VINGT-SEPTIÈME LEÇON
Propriétés diverses des Intégrales indéfinies. Méthodes pour déterminer les Valeurs de ces mêmes intégrales.
D apres ce qui a été dit dans la leçon précédente , d’intégrale indéfinie (0 J f{x\dx
n est autre chose que la valeur générale de l'inconnue y assujettie à vérifier l’équation différentielle W dy = f(x)dx.
De plus, étant donnée une valeur particulière F(x) de la même inconnue, il suffira, pour obtenir la valeur générale, d’ajouter à F(x) une onction -5r(.v) propre à vérifier l’équation ■sr'{x)~o, ou, ce qui revient au même , une expression algébrique qui ne puisse admettre qu’un nombre fini de valeurs constantes , dont chacune subsiste entre certaines limites assignées à la variable *. Pour abréger, nous désignerons dorénavant par ia lettre G une expression de cette nature, et nous l’appellerons constante arbitraire, ce qui ne voudra pas dire qu’elle doive toujours conserver ia même valeur, quel que soit *. Cela posé, on aura
(3) f f{x)dx = F(x) -h G.
Quand on remplace la fonction F(x) par l’intégrale dcfwlej'J f(.x)dx qui est elle-même une valeur particulière de y, la formule (3) se^réduit à
( 4 ) ff (x) dx = £ * / (x) dx-\-G.
En étendant la définition que nous avons donnée de l’intégrale (t) au cas où la fonction f(x) est supposée imaginaire, on reconnaîtra facilement que, dans cette hypothèse, les équations (3) et (4) subsistent encore. Seulement, la constante arbitraire G devient alors imaginaire en même temps que/(*■), c’est-à-dire, quelle prend la forme yCÇ G et G
désignant deux constantes arbitraires, mais réelles.
Avant d’aller plus loin, il importe d’observer qu’en formant la somme
Life rts de Al. Cauchy.
ce
106 COURS d’analyse.
ou la différence, ou même une fonction linéaire quelconque de deux ou de plusieurs constantes arbitraires, on obtient pour résultat une nouvelle constante arbitraire.
Plusieurs propriétés remarquables des intégrales indefinies se déduisent facilement de l’équation (4) combinée avec les formules (13) [22.* leçon] et (2), (3), ( 4 ), (5) [2 3 . e leçon]. En effet, si, après avoir remplacé X par x dans les deux membres de chacune de ces formules, on ajoute aux intégrales qu’ils renferment des constantes arbitraires , on trouvera, en désignant par a, b, c ... des constantes supposées connues, et par u, v, w ... des fonctions de la variable x,
(5) f audx — a fi ud x ,
f f(u + v-ï-w...) dx=fudx-{-fvdx-t-fnrdx -+-..., / (u—v) dx—fudx—fvdx ,
^ ( f (au-\- bv-t- c w . .)dx—afudx4-bfvdx-\-cJWdx~\-..., f(u^-v/^Z~i)dx=.fudx-*-V~fvdx.
Ces équations subsistent dans le cas même ou a, b, c ... u, v, w ... deviennent imaginaires.
Intégrer la formule différentielle f(x)dx, ou, en d’autres termes, intégrer l’équation (2), c’est trouver la valeur de l’intégrale indéfinie fifi[x)dx. L’opération par laquelle on y parvient est une intégration indéfinie, lé intégration définie consisterait à trouver la valeur d’une intégrale définie, telle
que J' X f[x)dx. Nous allons maintenant faire connaître les quatre principales méthodes à l’aide desquelles on peut effectuer, dans certains cas, la première de ces deux opérations.
Intégration immédiate. Lorsque dans la formule fi{x)dx on reconnaît la différentielle exacte d’une fonction déterminée F[x) t la valeur de i intégrale indéfinie ff[x)dx se déduit immédiatement de l’équation (3). On étend le nombre des cas auxquels cette espèce d’intégration est applicable, en observant que les facteurs constans renfermés dans /(x) peuvent être placés à volonté en dedans ou en dehors du signe j[voyei l’équation (5)].
Exemples . fiadx — a x + C, J {a. + 1 ) x a d x — x^'-h C, f x a dx — -■ ~ n- G ,
dx-.
COURS d’analyse. 107
/V=>V^, f'—p = arc tangx-f- e,J~. 4 = = arc sinx-4-e = <?-*-1 T -arc cosx,
fe‘dx = ''+C, J~.A* (lA)dx-A* e , J'A*dx =-AL. + c, fco„d,=sin X +e, f™*à*=-™*+e,f^= t z ngx +e,f^=- C0lx + e .
