VINGT-SIXIÈME LEÇON
Intégrales indéfinies.
Si, dans fintégrale définie X f[x)dx, on fait varier l’une des deux
limites, par exemple, la quantité X, l’intégrale variera elle-même avec cette quantité; et, si l’on remplace la limite X devenue variable par .v, on obtiendra pour résultat une nouvelle fonction de x., qui sera ce qu’on appelle une intégrale prise à partir de l 'origine xzzzx 0 . Soit
(.) ^( x )=fj/{ x )d x .
cette fonction nouvelle. On tirera de la formule (ip) [22/ leçon]
(2) éX (x Q ) Z=I o ,
ô étant un nombre inférieur à l’unité; et de la formule (7) [2 3.' leçon]
fX* f{ X W*—f,é f( x ) dx — OU
(3) é^(x-l-ct)— cF(x) = <t/(v—f—0ct).
11 suit des équations (2) et (3) que, si la fonction f(x) est finie et continue dans le voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable a* / la nouvelle fonction éX(x) sera non-seulement finie, mais encore continue dans le voisinage de cette valeur, puisqua un accroissement infiniment petit de „y correspondra un accroissement infiniment petit de c^(a-). Donc, si la fonction f[x) reste finie et continue depuis x—x Q jusqua x — X, il en sera de même de la fonction é^(x). Ajoutons que, si l’on divise par et les deux membres de la formule (3), on en conclura, en passant aux limites,
Donc l’intégrale (1), considérée comme fonction de x, a pour dérivée la fonction f[x) renfermée sous le signe / dans cette Intégrale. O11 prouverait de la même manière que l’intégrale^ * f(x)dx = *f (*) ,
Leçons de M. Cauchy, „ L
considérée comme fonction de x, a pour dérivée — f[x). On aura donc
(5) j;f x ;f(x)<{x=f(x), et ±ff f[x)Jx = -f[x).
Si aux diverses formules qui précèdent on réunit l’équation (6) de la 7- e leçon, il deviendra facile de résoudre tes questions suivantes.
i. cr Problème. On demande une fonction 'or (x) dont la dérivée xsr'/x) soit constamment nulle. En d’autres termes, on propose de résoudre l’équation
(6) 'rsr'(x) = o.
Solution . Si l’on veut que la fonction 'sr(Ar) reste finie et continue depuis * = — 00, jusqu’à xzz.+ oo, alors, en désignant par x Q une valeur particulière de la variable x, on tirera de la formule (6) -[7.® leçon] 'sr ( x ) — 'sr (x„) — (.y —*•<>) -sr' [x 0 H- ô (.v — x 0 ) ] — o , et par suite
(7) “ ■a-{x) — sr(x 0 ),
ou , si Ton désigne par c la quantité constante tât(x q ) ,
Donc alors la fonction 'ar [x] devra se réduire à une constante , et conserver la même valeur c, depuis * =— 00 jusqu’à x — zoo. On peut ajouter que cette'unique valeur sera entièrement arbitraire, puisque la formule
(8) vérifiera l’équation (6) , quelle que soit c.
Si l’on permet à la fonction 'sr(x) d’offrir des solutions de continuité correspondantes à diverses valeurs de x, et si l’on suppose que ces valeurs de x, rangées dans leur ordre de grandeur, soient représentées par .v, , alors l’équation (7) devra subsister seulement depuis x =— 00 jusqu’àx—x, , ou depuis x=a\ jusqu’à , &c.ou enfin depuis
x—x m jusqu a x = -+-oo, selon que la valeur particulière de x représentée par a*o sera comprise entre les limites —00 et x t , ou bien entre les limites a-, et &c.. . , ou enfin entre les limites x m et 00. Par conséquent, il ne sera plus nécessaire que la fonction 'ar(x) conserve la même valeur depuis a* = — 00 jusqu’à x=i-f-oo , mais seulement quelle.demeure constante entre deux termes consécutifs de la suite — 00 , , a 2 . . . x m , H- 00.
