SEIZIÈME LEÇON

Usage des Différentielles des divers ordres dans la recherche des maxima et minima des Fonctions de plusieurs variables.

Soit u =f[x,y, £...) une fonction des variables indépendantes x, y» Z"’ * et posons, comme dans la io. e leçon,

(1) f(x-\-<tdx, y-h-ady, ..) = F{<*,).

Pour que la valeur de u relative à certaines valeurs particulières de x, y, z»" soit un maximum ou un minimum, il sera nécessaire et il suffira que la valeur correspondante de devienne toujours un maximum

ou un minimum, en vertu de la supposition <*,= 0. On en conclut [voyez la io. e leçon] que les systèmes de valeurs de x, y, z •• • qui, sans rendre discontinue l’une des deux fonctions u et du, fournissent pour la première des maxima ou des minima, vérifient nécessairement, quels que soient dx, dy, dz ••• , l’équation

(2) du -z zi o ,

et par conséquent les suivantes

t \ du du du 0

u) -zr = °> ~ij~ = °> — = «>.

Soient x oy y oi £ 0 ... les valeurs particulières de x, y, £... dont se compose un de ces systèmes. La valeur correspondante de F[c t) deviendra un maximum ou un minimum pour ct=:o, quelles que soient les différentielles dx, dy y dz -.., si, pour toutes les valeurs possibles de ces différentielles , la première des quantités F'[ o), F" (o), F m [ o), &c... qui ne sera pas nulle, correspond à un indice pair, et conserve toujours le même signe [voyez * 5 * leçon]. Ajoutons que -F(o) sera un maximum, si la quantité dont il s’agit est toujours négative, et un minimum , si elle est toujours positive. Lorsque celle des quantités ^'(o), F"(o), F" , ( o)..., qui cesse la première de s’évanouir, correspond à un

Leçons de M. Cauchy, p

6 i COURS d’analyse.

indice impair, pour toutes les valeurs possibles de dx, dy, d^.,., ou seulement pour des valeurs particulières de ces mêmes différentielles, ou bien encore, lorsque cette quantité est tantôt positive , tantôt négative, alors F( o) ne peut plus être ni un maximum, ni un minimum. Si maintenant on a égard aux équations (5 ) de la i4- c leçon , savoir,

F[o)'=^u, F'{p)-=^du, F"[o) — d z u, & c....

on déduira des remarques que nous venons de faire, la proposition suivante.

Théorème. Soit u=f(x,y, z>->) une fonction donnée des variables indépendantes x, y, z • • • Pour décider si un système de valeurS de x, y, Z •• • propre à vérifier les formules (3) produit un maximum ou un minimum de la fonction u, on calculera les valeurs de d z u, d^u, d*u, &c... qui correspondent à ce système, et qui seront évidemment des polynômes dans lesquels il n’y aura plus d’arbitraire que les différentielles dx — h, dy — k, dz-l- Soit

dy*

dx n ~ I dy

h n ~ l fi¬

le premier de ces polynômes qui ne s évanouira pas, n désignant un nombre entier qui pourra dépendre des valeurs attribuées aux différentielles h, k, /... Si, pour toutes les valeurs possibles de ces différentielles, n est un nombre pair, et d n u une quantité positive, la valeur proposée de u sera un minimum. Elle sera un maximum , si, n étant toujours pair, d n u reste toujours négative. Enfin, si le nombre n est quelquefois impair, ou si la différentielle d n u est tantôt positive, tantôt négative, la valeur calculée de u ne sera ni un maximum, ni un minimum.

Nota. Le théorème précédent subsiste, en vertu des principes établis dans la 15 , e leçon, toutes les fois que les fonctions F [cl) , F (et) ,.. F {,,; [cl) sont continues par rapport à et, dans le voisinage de la valeur particulière cl —o, ou, ce qui revient au même , toutes les fois que u, du, d z u .. d n u sont continues, par rapport aux variables x, y, Z ••• ^ ans voisinage des valeurs particulières attribuées à ces mêmes variables.

