QUINZIÈME LEÇON

Relations qui existent entre les Fonctions d'une seule variable et leurs dérivées ou différentielles des divers ordres. Usage de ces différentielles dans la recherche des maxima et minima.

Supposons que la fonction f(x) s’évanouisse pour la valeur particulière de la variable a-. Concevons de plus que cette même fonction et ses dérivées successives, jusqu’à celle de I ordre , soient continues dans le voisinage de la valeur particulière dont il s’agit, et que la continuité subsiste pour chacune d’elles entre les deux limites x znzx 0 -+■ h» L’équation (6) de la y. c leçon donnera

f(xo-hh) — f(x 0 ) -h hf (x Q -\-§h) = kf (x. ,

G désignant un nombre inférieur à l’unité; ou, en dautres termes ,

(1) f(x a -^-h) — hf (x 0 -\-hj,

//, désignant une quantité de même signe que h , mais d une valeur numérique moindre. Si les fonctions dérivées f (x), f (a) s’évanouissent à leur tour pour xzz:x ot on trouvera encore [ f ( x * h t ) = h, f" (xo-hhj,

/ \ I f( x 0 -H hf,) ’= = -h x f (xq H - h t

h v% h x , A, ... h n représentant des quantités qui seront toutes de même

signe, mais dont les valeurs numériques décroîtront de plus en plus. Des équations (2) réunies à l’équation (1), on déduira sans peine la suivante

(3) f(x 0 + h)=hh l h x ... h^ x f (n) (x.^K) f

dans laquelle h n sera une quantité de même signe que h , et le produit hh y h, ,.h„ , une quantité de même signe que h n . Ajoutons que les deux

rapports seront des nombres évidemment compris entre

Leçons de M. Cauchy.

5 8 COURS d’analyse.

les limites o et I, cîe sorte quën désignant par G et 0 deux nombres de cette espèce, on pourra présenter l’équation (3) sous la forme

(4) f(*.-ht) = ® h H f (n) (*o + U).-

Si l’on imagine que la quantité h devienne infiniment petite , la formule (4) subsistera toujours, et l’on trouvera, en écrivant / au lieu de h,

De plus, comme, pour de très-petites valeurs numériques de i, l’expression f w (x a -h§i) sera très-peu différente de f (n) (x 0 ), on déduira immédiatement de l’équation (5) la proposition que je vais énoncer.

i. er Théorème. Supposons que la fonction f (x) et ses dérivées successives, jusquà celle de l’ordre n, étant continues par rapport à x dans le voisinage de la valeur particulière x = x ot s’évanouissent toutes, à l’exception de f (n) (x), pour cette même valeur . Alors, en désignant par i une quantité trèspeu différente de zéro, et posant * = * 0 -h i, on obtiendra pour f (x) une quantité affectée du même signe que le produit i n f (n) (xj.

II est aisé de vérifier ce théorème sur la fonction f(x)=[x —* 0 )*q>(*). Lorsque la fonction f(x) cesse de s’évanouir pour x=:x 0 , le théorème 1 . er peut être remplacé par le suivant. z. e Théorème. Supposons que les fonctions

étant continues par'rapport à x dans le voisinage de la valeur particulière x=r:x 0 , s'évanouissent toutes, à l’exception de la première f (x) et de la dernière f (n) (x), pour cette même valeur. En désignant par i une quantité très-peu différente de zéro, on obtiendra pour la différence infiniment petite f{x 0 -*-i) — f(xo) une valeur affectée du même signe que le produit i n f (n) (x 9 ).

Démonstration. Pour déduire le 2. c théorème du i. er , il suffit de substituer à la fonction f[x) la fonction f{x)—f(x 0 ) qui a les mêmes dérivées que la première , et qui de plus s’évanouit pour En vertu de la

même substitution, l’équation (5) se trouvera remplacée pai; la suivante

cours d’analyse. 59

Si maintenant on écrit * au lieu de *v, et si Ion pose f(x)=y , Ax = i = du/ij Iéquation (6) prendra la forme

@ désignant, aussi bien que et, une quantité infiniment petite. Toutefois il est essentiel d’observer que la formule (7) subsistera seulement pour la valeur particulière x=x Q .

