VINGT-CINQUIÈME LEÇON

Intégrales définies singulières.

Concevons qu’une intégrale relative à x, et dans laquelle la fonction sous le signe f est désignée par y*(A'), soit prise entre deux limites infiniment rapprochées d’une certaine valeur particulière a attribuée a fa variable .y. Si cette valeur a est une quantité finie, et si la fonction y(.v) reste finie et continue dans le voisinage de x=a , alors, en vertu de la formule (19) [22.® leçon], l’intégrale proposée sera sensiblement nulle. Mais elle pourra obtenir une valeur finie différente de zéro, ou même une valeur infinie, si l’on a <7=:dzoo, ou bien f(a) — it:oo. Dans ce.dernier cas, l’intégrale en question deviendra ce que nous appellerons une intégrale définie singulière. Il sera ordinairement facile d’en calculer la valeur à l’aide des formules ( 1 5) et ( 1 6) de la 23 . e leçon , ainsi qu on va le voir.

Soient e un nombre infiniment petit, et ft, v deux constantes positives, mais arbitraires. Si a est une quantité finie, mais prise parmi les racines de 1 équation f{x)z=z.± 00 , et si f désigne la limite vers laquelle converge le produit [x—a)f{x) t tandis que son premier facteur converge

vers zéro, les valeurs des intégrales singulières^^ f(x)dx> f a + iy f{ x )dx seront à très-peu près [en vertu de la formule (id), 23.® leçon]

Si l’on suppose au contraire a = ±00, en appelant f la limite vers laquelle converge le produit xf{x), tandis que la variable .y converge vers la limite ±00, on aura sensiblement [23.® leçon, équation (15)]

( 3 ) r~Jf{*)dx'=u[g), (4) = -f).

Il est essentiel d’observer que la limite du produit (x—ti)f(x) ou xf{x)

Leçons de M. Cau-chy.

98 cours d’analyse.

dépend quelquefois du signe de son premier facteur. Ainsi, par exemple ;

le produit * (* 2 -Ky 4 ) 2 converge vers la limite H- i ou — i , suivant que son premier facteur, en s’approchant de zéro, reste positif ou négatif. Il suit de cette remarque que la quantité désignée par f change quelquefois de valeur dans le passage de l’équation (i) à l’équation (2), ou de l’équation (3) à l’équation (4).

La considération des intégrales définies singulières fournit le moyen de calculer la valeur générale d’une intégrale indéterminée , lorsqu’on connaît sa valeur principale. En effet, soit

( 5 ) f/fM*

l’intégrale dont il s’agit, et concevons qu’eu admettant les notations de la leçon précédente, on fasse

( 6 ) £ =//' tu 7w ** +-arm dx -+- dx ■

(7) f{x)dx -t f{x)dx H-. —t f (*)

Soient en outre A—lim:E la valeur générale, et B = lim.F la valeur principale de l’intégraLe (5). La différence A — B=Iim. (E — F) sera équivalente à la somme des intégrales singulières

c’est-à-dire, à la limite dont s’approche la somme des intégrales (8) , tandis que s décroît indéfiniment. De plus, si l’on désigne par f,, f 2 ». f M les limites vers lesquelles convergent les produits

(* — X. )/(*) . (*—• X 1 )/[x)...[x — X„)f[x), tandis que leurs premiers facteurs convergent vers zéro, et si ces limites sont indépendantes des signes de ces premiers facteurs, on trouvera que la somme des intégrales (8) se réduit sensiblement à

Lorsqu’on a x,—x 0 ou x rn = X, la différence A — B comprend une intégrale singulière de moins, savoir, la première ou la dernière des intégrales (8).

Lorsqu'on suppose * 0 — — oo, Af=-f-oc, les équations (6) et (7) doivent être remplacées par celles qui suivent :

(10) e — yi L fl+ll' f( x ) jx •

(11) F=fjj f{x)Jx+J r ^- l f[xyjx + ... + f r f(x)dx.

