VINGT-HUITIÈME LEÇON
Sur les Intégrales indéfinies qui renferment des Fonctions algébriques.
On appelle fonctions algébriques celles que fort forme en n employant que les premières opérations de l’algèbre, savoir, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, et l’élévation des variables à des puissances fixes. Les fonctions algébriques d’une variable sont rationnelles, lorsqu’elles contiennent seulement des puissances entières de cette variable, cest-a-dire, lorsqu’elles se réduisent à des fonctions entières ou à des fractions rationnelles. Elles sont irrationnelles dans le cas contraire.
Cela posé, concevons que, f[x) désignant une fonction algébrique de x, on cherche la valeur de l’intégrale indéfinie f f[x)dx. Si la fonction f( x ) est rationnelle, on décomposera le produit f[x)dx en plusieurs termes qui se présenteront sous l’une des formes
K ' x — a (x—a) m x — azfl 3/-, (x — azçzfr
u, et, / 3 , A, B désignant des constantes réelles, et ni un nombre entier; puis l’on intégrera ces différons termes à l’aide des équations
= î [A^ç.BY -i)/[(x-ct)V/3 1 ]H-(Z?=h/i/-i)arc tangLl? +C, r [A + BVZT x )dx A=FB /“ ^
dont les premières se déduisent des principes établis dans la leçon précédente, et dont la dernière, tirée par induction de la troisième, peut être à posteriori facilement vérifiée.
Exemples.^)Ï*=A /[M+/ 3 > 2 Z?arc tang^ + C,
Leçons de M. Cauchy . »
IIO COURS d’analyse.
Lorsque la fonction /(x), sans cesser detre algébrique, devient irrationnelle, il n’y a plus de règles générales au moyen desquelles on puisse calculer en termes finis la valeur de ff(x)dx. A la vérité, il suffirait, pour y parvenir, de substituer à la variable * une seconde variable j tellement choisie que l’expression / (x)dx se trouvât transformée en une autre f dans laquelle la fonction f(j) fût rationnelle. Mais on n’a point
de méthode sûre pour opérer une semblable transformation, si ce n est dans un petit nombre de cas particuliers que nous allons faire connaître.
Soit d’abord f(x, j) une fonction rationneIle.de x et de J, jetant une fonction irrationnelle de x, déterminée par une équation algébrique d’un degré quelconque par rapport à J, mais du premier degré par rapport à x. Pour rendre rationnelle et intégrable la formule différentielle f(x, z)dx, il suffira évidemment de substituer la variable j à la variable x. On doit sur-tout remarquer le cas où la valeur de J est fournie, soit par i’une des équations binômes
( 2 ) V — (tf-v-t-Z>):=:o , [û 0 x-\-b 0 )i n — (^*-*-6,) = ° > soit par l’équation du second degré
( 3 ) {a„x-ï-l,)i' — i[a,x-+-b,)i — {aiX-*-h % ) = o,
a, b, vi 0 , à», n,, b,, a z , b z étant des constantes réelles, et « un nombre entier quelconque. Comme on satisfait aux équations ( 2 ) ■ en posant z -(ax- t-if , ou z = -, et à l’équation (3), en posant
- b ,y -b- [a 0 x -t- b 0 ) {ciz* K) i
la X —t— b n
il en résulte qu’on rend intégrable la formule ( 4 ) f [x, (ax-hbf]dx ou f[x.
en égalant à £ le radical qu’elle renferme, et les deux formules
f [ x, ■j/(v7,x-+-A,)‘-i-(<JoX-i-i.) (vi.v-1-â,)] dx,
COURS d’analyse.
en y substituant la valeur de * en £ tirée de l’équation (3), ou, ce qui revient au même, de la suivante
( 6 ) \Z[si ï x-*-b i y+ {aoX-*-b 0 ) [a x x^-b x )z=z [a 0 x+l 0 )i— [n^-y-b,). Concevons maintenant qu’il s’agisse de rendre intégrable l’expression
(7) f [ x, '[Z A x x B x-y-C^\ dx ,
A, B, C étant des constantes réelles. II suffira évidemment d’employer l'équation (6), après avoir réduit le trinôme Ax z Bx -+- C à la forme (a l x-t-b,) z -y-(a Q x-h b Q ) (œ x x-y- b z ). Or, on peut effectuer cette réduction d’une infinité de manières, en choisissant un binôme a\x-y-b l tel que la différence A x x -A-B xÇ — {p } xAr-b t ) x soit décomposable en facteurs réels du premier degré, c’est-à-dire, tel que l’on ait
(8) AbS+CaS—BaJ^^B'—AC >0.