Corollaire i. er Concevons que, pour appliquer le théorème, on forme d’abord la valeur de l’expression

en substituant les valeurs de x, y, tirées des formules (3) dans ies fonctions dérivées , -jp-> ... ° n trouvera zéro pour

résultat, si toutes ces dérivées s’évanouissent. Dans i hypothèse contraire, d 1 u sera une fonction homogène des quantités arbitraiies h,k,l et, si l’on fait alors varier ces quantités, il arrivera de trois choses 1 une. Ou la différentielle d'u conservera constamment le même signe, sans jamais s’évanouir ; ou elle s’évanouira pour certaines valeurs de h, k,l et reprendra le même signe, toutes les fois quelle cessera d’être nulle; ou elle sera tantôt positive, et tantôt négative. La valeur proposée de u sera toujours un maximum ou un minimum dans le premier cas,' quelquefois dans le second, jamais dans le troisième. Ajoutons que Ion obtiendra dans le second cas, un maximum ou un minimum , si , pour chacun des systèmes de valeurs de h, k, /... propres à vérifier i équation d'u = o, la première des différentielles d'u,d±u... qui ne s’évanouit pas, est toujours d’ordre pair et affectée du meme signe que celles des valeurs de d x u qui diffèrent de zéro.

Corollaire 2. e Si la substitution des valeurs attribuées à x, y, Z ••• réduisait à zéro toutes les dérivées du second ordre, alors, d 1 u étant identiquement nulle, il ne pourrait y avoir ni maximum , ni minimum , à moins que la même substitution ne fît encore évanouir d'u, en réduisant à zéro toutes ies dérivées du troisième ordre.

Corollaire 3. e Si la substitution des valeurs attribuées à x,y, Z ... faisait évanouir toutes les dérivées du second ordre et du troisième, on aurait identiquement d 1 azzo, df 3 z/ = o, et il faudrait recourir à la première des différentielles d*u, d 5 u ... qui ne serait pas identiquement nulle. Si cette différentielle était d’ordre impair, il n’y aurait ni maximum ni minimum. Si elle était d’ordre pair ou de la forme

il pourrait arriver de trois choses l’une. Ou la différentielle dont.il s’a-

git conserverait constamment le même signe, pendant que Ton ferait varier h,k,l... t sans jamais s’évanouir; ou bien elle s’évanouirait pour certaines valeurs de h, k, /..., et reprendrait le même signe, toutes les fois qu’elle cesserait d’être nulle ; ou elle serait tantôt positive, tantôt négative. La valeur proposée de u serait toujours un maximum ou un minimum dans le premier cas, quelquefois dans le second, jamais dans ie troisième. De plus, afin de décider, dans le second cas, s’il y a maximum ou minimum, il faudrait, pour chaque système de valeurs de h, k, J,... propres à vérifier l’équation d zm u =ro, chercher parmi les différentielles d’un ordre supérieur kim, celle qui la première cesse de s’évanouir, et voir si cette différentielle est toujours d’ordre pair et affectée du même signe que les valeurs de d xm u qui diffèrent de zéro.

II est essentiel d’observer que la valeur de d xm u, donnée par la formule ( 6 ), étant une fonction entière, et par conséquent continue des quantités h, k, /..., ne saurait passer du positif au négatif, tandis que ces quantités varient, sans devenir nulle dans l’intervalle. Remarquons en outre, que, si la quantité u était une fonction implicite des variables x, y , 1 ... , ou si quelques-unes de ces variables devenaient fonctions implicites de toutes les autres, chacune des quantités du,d x u, d^u ... se trouverait déterminée par le moyen d’une ou de plusieurs équations différentielles, en fonction des différentielles des variables indépendantes. Exemple. Supposons que, a, b, c ...k, p , q, r ... désignant des constantes positives, et x,y, 1 ... des variables assujetties à l’équation a x —f- b y —f- c £ -f- ... — k ,

on cherche le maximum de la fonction u~x p y* 1 £ r ... ; on trouvera

et par suite on tirera de la formule (10) [ 1 i. e leçon]

<1 __ r p h g h m z ~& Cm

ax b y k * a p-i-q-\-r.d ' b p-t-q-lr r -

Comme les valeurs précédentes de x,y, £.. rendront du constamment nulle et d u constamment négative, elles fourniront un maximum de la fonction u.