Cest ce qui arrivera, par exemple, si l’on prend
.V / \ C 0 -\-Cm C—C 0 *- X , C % - C , x - X x , - Cm- t X - X m
COURS d’analyse.
c* ,' c, , c x ... c m désignant des quantités constantes, mais arbitraires. En effet, dans ce cas, la fonction 'ôr(x) sera constamment égale à c Q entre les limites a=z=— oo, x — x,; à c x entre les limites a'=.v,, .v — x 4 ; &c... ; enfin à c m entre les limites x — x mr x~oo.
Si l’on veut que / ar(x) se réduise à c 0 pour des valeurs négatives, et à c, pour des valeurs positives de a , il suffira de prendre
•sr (*) = ——
2. e Problème. Trouver la valeur générale de y propre à vérifier ïe'quation (n) dy — f (a) dx.
Solution. Si l’on désigne par F (a) une valeur particulière de l’inconnue /, et par F (x)-Hsr (a) sa valeur générale, on tirera de la formule (i i), à laquelle ces deux valeurs devront satisfaire , F'(x)=f[x), F'(x)-^'sr\x)=f[x), et par suite '& , (x)z=l o. D’ailleurs il résulte de la première des équations
(5) qu’on satisfait à la formule (1 1) en prenant y—J^ x f{ X )j x . la valeur générale de y sera
( : i A y—f’fW dx -+-? r W >
Donc
'sr (a) désignant une fonction propre à vérifier l’équation (6). Cette valeur générale de/, qui comprend, comme cas particulier, l’intégrale (1), et qui conserve la meme forme, quelle que soit l’origine a 0 de cette intégrale, est représentée dans le calcul par la simple notation y* f[x)dx, et reçoit le nom S intégrale indéfinie . Cela posé, la formule (1 1) entraîne toujours la suivante
( 13 ) y— Jf^ x ) dx -
et réciproquement, en sorte qu’on a identiquement
(14) d.J f(x)dx =f{x)dx.
Si la fonction F (a) diffère de l’intégrale (1), fa valeur générale de y, ou ff{x)dx, pourra toujours être présentée sous la forme
(15) Jf M ex — F (x) -h •zr (x),
et devra se réduire à l’intégrale (1), pour une valeur particulière de 'sr(x) qui vérifiera en même temps l’équation (6) et la suivante
(. 6 ) &{ X ) = f" 7 (.v) dx = F{x) -+- tr (4
io4 cours d’analyse.
Si de plus les fonctions f(x) et F(x) sont l’une et l’autre continues entre les limites xzzr.Vo, x = X, la fonction d?[x) sera elle-même continue et par suite -sr (x-) = cF(x )— F(x) conservera constamment la même valeur entre ces limites, entre lesquelles on aura ^(x) = tst ( x Q ) , s^(x) — F(x)—s^( Xo )—F(x 0 )= — F(x„), ^(x)—F^)—F{x a ),
Enfin, si dans l’équation (17) on pose x = X, on trouvera
11 résulte des équations (15), (17) et (18), qu’étant donnée une valeur particulière F(x) de y, propre à vérifier la formule (i 1), on peut en déduire , 1 . u la valeur de l’intégrale indéfinie f f[x)dx, 2° celles des deux
intégrales définies^ f[x)dx, X f(x)dx, dans le cas ou les fonctions
/(*), F(x) restent continues entre les limites de ces deux intégrales. Exemple. Comme on vérifie l’équation dy = d en prenant^y=arctangx,
et que les deux fonctions 9 arc tan g x > restent finies et continues
entre les limites x=—00, x—00 , on tirera des formules (15), (1 7) et (1 8) = arc lang x+-sr{x) ,jf ’ = arc tang* ,f o ' ^ = ■ j = o, f 8 5..
Nota. Lorsque dans 1 équation (17) on veut étendre la valeur de x audelà d’une limite qui rend la fonction f[x) discontinue, il faut ordinairement ajouter au second membre une ou plusieurs intégrales singulières.
Exemple. Comme on satisfait à l’équation dy —en prenant y={l ( x *),
si l’on désigne par e un nombre infiniment petit, et par jx y v deux coefficiens positifs, on trouvera, pour x<o,
f X i ^y= J r l (x , ) — J rl[i) = J r!{ X ')i et pour * > o ,
dx
r dx^ r i J — i X J if
• t dx
.cours d’analyse.
