VINGT-QUATRIÈME LEÇON

Des Intégrales définies dont les Valeurs sont infinies ou indéterminées. Valeurs principales des Intégrales indéterminées.

Dans les leçons précédentes nous avons démontré plusieurs propriétés remarquables de l’intégrale définie

(o fifw dx -

mais en supposant, i.° que les limites X étaient des quantités finies, 2. 0 que la fonction f ( x) demeurait finie et continue entre ces mêmes limites. Lorsque ces deux espèces de conditions se trouvent remplies , alors, en désignant par a*,, a, ... x n ^ t de nouvelles valeurs de x interposées entre les valeurs extrêmes x 0 , X, on a

( 2 ) f{x) dx =f x * f( x ) dx -+JI X f ( x ) dx -+-... f[ x ) dx.

Quand les valeurs interposées se réduisent à deux, Tune très-peu différente de x 0 , et représentée par £ 0 , l’autre très-peu différente de X, et représentée par £, l’équation (2) devient

fP f(x)dx = fi° f{x)dx -+-fi I\A dx fi f{A dx .

et peut s’écrire comme il suit :

ô 0 , ô désignant deux nombres inférieurs à l’unité. Si , dans la dernière formule, on fait converger vers la limite * 0 , et £ vers la limite X, on en tirera, en passant aux limites,

(3) fi fxdx = lim.fi f{x)Jx.

Lorsque les valeurs extrêmes x Q , X deviennent infinies, ou lorsque la fonction/(-v) ne reste pas finie et continue depuis x — x 0 jusqu’à a — X, on ne peut plus affirmer que la quantité désignée par S dans

Leçons de M. Cauchy. 2

les leçons précédentes ait une limite fixe, et par suite on ne voit plus quel sens on doit attacher à la notation (i ) qui servait ,à représenter généralement la limite de S. Pour lever toute incertitude et rendre à la notation (i), dans tous les cas, une signification claire et précise, il suffit d’étendre par analogie les équations (2) et (3) aux cas meme ou elles ne peuvent plus être rigoureusement démontrées. C’est ce que nous allons d’abord faire voir par quelques exemples.

Considérons, en premier lieu, l’intégrale

Si l’on désigne par et £ deux quantités variables , dont la première converge vers la limite —00, et la seconde vers la limite 00 , on tirera de la formule (3)

e * dx = Jim. r}e x dx~ Uni. ( e*> — e%°) = e°° — e-°° = 00 „

Ainsi, l’intégrale ( 4 ) a une valeur infinie positive.

Considérons, en second lieu, l’intégrale

/ V roo dx

( 5 ) Jo —■

prise entre deux limites dont l’une est infinie , tandis que l’autre rend infinie, la fonction sous le signe /, savoir, En désignant par £ 0 et £

deux quantités positives, dont la première converge vers la limite zéro* et la seconde vers la limite 00, on tirera de la formule (3.)

i”4= fc 4MrMi)=e)=~-

Ainsi, l’intégrale (5) a encore une valeur infinie positive.

Il est essentiel d’observer que, si la variable x et la fonction f(x) restent finies l’une et l’autre pour une des limites de l’intégrale (1), on pourra réduire la formule (3) à l’une des deux suivantes :

(6) f Xa X f{x)d x = li m .J'*f{x)dx, f*f[x)dx = lim,f. a .

On tirera en particulier de ces dernières

! f ° e x dx =± £° — f e x dx t— — e° '== oo ;

J-co

r O d x J , x r 1 dx ;/, N

yi, —=/(°)=—°°>>./» —=/(ô) = oo.

Considérons maintenant l’intégrale

(«) xr^

dans laquelle la fonction sous le signe y, savoir, - , devient infinie pour la valeur particulière x — o comprise entre les limites x —— t , i.

On tirera de la formule (2)

/'-H dx r o dx z' i dx

(9) /; ~r =X. * *-Jo — =-00-^00.

La valeur de l’intégrale .( 8 ) paraît donc indéterminée. Pour s’assurer quelle l’est effectivement, il suffit d’observer que, si l’on désigne par e un nombre infiniment petit, et par v deux constantes positives, mais arbitraires, on aura, en vertu des formules (6),

. . /--o dx J. / - dx dx ;• r x dx

(««>)■ X, — — ’ X = hm -L —•

Par suite, la formule (p) deviendra

(■ 0 t-x' T!=''"['(‘'‘wa]='(f)-

et fournira pour l’intégrale (8) une valeur complètement indéterminée , puisque celte valeur sera le logarithme Népérien de la constante arbi-

Concevons à présent que la fonction f[x) devienne infinie entre les limites x — x Q> xizzX , pour les valeurs particulières de .y représentées par ,v lf x z ...x m . Si l’on désigne par e un nombre infinime i nt petit, et par /&,, v,, , v a . :. , y m des constantes positives, mais arbitraires*

on tirera des formules (2) et (3)

P6 COURS d’analyse.

Si les limites x Q) X se trouvaient elles-mêmes remplacées par oo et oo , on aurait

(.3) fX^ x)dx =

un., j /T 7 w* - f(x)dx • ^fj t J {x) dx î ’

pi, v désignant deux nouvelles constantes positives, mais arbitraires. Ajoutons que dans le second membre de la formule (13) on devra rétablir X à la place de ou * 0 à la place de —si des deux quantités * 0 , X, une seule devient infinie. Dans tous les cas, les valeurs des intégrales

déduites des équations (1.2) et(13), pourront être, suivant la nature de la fonction f (*), ou des quantités infinies, ou des quantités finies et déterminées , ou des quantités indéterminées qui dépendront des valeurs attribuées aux constantes arbitraires /x, v, , v, •.. p* m > v «-

Si dans les formules (12) et (13) on réduit à l’unité les constantes arbitraires p*, v, , v, . • • > on trouvera

(. 5) A X màx=im\x rt f{x) ^/,:r/w dx ^-X'l ’

( • 6 j xr ^ V(-) -y:,"7 V(-) ^•

Toutes les fois que les intégrales (i 4 ) deviennent indéterminées, les équations (15) et (16) ne fournissent pour chacune d’elles qu’une valeur particulière à laquelle nous donnerons le nom de valeur principale. Si l’on prend pour exemple l’intégrale (8) dont la valeur générale est indéterminée, on reconnaîtra que sa valeur principale se réduit a zéro.

cours d’analyse.