Corollaire . Les mêmes choses étant admises que dans le 2. e theoreme, supposons qu’après avoir assigné à la variable x la valeur x 0 , on attribue a cette même variable un accroissement infiniment petit. L accroissement correspondant de la fonction f{x) sera, si n désigne un nombre pair, une quantité constamment affectée du même signe que la valeur def (n \x) ou ded”y,. correspondante à x = x a . Si au contraire n représente un nombre impair, l’accroissement de la fonction changera de signe avec celui de la variable.

Nous avons fait voir dans la 6. e leçon que les valeurs de x, qui, sans rendre discontinue l’une des fonctions /(*),/'(*)» donnaient pour la première des maxima ou des minima , étaient nécessairement des racines de l’équation

Or, à l’aide de ce qui précède, on pourra décider en général si une racine de l’équation (8) produit un maximum ou un minimum de f[x). En effet soient cette racine, et f (n) (*) la première des dérivées de f(x) qui ne s’évanouisse pas avec f {x), pour la valeur particulière Supposons

de plus que, dans le voisinage de cette valeur particulière, les fonctions f(x), f < 9 ? (x) soient toutes continues par rapport à .y. II suit

évidemment du 2. c théorème que /(*•) sera un maximum, si, // étant un nombre pair, f (nJ (x 0 ) aune valeur négative; et un minimum, si n étant un nombre pair, f (n) (x 0 ) a une valeur positive. Si n était un nombre impair, l’accroissement de la fonction changeant de signe avec celui de la variable, f{x 0 ) ne serait plus ni un maximum, ni un minimum. En observant d’ailleurs que les différentielles d /(*), d x f{x)> ... s’évanouissent toujours avec les fonctions dérivées /'(a-), /"(*), ... et que, pour des valeurs paires de //, d n f{x) = f (nJ {x) dx n a le même signe que f (H) [x) } on se trouvera naturellement conduit à la proposition suivante.

60 COURS d’analyse.

3. e Théorème. Soit y —/ (x) une fonction donnée de la variablè x. Pour décider si une racine de l'équation dy = o produit un maximum ou un minimum de la fonction proposée, il suffira ordinairement de calculer les valeurs de d l y, d 3 y, d*y ... correspondantes à cette racine. Si la valeur de d % y est positive ou négative, la valeur de y sera un minimum dans le premier cas, un maximum dans le second. Si la valeur de d*y se réduit à zéro, on devra chercher parmi les différentielles d'y, d* y,... la première qui ne s'évanouira pas. Désignons celle-ci par d n y. Si n est un nombre impair, la valeur de y ne sera ni un maximum ni un minimum. Si au contraire n est un nombre pair, la valeur de y sera un minimum, toutes les fois que la différentielle d”y sera positive, et un maximum, toutes les fois que la différentielle d n y sera négative.

Nota. II faut admettre pour ie $. c théorème, comme pour les deux premiers, que la fonction y, et ses dérivées successives, jusqua celle de l’ordre n, sont continues dans le voisinage de la valeur particulière attribuée à la variable x.

Si, au lieu de prendre pour y une fonction explicite de la variable x ; on supposait la valeur de y en x donnée par une équation de la forme u = o , le 3. e théorème serait toujours applicable. Seulement, dans cette hypothèse, les valeurs successives de dy, d x y, d'y... devraient être déduites des équations différentielles duz=. o, d* uz=zo , d'u=z o, &c...

Exemple. Soit yz=x a e~*, a désignant une quantité positive. On aura l(y)=:al(.x)—x. En différenciant deux fois de suite la dernière équation, on trouvera

puis, en posant dy = o, et faisant abstraction de la valeur zéro que y peut recevoir ,

La valeur de d 1 y donnée par la seconde des formules (p) étant négative, il en résulte que la valeur de x donnée par la première fournit un maximum de y.

cours d’analyse.