+s t i~r Xrn ~^~ 6

Dans la même hypothèse, il faut aux intégrales (8) ajouter les deux suivantes

/__/ f {*) dx . Jf f{*\ dx >

dont la somme sera sensiblement équivalente à l'expression

si le produit xf(x) converge vers la limite f, tandis que la variable x converge vers l'une des deux limites —00, -f- 00. Si une seule des deux quantités x 0 , X devenait infinie * il ne faudrait conserver dans la différence A —B qu’une seule des intégrales (12).

Lorsque pour des valeurs infiniment petites de e, et pour des valeurs finies ou infiniment petites des coefficiens arbitraires ft, v, ft,, v 1 .... fm* V wi , les intégrales singulières (8) et (12), ou du moins quelquesunes d’entre elles, obtiennent ou des valeurs infinies, ou des valeurs finies,

mais différentes de zéro, les intégrales f (x) d x , f / (.v) d x

sont évidemment infinies ou indéterminées. C’est ce qui arrive toutes les fois que les quantités f,, f a ... f# ne sont pas simultanément nulles. Mais la réciproque n'est pas- vraie, et il pourrait arriver que, ces quantités étant nulles toutes àrla-fois , les intégrales (8) et (12), ou du moins quelques-unes d’entre elles, obtinssent des valeurs finies différentes de zéro pour des valeurs infiniment petites des coefficiens jx, v, /m, v, ...

Ainsi, par exemple, si l’on prend f{x )—

le produit

a/W; s'évanouira pour x — ô, et cependant l’intégrale singulière

Ji */(*) — ' L 1 ^ /(•) 1

IOO cours d’analyse.

cessera de s’évanouir pour des valeurs infiniment petites de v.

Lorsque les intégrales singulières comprises dans ia différence A — B s’évanouissent toutes pour des valeurs infiniment petites de g, quelles que soient d’ailleurs les valeurs finies ou infiniment petites attribuées aux coefficiens fjc, v, /x, , v , . ,. • AW-v„> on est assuré que ia valeur générale de l’intégrale (5) se réduit à une quantité finie et déterminée. Soit en effet, dans cette hypothèse, un nombre très-petit, et supposons g choisi de manière que pour des valeurs de /x, v, /x,, v, .../x w , \ n inférieures à l’unité, chacune des intégrales (8) et (12) ait une valeur

numérique inférieure à ^ La valeur approchée de B, représentée par F, sera une quantité finie qui ne contiendra plus rien d’arbitraire ; et, si l’on attribue aux coefficiens /x, v, /x,, v, ... /x„ t , \ m des valeurs infiniment petites, E s’approchera indéfiniment de A , en demeurant compris entre les limites F — F-\-^. A sera donc compris entre les mêmes limites, et par conséquent on pourra trouver une quantité finie i 7 qui diffère de A d’une quantité moindre qu’un nombre donné jv. On doit en conclure que la valeur générale A de l’intégrale (5) sera, dans l’hypothèse admise, une quantité finie et déterminée.

■ Des principes que nous venons d’établir, on déduit immédiatement la proposition suivante.

Théorème. Pour que là valeur générale de ï intégrale (1) soit fuie et déterminée, il est nécessaire et il suffit que celles des intégrales singulières (8) et (1 2) qui se trouvent comprises dans la différence A — B, se réduisent à zéro, pour des valeurs infiniment petites de g, quelles que soient d’ailleurs les valeurs finies ou infiniment petites attribuées aux coefficiens /x, v, /x, , v, ... fx, ni v w .

Exemple. Soit une fraction rationnelle. Pour que l’intégrale

/ +00 f (*) j conserve une valeur finie et déterminée, il sera néces-

saire et il suffira, i.° que l’équation F(x) = o 11’ait pas de racines réelles, 2. 0 que le degré du dénominateur F [x) surpasse, au moins de deux unités, le degré du numérateur f(*).