En cherchant les valeurs les plus simples de a, et de b , propres à remplir cette dernière condition, 011 trouvera, i.° si '-B'—A C est positif, rf, = o , b, “ o ; z.° si A est positif, a t =A % b t =o ; 3. 0 si C est positif, b l =C 1 , <7,=o. De plus, comme on aura Ax z -y-Bx-*-C—(A 2 x) z = 1 x (Bx-hC) et Ax l -y-Bx-hC—(C J ) z =x(Ax-hB), on pourra prendre dans le second cas a 0 x-A~ b Q = i , et dans le troisième a 0 x-*-b 0 —x. En résumé, si Ax z -y-Bx-*-C est le produit de deux facteurs réels a 0 x-^-b 0> a X x-y-b z > on rendra la formule (7) rationnelle, en posant
(9) )[a i x+b 1 )z=i{(i.x+bo)z ou = V •
Dans le cas contraire, le radical j/(Ax 2 -y-Bx-y- C) ne pourra être une quantité réelle, à moins que les deux coefficiens A et C ne soient positifs. Dans tous les cas, on rendra l’expression (17) rationnelle, en supposant
si A est positif. y/( Ax 2 -y- Bx -y- C ) — 1 — A 2 x r
et, si C est positif, \((Ax 2 -y-Ex-y-C)=zx^—C 2 ou y/^A-y-B ^ -y-C — 2 1 .
Il est aisé de vérifier à posteriori ces diverses conséquences de la formule (1 6 ). Exemples. On tirera de la première des équations (1 o)
J 1 2 COURS d’analyse.
f^^i[ x +ytt)+e,f^ = i( X +Vtt)-he, &c..
II importe d’observer que, si l’on désigne par f [u, v, h'...) une fonction entière des variables u, v, w..., et par p, q, /'...des diviseurs du nombre entier //, les expressions différentielles
i ) f [*, {<**-*-!>) ï > (* x + b ) '< > (**-+“ b)\..]dx,{[x, (~^) /, * • ; •]
dx
seront de la même forme que les expressions (4), et pourront être intégrées de la même manière. Ainsi l’on trouvera, en posant x = Z *
l-*’) ' d x — 6= — z-+- J rl{i-^zY]-^- G >
Ajoutons que l’on réduira immédiatement les expressions différentielles
M t[x^{a X ^^-by\ X ^-'d X , f [*^.(^^5)
f ^désignant une constante quelconque] aux formules (4), et l’expression
(13) f j\v, (rt 0 x-f-Æ 0 ) a > (a^-hb,)* J.</x
à la formule (7), en posant dans les expressions (12) x^zzizy, et dans l’expression (13) a 0 x ~h b Q =zy z .
Exemples. On intègre ÿ^rzT) ^ x ' en P osant x 2 — y > y—i = Z* » ou simplement .v"— 1 =z* ; et-7^-r> en posant x— 1 =y z , puis
(/+2) * =i—y, ou simplement (x— 1) 4 -J-(x H- i) 1 zzz 3.
En terminant cette leçon, nous ferons remarquer que, dans tous les cas où l’on parvient à calculer la valeur d’une intégrale indéfinie qui renferme une fonction algébrique, cette valeur se compose de plusieurs termes dont chacun se présente sous l’une des formes ( 14) f(x), A.l[((x)] t A .arc tang f(x) ,
f(x) désignant une fonction algébrique de x, et A une quantité constante. Les expressions arc sin xnarc tang ^ ? arc cos x, et autres
semblables sont évidemment comprises sous la dernière des trois formes que nous venons d’indiquer.
COURS d’analyse* 1 1 3
VINGT-NEUVIÇME LEÇON.
Sur ïIntégration et la Réduction des Différentielles binômes, et de quelques autres Formules différentielles du meme genre.
Soient a, b, a i f b,, A, /-t, v des. constantes réelles, y une quantité variable, et faisons y x — x. L’expression (ay x H+b)? dy, dans laquelle dx a pour coefficient une puissance du binôme a y*-h b, sera ce quon appelle une différentielle binôme , et l’intégrale indéfinie
(0 j'[ay K -\-bYdy~ -^-J'{ax-+-b)P x~*~' dx
sera le produit de par une autre intégrale comprise dans la formule générale
(2) f(ax-hb)* (a.x-^b ff dx ,
dont nous allons maintenant nous occuper.
