V-*/ d x im dy zm l d 2m ~ l dy

En substituant un

fcfMS de M. Cauchy .

polynôme de cette espèce à chaque différentielle

66 COURS d’analyse.

d’ordre pair, on reconnaîtra que la recherche des maxlma et tninima exigé la solution des questions suivantes.

i. cr Problème. Trouver les conditions qui doivent être remplies, pour qu une fonction entière des quantités r, s, t... ne change pas de signe, tandis que ces quantités varient.

Solution. Soit F(r, s, t ... ) la fonction donne'e, et supposons d’abord les quantités r, s, t... réduites à une seule r. Pour que la fonction F (r) ne change jamais de signe, il sera nécessaire et il suffira que l’équation

n’ait pas de racines réelles simples, ni de racines réelles égales en nombre impair. En effet, si, r Q désignant une racine réelle de l’équation (3), m un nombre entier, et R un polynôme non divisible par r— r 0 , on avait F (r) — (r — r 0 ) R ou F(r) = (r — r 0 ) im+t R , il est clair que, pour deux valeurs de r très-peu différentes de r Q , mais l’une plus grande, et l’autre plus petite, la fonction F(r) obtiendrait deux valeurs de signes contraires. De plus, comme une forîction continue de r ne saurait changer de signe, tandis que r varie entre deux limites données, sans devenir nulle dans l’intervalle, il est permis d’affirmer que, si l’équation (3) n’a pas de racines réelles, son premier membre conservera toujours le même signe, sans jamais s’évanouir, et qu’il s’évanouira quelquefois sans jamais changer de signe , s’il est le produit de plusieurs facteurs de la forme (r—r 0 ) im par un polynôme qui ne puisse se réduire à zéro, pour aucune valeur réelle de r.

Revenons maintenant au cas où les quantités r, s, t... sont en nombre quelconque. Alors, pour que la fonction F[r, s, t...) ne puisse changer de signe, il sera nécessaire et il suffira que l’équation

résolue par rapport à r, ne fournisse jamais de racines réelles simples, ni de racines réelles égales en nombre impair, quelles que soient d’ailleurs s, t.. Corollaire i.' r La fonction F [r) ou F{ r, s, t...) conserve constamment le même signe, lorsque l’équation (3) ou,(4) n’a pas de racines réelles. [Fqy<?£,pour la détermination du nombre des racines réelles dans leséqua-.

tions algébriques, le 17.® cahier du Journal de ïÉcolepolytechnique, p. 4 57]- Corollaire 2. e Soit uz=zf(x,y). La différentielle totale

conservera constamment le même signe, si i’équation

(6) -jï r 7^—0

11’a pas de racines réelles, c’est-à-dire, si Ton a

(7) dx 2 * dy x [dxdy)

La même différentielle pourrait s’évanouir sans jamais changer de signe, si le premier membre de la formule (7) se réduisait à zéro; et admettrait des valeurs de signes opposés, si ce premier membre devenait négatif. Corollaire j. e Soit uzizf (x,y, ç). La différentielle totale

/m « d 2 u ix . d*u 1X , d 1 u , d l u , . , d 1 u . , d 2 u , ,

conservera constamment le même signe, si l’équation

b) 77 r + 2 \d^ t +zrd l ) r - > -jr s -*- 2 Jïdi s - t -i?— °résolue par rapport à r, n’a jamais de racines réelles, c’est-à-dire , si l’on a, quelle que soit s ,

, /J 2 w\n * rd 2 u ddu d 2 u d 2 u ~\ d 2 ud 2 u ( d *u y

' 1 ° ' \JTx 2 dy 2 [dxdy] dx 2 dy d Z dx dy dx d^J^ d x 2 d Z 2 \cixd^J

Cette dernière condition sera elle-même satisfaite, quand 011 aura

d x 2 dy 2 V/x dy) > ° * et

rd*ud 2 u / d*i/ \>"| V d 2 u d 2 u __ (d^uV 1 ] d *u __ d 2 u d 2 u ~ j '* > q -

\d x 2 dy 2 U* dy) J [d x 2 d Z 2 [dx dj J U x 2 dy d Z dx dy dxd Z J

Scholie. Soit f[x>y>Z ‘••) une fonction de n variables indépendantes v. 7..., et posons

du . , -2 j-T-kl

dy d Z

d x 2 dy d Z

dx dy dx dçj

-71ï r '+Tf S + -W‘ -*--+ 2 T7T/ s -T-*dïdi La différentielle d'u et la fonction F(r, s, t..) seront toujours affectées du

mêmesigne que la quantité si le produit F{ r >J>, *•••) est toujours

2 d 7 T l rt ~ h 2 iydi st ~ h - :

68 COURS d’analyse.

positif. Or, c’est évidemment ce qui aura lieu, si chacun des produits

{13) TF F ( r -°’ 0,0..), ^-F(r,s,o,o..), ~F[r,s,t,o..), &c. obtient pour valeur minimum une quantité positive. D’ailleurs, si l’on fait

D < — ~dF’ D * — TFT/ \dxdy) ’ &c -

et si généralement on désigne par D n ie dénominateur commun des valeurs de h, k, l ... tirées des équations [voyez 1’ Analyse algébrique, p. 80]

~d^~ h ~^ 77df k ~*~ ~d7dï - l >

dxdy d y 2 dx

on prouvera sans peine que les valeurs maxima ou minima des fonctions

F{r, o, o, o ..), F(r, s, 0,0..), F( r, s, t, o..), &c., sont respectivement

Donc ia différentielle d'u conservera constamment le même signe, si les fractions (15), multipliées par D ,, donnent des produits positifs , ou , ce qui revient au même, si D,, D }t D ^... D n sont affectées des mêmes signes que D, 2 , D, 3 , D ... D ”,

Lorsqu’on suppose simplement u fonction de trois variables x,y, 1, les conditions qu’on vient d’énoncer se réduisent aux deux suivantes D z > o , D x D } >o, et coincident avec celles que fournissent les formules (11).

2. e Problème. Etant données deux fonctions entières des variables r, s, t, trouver les conditions qui doivent être remplies, pour que la seconde fonction conserve un signe déterminé, toutes les fois que la première s'évanouit.

Solution. Soit F (r, s, t..) la première fonction et R r=: éf(r, s, t ..) fa seconde. On éliminera r entre les deux équations F(r, s, — o et R~éF(r,s, /...). L’équation résultante, étant résolue par rapport à /?, devra fournir pour cette quantité une valeur affectée du signe convenu, toutes les fois que l’on attribuera aux variables s, t des valeurs réelles auxquelles correspondra une valeur réelle de la variable r.

COURS d’analyse.