VINGT-TROISIÈME LEÇON

Décomposition d’tine Intégrale définie en plusieurs autres. Intégrales définies imaginaires. Représentation géométrique des Intégrales définies réelles . Décomposition de la Fonction sous le signe f en deux Facteurs dont l'un conserve toujours le même signe.

Pour diviser l’intégrale définie

(<) fgfjx)J X

en plusieurs autres de même espèce, il suffit de décomposer en plusieurs parties ou la fonction sous Te signe /, ou la différence X —x 0 . Supposons d'abord /( x) = <p (*) -+- % M -+- 4 (*) -+-... ; on en conclura {x t —x 0 )f(x 0 )+... -r-{X—x n -ê) = —x 0 )<P[x 0 )+..-*-(X—x„ l )<p(x^ l )

puis en passant aux limites

~ ir .*1* m*)-***- &c -* ;

De cette dernière formule jointe à lequation (i 3) [a2. e leçon] on tirera; en désignant par u, v, w ... diverses fonctions de la variable x, et par a, b, c ... des quantités constantes,

(2) / + v + + udx+f vdx-^-f wdx -+•..... ;

*J Xq §J Xo J Xq Xq

(3) C r * udx +fj vdx ’C M dx = f\dx- fg vdx ;

( 4 ) /; V-*- -ç-cw...)dx — a X udx-t-l j~ X vdx-\-cJ~ * wdx-t-, .7

Lorsqu’on étend la définition que nous avons donnée de l’intégrale (1), au cas où la fonction f[x) devient imaginaire, lequation (4) subsiste pour des valeurs imaginaires des constantes a, b, c ... On a par suite

(5) fj {u + vY~>)dx =fg udx + Y- t f\dx.

Supposons maintenant qu’après avoir divisé la différence X —x 0 en un

Leçons de M. Cauehj. y

yo COURS d’analyse.

nombre fini delémens représentés par x,— x 0 * —*, • •• X —x„, , on partage chacun de ces élémens en plusieurs autres dont les valeurs numériques soient infiniment petites , et que l’on modifie en conséquence la valeur de S fournie par l’équation (i) [22.® leçon]. Le produit (x r x °)f{ x °) se trouvera remplacé par une somme de produits semblables qui aura pour

limite l’intégrale^ Xi f(x)dx. De même, les produits {x z —x, )/(*,),

( X—x H , ) f(x„ t ) seront remplacés par des sommes qui auront pour limites respectives les intégrales définies *f[x)dx t f[x)dx. D ail¬

leurs, en réunissant les différentes sommes dont il s’agit, on obtiendra pour résultat une somme totale dont la limite sera précisément 1 intégrale (1). Donc, puisque la limite d’une somme de plusieurs quantités est toujours équivalente à la somme de leurs limites, on aura généralement

(6) fj/wx=f;;mdx

Il est essentiel de se rappeler que l’on doit ici attribuer au nombre entier ti une valeur finie. Lorsqu’entre les limites x Q , X on interpose une seule valeur de * représentée par £ , l’équation (6) se réduit à

(7) fl f w J* =£ x /M +£ V /W dx ~

Il est facile de prouver que les équations (6) et (7) subsisteraient dans le cas même où quelques-unes des quantités x, , ‘x a ...x„, , § cesseraient d’être comprises entre les limites x oi X, et dans celui ou les différences *<>, x 2 —x, ... X — X—% ne seraient plus des quan¬

tités de même signe. Admettons, par exemple, que les différences x Q , X — £ soient de signes contraires. Alors, suivant qu’on supposera x Q comprise entre £ et X, ou bien X comprise entre x 0 et £, on trouvera

£ X f[x) dx =f£m dx + £ X f{x) dx , ou bien

XVw ** =f*fw* .

Or, la formule (6) de la 22. e leçon suffit pour montrer comment les deux équations que nous venons d’obtenir s’accordent avec I équation (7). Cette

cours d’analyse. 91

dernière étant établie dans toutes les hypothèses, on pourra en déduire directement l'équation (6), quelles que soient x, , x x ...

On a vu dans la leçon précédente, combien il est aisé de trouver, non-seulement des valeurs approchées de l’intégrale (1), mais aussi les limites des erreurs commises, lorsque la fonction f(x) est toujours croissante ou toujours décroissante depuis x ~ x Q , jusqu a x z= X < Quand cette condition cesse d’être satisfaite, on peut évidemment, à laide de la formule (6), décomposer l’intégrale (1) en plusieurs autres, pour chacune desquelles la même condition soit remplie.

Concevons à présent que, la limite X étant supérieure à x 6 , et la fonction /(*) étant positive depuis x:=Xo jusqu’à x = X, x,y désignent des coordonnées rectangulaires, et A la surface comprise d’une part entre l’axe des x et la courbe y—f(x ) , d’autre part entre les ordonnées f(x 0 ), f(X ). Cette surface, qui a pour base la longueur X—x a comptée sur l’axe des x, sera une moyenne entre les aires des deux rectangles construits sur la base X— x Q avec des hauteurs respectivement égales à la plus petite et à la plus grande des ordonnées élevées par les différens points de cette base. Elle sera donc équivalente à un rectangle construit sur une ordonnée moyenne représentée par une expression de la forme f[x 0 -t-ô(Af—x 0 )]î en sorte qu’on aura

ô désignant un nombre inférieur à l’unité. Si l’on divise la base X — x ô en élémens très-petits, x, — x 0 , x z — x, ... X — x n ,, la surface A se trouvera divisée en élémens correspondans dont les valeurs seront données par des équations semblables à la formule (8). On aura donc encore

ô # , ô, ... désignant des nombres inférheurs à l’unité. Si dans cette dernière équation on fait décroître indéfiniment les valeurs numériques des élémens de X —x 0 , on en tirera, en passant aux limites,

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Exemples . Appliquer la formule (i o) aux courbes y=ax\ xy—i, y—e x , ••• En terminant cette leçon, nous allons faire connaître une propriété remarquable des intégrales définies réelles. Si ion suppose f{x)=<p(x ).%(*)» <p(x) et ^(.v) étant deux fonctions nouvelles qui restent l’une et l’autre continues entre les limites x = x ot x=-X, et dont la seconde conserve toujours le même signe entre ces limites , la valeur de S donnée par iéquation (i) de la 22. c leçon deviendra

(11) S=(x l —x 0 )<p(x 0 )x[xo)-*-[x 1 —x l )<p(x,)x(x l )-*-. t -+-(X--x„ i )<p(x n l )x{xn-i)>

et sera équivalente à la somme

multipliée par une moyenne entre les coefficiens <P(x 0 ), <P (x,).. .<p (x„,) ou, ce qui revient au même, par une quantité de la forme <p (£), £ désignant une valeur de * comprise entre et X. On aura donc

(12) <£={(*,— 1 OxW*V.)% (*-■)] •<?(£) *

et l’on en conclura, en cherchant la limite de S,

(13) fjf(x)dx = f X <p{x).x{x)d>: = <p{%) fj X( x ) dx '

£ désignant toujours une valeur de x comprise entre .v 0 et X.

Exemples. Si l’on prend successivement

% W = 1. xW=7’X(*)= T=r ’

on obtiendra les formules

(1 4 ) ' fj-n*)<* x =M\)fj dx = (X—x.) ;

(, 6 ) f X f[x)dx = \l- a )f{l-a)

dont la première coïncide avec l’équation (19) de la 22.® leçon. Ajoutons que le rapport — dans la seconde formule, et le rapport dans

la troisième , doivent être censés positifs.

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