DIX-SEPTIÈME LEÇON

Des Conditions qui doivent être remplies pour quune Différentielle totale ne change pas de signe, tandis que Ion change les valeurs attribuées aux Différentielles des variables indépendantes .

D’après ce qu’on a vu dans les leçons précédentes, si l’on désigne par u une fonction des variables indépendantes x, y, £..., et si ion fait abstraction des valeurs de ces variables qui rendent discontinue l’une des fonctions u, du, d z u, &c., la fonction u ne pourra devenir un maximum ou un minimum que dans ie cas où l’une des différentielles totales d l u, d*u, d 6 u ... } savoir, la première de celles qui ne seront pas constamment nulles, conservera le même signe pour toutes les valeurs possibles des quantités arbitraires dxzzz/i, dy=k, d% = l... t ou du moins pour les valeurs de ces quantités qui ne la réduiront pas a zéro. Ajoutons que , dans la dernière supposition , chacun des systèmes de valeurs de h, k, l ... propres à faire évanouir la différentielle totale dont il s’agit, devra changer une autre différentielle totale d’ordre pair en une quantité affectée du signe que conserve la première différentielle, tant qu’elle ne s’évanouit pas. D’ailleurs, les différentielles d~u, d*u, d 6 u ... se réduisent, pour des valeurs données de x, y, à des fonctions entières et homogènes des quantités arbitraires h, k, /... De plus, si l’on appelle r, s, t ... les rapports de la première, de la seconde, de la troisième de ces quantités ... à la dernière d’entre elles, la différentielle

sera évidemment affectée du même signe que la fonction entière de r, s, t .. à laquelle on parvient en divisant d zm u par la puissance im de la dernière des quantités h, k t l..y c’est-à-dire , du même signe que ie polynôme