On détermine facilement l’intégrale (2), lorsque les valeurs numériques des exposans ja, v et de leur somme -4- v se réduisent à trois nombres rationnels, dont l’un est un nombre entier. En effet, désignons par l, m, n des nombres entiers quelconques*. Pour intégrer les expressions différentielles
{ ax -\-b) ±/ (tfjX-l-Æ,) ± " dx, {ax+b)~ » {ûjX-hbJ dx, [ax-^b) [a t x-\-b s ) ^"dx, il suffira de poser successivement [voyez la 28.® leçon]
7 ' ax-\-b „
a t x —J— b , zi * nx —1— b — z t x \ b — — 2 •
La formule (ax-±-b)r(a ,) v dx 11’étantpas toujours intégrable, il est
bon de faire voir comment on peut ramener la détermination de l’intégrale (2) à celle de plusieurs autres intégrales de même espèce, mais dans lesquelles les exposans des binômes ax-\~b , a^x-Y-b x ne soient plus les mêmes. Pour y parvenir de la manière la plus directe, on aura recours
Ltçsm de M. Cauchy. £ g
I l 4 COURS d'analyse*
à Téquation (12) [27.® leçon] que l’on présentera sous la forme (3) / uv .-^dHy) — uv —/ uv,~dl{u)
puis ion supposera les fonctions m, et v respectivement proportionnelles à certaines puissances de deux des trois quantités
c H— b, ci , .y H— b , f
ax-\-b
Comme ces trois quantités, combinées deux à deux, offrent six combinaisons différentes, on voit que la formule (3) donnera naissance à six équations distinctes. On simplifiera ie calcul, en opérant comme si u et v devaient toujours rester positives , et réduisant en conséquence la formule (3) à cette autre
(5) f uv .dl (v) = uv — fuv.dl{u)y
puis ayant égard aux équations
dl[ax+b)=~ b , dl[a x x -t-*J
a k dx ax-\-b \ (abj — a t b)dx
a l x-\-b’ r * / (ax-\-b) ( 4 ,*-+-^) r
desquelles on tirera la valeur de dx pour la substituer dans l'intégrale (2)» Concevons que, pour abréger, on désigne par A cette même intégrale. On trouvera ,
i.° en supposant u proportionnel à une puissance de ax-\-b, et v à une puissance de a.x-^-b ^,
. Jdx-\-bY(a x-\-b )*+* , . Adx-i-b)* . . , j ,,
A —J -—- dl[a v x+b t )=f K —-j- [a l x+b l )’+\dl{a,x-+-b l )'+'
(ax-t^b) ft [a i x^‘b r ) , + 1
*by(a l x-+-b i y-
dl[ax--\-by ,
\f [dx by 1 [A t x-+-b,y+' dx ,
2. 0 en supposant u proportionnel à une puissance de a,xA-b^ et v k une puissance de ax-\-b r
(?) f {ax-\-by[a t x-\-bi)'dx — -—-— '^‘1 — r~~ —/(<**-+-£) {a t x-+-b i y-' dx,
3- è en supposant u proportionnel à une puissance de et v à une
puissance de a t x -\~b k ,
A — r ( ax + b Y(‘ L i x -*-b t )'+' , , r ( Y ...
A ~J~- — r t - dl{a ‘ x+6 ' )= J \^rJ
(ay-H^fcjX-H^,) »-H -{ax-t-b )' 1 (a.x-^-b^ )»-H ^ / ax-f-£ \ *
'H- 1 ^(tfx-l-Æ)' 1 (tf,x
(^-t-r-M)tf f (/t + K +
At( ab x —a x b) r . fv
4*° en supposant u proportionnel à une puissance de puissance de ax-\-b,
- > et v a une
(9) f{ax-t-b) fi (a l 'x-hb j ydx
(tïx-+-£)M-» (a,x-k-b t )* y(a,b — nb t )
f(ax-\rby (atX-bb,) — 1 dx *
1 (/*-i-H-i)a (^-hf + iK ' ' v * *' *
5. 0 en supposant a proportionnel à une puissance de a t x -i-b lf et v h
. , ax-±-b
une puissance de -■ >
^ /• ( dX ~^) fH " t ( a i^^l)* 4 ' r ^; / dX+fl \ /•(<I 1 5 f+^ l ) "•+•’+* / < 7 X+£ V 1 ** ,.4 V 4 *»
a ^i ^ \j,x 4 -^,J yd^xH-^Ji
(<Jx-b-Z>)i“~t ~ 1 (d ,x-+-£ t ) , + I /•(d* + ^) ,H ' t
(/4-hi )(a-b l —û,^) (ytc-i-x) [ab l — a t b) d l [a x x-\-b 1 )^+ t
- d I (tf jX-X-ÆjJM-»-*-* >
( 1 o) f{ax+b\** [a, x-hb , ) ’ dx =
(ax+b) f, + t ((î,x+^)’+ I
- (^1 ){ab t - ai b) [fx+\)[ab 1 -a 1 b) J ^
