’on nomme une dérivée partielle de u , de Y ordre /+« + « + ••• Si on la désigne par & (x, y, Z •••)> on aura

( 5 ) d l J%d\...u~'Gr{x,y,z...)dx l dy m dz n ---, et par suite

Il est facile d’exprimer les différentielles totales d l u, d^u ... à l’aide des différentielles partielles de la fonction u, ou de ses dérivées partielles. En effet, on tire de la formule (io) [8. c leçon]

d 1 u zz: ddu z= d x du H- dydu -h d z du H- . .. =zd x [d x u-t-d y u+d l u.'.)-+-d y (d x u-*-d y u+d l u .,,)-*-d l (d x u-*rd f ü-+*d l a .:),

et par suite

( 7 ) d x u=:d t x ü+d t y ü+d\u+...+zd x d y ü-+zd ll d l ü ...+ 2 d,d t u +..., ou, ce qui revient au même,

On obtiendrait avec la même facilité les valeurs de d}u, ddu, ...

Exemples. dd(xyù-=.î{xdydi-\rydidx-ï-idxdy), d'(xy Z )=6dxdydz, d‘(x*+y'-t- Z t ...\=2(dx 1 +dy % +dz 1 ..),d'(x’+y'+-zh.)=6{dx'-*-dy'-'rdï > ...),&c.

52 COURS d’analyse.

Pour abréger, on supprime ordinairement dans les équations ( 6 ), (8), &c., les lettres que nous avons écrites au bas de la caractéristique d, et l’on remplace le second membre de la formule (d) par la notation

. Jl + m + n. . . u

'9* dx‘ dy m d? ...

Alors les dérivées partielles du second ordre se trouvent représentées par 5 » t— • • 4 ~T ’ T~T • • T~T • ; » ^ es dérivées partielles du troisième

dx 2 dy 2 d ^ 2 dxdy dxdi dydi r

ordre, par d j—^ 9 7 vJ ~â •••» 5 et ta valeur de se réduit à

(io)

dx 2 dxdy 2

d 2 u i z (Pu

d 3 u , z d 3 u . x d 1 u . z (Pu j. cP u . . d 2 u , ,

Mais il n’est plus permis d’effacer, dans cette valeur, les différentielles

dx, dy, d^..., attendu que -jyyr 9

< dy

ne désignent pas les quo-

tiens quon obtiendrait en divisant d~u par dx z , ou par dxdy ,...

Si, au lieu delà fonction u—f[x,y , £...), on considérait la suivante (ii) s = F(u, v, w ...),

les quantités u, v , w'... étant elles-mêmes des fonctions quelconques des variables indépendantes x, y, les valeurs de d z s, d ) s.. se déduiraient sans peine des principes établis dans la neuvième leçon. Effectivement, en différenciant plusieurs fois la formule (i i), on trouverait

, dF (u,v,w...) j , dF (u,v,w...) . dF (u,v,w..) , «

ds = - L r u — du-\ -rfT- 2 *- 1 --*-&<•••

.-H 2-3—7- -dudv+..~

du dv

dP(u,v,w...) du

d'u-t-ütc.

(12) ds ^ F (y >p l du 2 .

du ‘

Exemples. d n (u-*-v)=d n u-*-d n v, d p [u -v)—d n u-d n v, d n [u->rvY-\)—d n u^~V~d n v, d n [au -i-bv-*- cw + ...) = a d n u + bd n v-h c ip-+- ...

On obtiendrait encore avec la plus grande facilité les différentielles des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes. Il suffirait de différencier une ou plusieurs fois de suite les équations qui détermineraient ces mêmes fonctions, en considérant comme constantes les différentielles des variables indépendantes, et les autres différentielles comme de nouvelles fonctions de ces variables.

cours d’analyse.