QUATORZIEME LEÇON

Méthodes propres à simplifier la recherche des Différentielles totales, pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes. Valeurs symboliques de ces Différentielles .

Soit toujours u=f{x,y, fr..) uue fonction de P Ius5eurs vanabI ^ s

indépendantes et désignons par <p { x > y >1 • • • )» %( A * *

4 (x t y, Z - . .), &c., ses dérivées partielles du premier ordre relatives a x, à; f , à z ... Si l’on fait, comme dans la 8. e leçon,

(,) F{aLj^=f[x-hctdx,y-h(tdy, £-+-etdz ...) ,

puis, que ion différencie les deux membres de l’équation (1) par rapport

à la variable et, on trouvera

( 2 ) F' (f)—(p{x-+<Ldx,y+-a.dy, i+cLdi^dx+x^^dx,y+ctdy, z+*Jz..)dy

-h4 ,{x + *,dx , y+didy, z-*-*'di..)dz + ...

Si, dans cette dernière formule, on pose cl = o , on obtiendra la suivante

(j) F 9 (o) = Ç> [x-,y, i".)dx + (*• J* & * •) dz ^~‘ * * = du;

laquelle s’accorde avec l’équation (16) de la huitième leçon. De plus, il résulte évidemment de la comparaison des équations (1) et (2) quen dif férenciant, par rapport à et, une fonction des quantités variables ( 4 ) x-+-cLdx, y-\-<Ldy, z-hctdz, ...

on obtient pour dérivée une autre fonction de ces quantités combinées d'une certaine manière avec les constantes dx , dy, d Z ••• De nouvelles différenciations, relatives à la Variable devant produire de nome.les fonctions du même genre, nous sommes en droit de conclure que les ex pressions (4) seront les seules quantités variables renfermées, non-seulemen t dans F{&) et F\c t), mais aussi dans F" (cl), F"'(*)~ > et généralement dans F {n) (et),//désignant un nombre entier quelconque. Par suite les différences F(fit) —F(o), F'[cl)-F'{o), F"(<l)-F"{o), ... F (mi [a)-F w (t>), seront précisément égales aux accroissemens que reçoivent les fonctions

LfÇ*n’i de M. Cauchy.

54 COURS d’analyse.

tic x, y, Z . •. représentées par

lorsqu’on attribue aux variables indépendantes les accroissemens infiniment petits cLdx, <l dy,cL d i ... Cela posé, comme on a F(o)—.u, on trouvera successivement, en faisant converger cl vers la limite zéro,

F' (o) — lim - 1 — Jim — du ,

F" (o) = lim ■ F ^ a F ^ ~T~ — ddu — d % u ,

F 1 " (o) == lim F ^ — lj m — dd 1 u — d } u ;

F (n) (o)=lim

'M = n m éÉl

En résumé, l’on aura

(5) u = F( o), du=F\ o), d l u = F"[o ),

Ainsi, pour former les différentielles totales du, d x u . d n u, il suffira de calculer les valeurs particulières que reçoivent les fonctions dérivées .F (cl), F" (cl) . . . F ( ) (et), dans le cas où la variable cl s’évanouit.

Parmi les méthodes propres à simplifier la recherche des différentielles totales , on doit encore distinguer celles qui s’appuient sur la considération des valeurs symboliques de ces différentielles.

En analyse, on appelle expression symbolique ou symbole, toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu’elle doit naturellement avoir. O11 nomme de même e'quations symboliques, toutes celles qui, prises à la lettre, et interprétées d’après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n’ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant ou altérant, selon des règles fixes, ou ces équations elles-mêmes, ou les symboles qu’elles renferment. Dans le nombre des équations symboliques qu’il est utile de connaître, on doit comprendre les équations imaginaires [voyez K Analyse algébrique, chapitre VII ] , et celles que nous allons établir.

Si Ton désigne par a, b, c.. des quantités constantes, et par 1 , m, n ,. p,

cours d’analyse. 55;

q, r... des nombres entiers, la différentielle totale de Fexpression

(6) adj d y m df ... ü -+- b d* dfi dff ... u H- &c... sera donnée par la formule

(7) d[*dj d/d z \.U+bd/d/d z T .M+..]=dlûdJd/d z \M+bd/d/d z r ..U+..] +d y [ad x l dj n d z .M-^-bdfdfd z ..«-K è\-hd z [adJd y m d z ..u-*-bd/dfd z r ..u +..]...