Intégration par substitution. Concevons qu'à la variable x on substitue une autre variable Z liée à la première par une équation de laquelle on tire Z—Ç M et x ~Xiz)• La formule (2) se trouvera remplacée par la suivante
W *y =f[x(z)]-x'(z)<tz-
Si l’on fait, pour abréger , flx{z)\x ti) {z)> fa valeur générale de y tirée de l'équation (7) sera représentée par I intégrale indéfinie /f ( z )d z . D ailleprs^cette valeur générale doit coïncider avec l’intégrale (1). Donc, si, en vertu de la relation établie entre x et Z , 011 a identiquement ( 8 ) f[x)dx = {( z )d z ,
on en conclura
(?) ff{x)Jx =/{( z )<J z .
Supposons maintenant que la valeur de / f (g)«/ 2 soit donnée par une équation de la forme
( 10 ) /'((z)ét = f(z)-hO;
on tirera de cette équation
( 11 ) ff(x)dx — $[<p(x)] + e.
Exemples. En admettant la formule (1 o), et posant successivement x±a=7,
ax — l> ~ a = Z' x * ~L~ a ~ —Z> K X ) = Z> C * = Z> sin a-z=z 3, cos.v— Z , on tirera de la formule (11) combinée avec l’équation (5)
/f (xdza)dx = $(x±a)+e , f((ax)dx = lg(ax) + C,ff(^dxz=za$(^'j-*-e,
fxtfx'+a'Jdx— 1 §(V -+- G , fx*-‘ f (x*)dx— l - ê(x a ) G , f{(lx)^ = §(l x )^ c> fe*f(e x )dx=z${e*)+C, /cosxf (s\nx)dx=z$(s\nx)+- G , /sinxf (cosx)Jx=z-.§( cos ÿ+ e [
Ces dernières formules étant combinées à leur tour avec celles qui résultent de 1 intégration immédiate , on trouvera
% fx—a~~'l l ( X ~ a ) ~*~ G 'f( x —a) m ~~ ~ (m-~i)(x-nj m - 1 * + ’ C y f 7+?? = ^ aFC
io8 COURS d’analyse.
fc"dx=-e"+e, fe-“dx=—-e~"-i-e, fcosaxdx= iiaax-ï-C, fimaxdx—— - cosax-hC . a a a a
fp^—nctzngf'y+e, f^=^+e=Kcx+e,f^=-£-+c.
Intégration par décomposition. Cette espèce d’intégration s’effectue à l’aide des formules ( 6 ), lorsque la fonction sous le signe f peut être décomposée en plusieurs parties de telle manière que chaque partie, multipliée par dx, donne pour produit une expression facilement intégrable. Elle s’applique particulièrement au cas où la fonction sous le signe f se réduit, soit à une fonction ei^fière, soit à une fraction rationnelle.
Exemples f dx=f-* 4 -+ Æ = tangx-SbU h- G,
exemples.J 5in * xCOS » x J sin'xcos^x J cos x J sm*x D .
/(a-+-*x-t-cx*-4-.. .)dx=zafdx+bfxdx-+-cfx*dx + ... — ax + b-^ + c --^.. • *+■ C.
Intégration par parties. Soient ü et v deux fonctions'différentes de .y, et u, v leurs dérivées respectives, uv sera une valeur particulière de y , propre à vérifier l’équation différentielle dy=udv-hvdu=uv dx-hvudx , de laquelle on tirera généralement
y — u v -f- G zzz f uv'dx+fvudx ==/udv -+-/ vdu , et par suite / udv = uv — (f v du — G) , ou plus simplement (12) f u dv=:uv—fvdu,
la constante arbitraire —G pouvant être être censée comprise dans l’intégrale f vdu.
Exemples, f 1 (x)dx= xl(x)~fx ~ =x[l (x)— i]-h G, fxe' dx—e* (x— 1 )-+-C , fx œsxdx = x sinx-t-cosx + Cj f xsinxdx——x cps*-+-sin x -hÇ, &c... Nota. 11 est essentiel d’observer que les constantes arbitraires, qui sont censées comprises dans les intégrales indéfinies que renferment les deux membres de l’équation (12), peuvent avoir des valeurs numériques trèsdifférentes. Cette remarque suffit pour rendre raison de la formule
à laquelle on parvient, en posant dans l’équation (11) u = ^ et V—I (x).
