VINGT-DEUXIÈME LEÇON

Formules pour la détermination des valeurs exactes ou approchées des Intégrales définies .

D’apres ce qui a été dit dans la dernière leçon, si l’on divise X —a* 0 en élémens infiniment petits .y, — x 0 , x z — a*, ...X — x n ^ lf la somme

(1) JT =. (x, —A'o) / (if .>+■(*, ~.V J / {x , y-h .. .-{-(X—x n convergera vers une limite représentée par l’intégrale définie

Des principes sur lesquels nous avons fondé cette proposition il résulte qu’on parviendrait encore à la même limite,.si la valeur de S, au lieu d’être déterminée par l’équation (i), était déduite de formules semblables aux équations (5) et (t>) [21.® leçon], c’est-à-dire, si l’on supposait

(3) ^=?= (*,—*•)vJj-Kv,—A-J/fA-.-hô.^—*,)]-*-...

0 O , ô,.. ô w , désignant des nombres quelconques inférieurs à l’unité, ou bien

(4) J’=(jf,-x <> )[/(Af„)±g 0 ]-i-(Ar ï -A-,)[/^,)±6 1 ]+..+(A'-.v„. 1 )[/(Ar„.,)±e„.,], e of g, ... g„, désignant des nombres assujettis à s’évanouir avec les élémens de la différence X—x 0 . La première des .deux formules précédentes se réduit à l’équation (1), lorsqu’on prend ô 0 = 0, = . . . z=6 w , — o. Si l’on fait au contraire Ô 0 , = • • • = 9 „, = 1, on trouvera

Lorsque, dans cette dernière formule, on échange entre elles les deux quantités x 0 ., X, ainsi que tous les termes placés à égales distances des deux extrêmes* dans la suite x ot x, ... x„ lt X; on obtient une nouvelle valeur de S égale, mais opposée de signe à celle que fournit l’équation (1). La limite vers laquelle convergera cette nouvelle valeur de S devra donc être égale, mais opposée de signe, à l’intégrale (2), de laquelle on

Leçons de AI. Cauchy.

86 COURS d’analyse.

la déduira par i’cchange mutuel des deux quantités x., X. On aura donc généralement

On emploie fréquemment les formules (i) et (5) dans la recherche des valeurs approchées des intégrales définies. Pour plus de simplicité , on suppose ordinairement que les quantités x 0 , x, ... x tt l , X comprises • dans ces formules sont en progression arithmétique. Alors les élémens

de la différence X — x a deviennent tous égaux à la fraction - - ->

et, en désignant cette fraction par i, on trouve que les équations (1) et (5) se réduisent aux deux suivantes

(7) S —i[f (*») -+- f (x«-H / ) ■+■ / (.Vo-t-2 / ) -H... -+-/( AT—2 i ) / (X— i )] ,

(8) S=i [/(*.-i) +f(*o+2i) +...+f(X-2i)+f{X-i)+f(X)]. On pourrait supposer encore que les quantités x a , x, ...x M , , X forment une progression géométrique dont la raison diffère très-peu de f unité*

En adoptant cette hypothèse, et faisant = 1 -f-A, ou tirera des

formules (1) et (5) deux nouvelles valeurs de S, dont la première sera

(9) d’=A|x„/(.v o )-)-.v 0 (i-t-ct)/[.v o (n-a.)]^. . .h- ^ /(j^)J-

Il est essentiel d’observer que, dans plusieurs cas, on peut déduire des équations (7) et (9), non-seulement des valeurs approchées de l’intégrale (2), mais aussi sa valeur exacte, ou Jim.S. On trouvera, par exemple*

(•°) J ,' xdx=hm -— >- = hm -^r=-^r~ ’

( 11 ) A*dx—lim

(12) x a dx=lii

Jim -

1JÂT

e x dx = e x — l

•X dx

- — — > r X --=zltm.tidu=l(~\\

1 a-*-l Jxo x • w

là dernière équation devant être restreinte au cas où les quantités x OJ X sont affectées du même signe. Ajoutons qu’il est souvent facile de ramener la détermination d’une intégrale définie à celle d’une autre intégrale de même espèce. Ainsi, par exemple, on tirera de la formule ([}

cours D’Analyse. 87

WfJ* 9 (*)<>* =»*■>* [(*,-*? ) <p ( AT, ) + ... + (X~X„, ) Ç\ XlUi ) ]