=adj+'d/ l d z \.u+ad l x d y m +'d z \.u+adjd y m d z ^\.u..+bd/+'dfid z r ..u+...

De cette formule réunie à l’équation (4) de la 13.® leçon , on déduit immédiatement la proposition suivante.

Théorème. Pour obtenir la différentielle totale de l'expression ( 6 ), il suffit de multiplier par d le produit des deux facteurs ad J d y m d z .. -h b dff dfi d z ..-h.. , et u, en supposant d zzz d x h- d y -+- d z -+-, et opérant comme si les notations d, d xt d y , d z ... représentaient de véritables quantités distinctes les unes des autres, de développer le nouveau produit, en écrivant, dans les différais termes, les facteurs a, b, c . . . à la première place , et la lettre u à la dernière ; puis de concevoir que, dans chaque terme, les notations d x , d y , d z ... cessent de représenter des quantités et reprennent leur signification primitive .

Exemples. En déterminant, à l’aide de ce théorème, la différentielle totale de l’expression

on obtiendra précisément la valeur de ddu ou de d~u, que fournit l’équation (7) de la leçon précédente. En appliquant de nouveau le théorème à cette valeur de d x u, on obtiendra celle de d'u, et ainsi de suite. Nota. Lorsqu’on ne fait qu’indiquer les multiplications, à l’aide desquelles on peut, d’après le théorème, calculer la différentielle totale de l’expression (6), on obtient, au'lieu de l’équation (7), la formule symbolique f d[adJd y m d z \..u-+-bd x rd/d z r ...u-E...]~

^ | ^adjd y m d z ...-\-bd x p dfi d. z \d x —|— d y -\-d z -\-. ..] u.

Comme, dans la formule (9), les notations d x , d y , d z sont employées pour représenter des différentielles, cette formule, prise à la lettre, n’a aucun sens ; mais elle redevient exacte, dès qu’on a développé son second membre, à l’aide des règles ordinaires de la multiplication algébrique, et en opérant comme si d,, d y , d z ... étaient de véritables quantités.

56 COURS d'analyse.

Lorsqu’à l’expression ( 6 ) on substitue l’expression (8), et que l’on différencie cette dernière plusieurs fois de suite, on obtient par les mêmes procédés les valeurs symboliques des différentielles totales d~u, d ] u.., savoir, (d x +d y +d v .)(d x -+-d y +d v .)u, [d t +dy^ v .){J s -*-d y -U v ) [d x -+-d y -+-d v ) u, &c. En joignant à ces valeurs symboliques celle de du, puis écrivant, pour abréger, (d x -{-d y -{-d l ... )* au lieu de (d x -+-d y -\-d z ...) [d x -\-d y -\-d L ...), (d x -\-d y -\-d l ...y au lieu de [d x -\-d y -\-d z ..,) (il x -\-d y -\-d l .».){d g -\-d y -+-d v ..) * &c... on formera les équations symboliques

(10) du = [d x -\-d y -*-d v .) u, d 1 u — (d x -*-d y -*-d v .y U , d*u = (d x -+-d y -+-d t .*Y U,. et l’on aura généralement, n désignant un nombre entier quelconque,

Soit maintenant

n, v, w.. étant des fonctions des variables indépendantes *,y,£..On trouvera encore

Il est très-facile de développer le second membre de cette dernière équation, dans le cas particulier où l’on suppose u fonction de * seule, v fonction dey seule, w fonction de £ seule, &c... D’ailleurs, pour passer de ce cas particulier au cas générai, il suffira évidemment de remplacer d x u , d\u, d\u... par du, d 2 u, d } u.., d y v, d l y v.. par dv , d l v.. t &c..., c’est-à-dire, d’effacer les lettres x, y, £.. placées au bas de la caractéristique d. Donc il sera facile , dans tous les cas , de tirer de la formule (13) la valeur de d n s. Prenons, pour fixer les idées, s = uv. En opérant, comme on vient de le dire, on trouvera successivement

( 14) d n [uv) = u d y n y-»- ? d x u d y n ~'v-+- ~ d g x ud^'v-*-..-*- n - d y vd x *~'u-hd / u ,

(15) d n (uv) = tid*v-+-”du d"-'vA- T ^-^-d*ud" t v-^-...-^ 1 ~dvd^u-^vd tt n.

La dernière formule subsiste, quelles que soient les valeurs de u, v, eu x, yp et dans le cas même où u, v, se réduisent à deux fonctions de x.

cours d’analyse.