= af*<p{ x )d x;

( l tif a X f{ x + a ) dx = Hm, [(*-*. )/(*„-w7) -.-...h- (X-x.,, )/(*„,+„) ]

(■ » X/^ x =sz~:~ =/(^Ef);

la dernière équation devant être restreinte au cas où x 0 a et X a

sont des quantités affectées du même signe. De plus, on tirera de la formule (8), en posant at 0 z=o, et remplaçant f{x ) par/(^ x) ,

kQ'f* 'V(^-^Kv=^./[/(A'^,')-h/(A'2;)h-..+/(2/)-h/(')+/(o)]

puis Ion en conclura [en ayant égard à l’équation (i4) ]

(* 7 ) fX x 'RX-*V*= f o x -'V{^)Jx = fJf{x)Jx.

Enfin, si dans la formule (9) on pose/(*)=;et /(n-*)=/ 3 , on en tirera

= rr-Ü^-l

les quantités j: 0) X devant être positives, et toutes deux supérieures ou toutes deux inférieures à l'imité.

Une remarque importante à faire, c’est que tes formes sous lesquelles se présente la valeur de S, dans les équations ( 4 ) et (5) de la leçon précédente , conviennent également à l’intégrale ( 2 ). En effet, ces équations, subsistant l’une et l’autre , tandis que l’on subdivise ou la différence AT-*,,, ou les quantités ;v„ , ,r 2 — a-, ... X — en élémens infi-

niment petits, seront encore vraies à la limite, en sorte quon aura

M f* et

. {x- Xn ,)},

88 COURS d’analyse.

9 , 0 O , 0, ... 0»-, désignant des nombres inconnus, mais tous inférieurs à l’unité. Si, pour plus de simplicité, on suppose les quantités x, v 0 , x z —x t ...X—x„, égales entre elles, alors, en faisant i= - >on trouvera

(n) J' x X f{x)dx = i[f{x„-*-èol)+f{x,+i^

Lorsque la fonction /(x) est toujours croissante ou toujours décroissante depuis x=x 0 , jusqu’à x=X, le second membre de la formule (21) reste évidemment compris entre les deux valeurs de S fournies par les équations (7) et (8), valeurs dont la différence est Xzi\f(X) /(*")]• Par conséquent, dans cette hypothèse, en prenant la demi-somme de ces deux valeurs , ou l’expression

(22) i[{ /(«.)+ (X—ii)-t-f{X—i) -+- z f[X)] pour valeur approchée de l’intégrale (21), on commet une erreur plus petite que la demi-différence ±; [-r/(^0 r/(*»)]•

Exemple. Si l’on suppose /(x) = 7-^7,» — o, X=l, i — [expression (22) deviendra -f [— s *s 4 ]

conséquence 0,78 est la valeur approchée de l’intégrale^ 7^1- L’erreur commise dans ce cas ne pourra surpasser-j-(4— -k) = Tt- Elle sera effectivement au-dessous d’un centième, comme nous le verrons plus tard.

Lorsque la fonction /(x) est tantôt croissante et tantôt décroissante entre les limites x=x„ , x=X , l’erreur que l’on commet, en prenant une des valeurs de S fournies par les équations (7) et (8) pour valeur approchée de l’intégrale (2), est évidemment inférieure au produit de ui—X- x„ par la plus grande valeur numérique que puisse obtenir la différence (23) /(x-t-Ax)—/W = ôx/'(jf + 0 A*)

quand on y suppose x comprise entre les limites x„, X, et A* entre les limites o, /. Donc, si l’on appelle k la plus grande des valeurs numériques que reçoit /(x), tandis que x varie depuis x = x„, jusqu’à x=X, l’erreur commise sera certainement renfermée entre les limites — ki{X — x.), -+-ki(X — x.).