en supposant u proportionnel à une puissance de ax

. r ax -h b

une puissance de —■• — ■ -- »

■/(ax-h^)^- 1 {a x x+b,ydx, e + et v à

[il) f [ax+by (a x x+b t )’dx:

[ax-\-by'^ x [a l x+b l )

(y-i-i)(a t b — ab x \ [v-^i)[a l b—ab l )

f[ax+by [a 1 x+b 1 )’+ l dx.

A laide des formules (6), (7), (8), (p), (10), (11), on pourra toujours remplacer l’intégrale (2) par une autre intégrale de même espèce, mais dans laquelle chacun des binômes ax-\-b, a x x-\-b x porte un exposant compris entre les limites o et —1. En effet, il suffira, pour y parvenir, d’employer une ou plusieurs fois de suite les formules (8) et (p), ou du moins l’une d’entre elles, si les exposans fx, v sont positifs, ou si, l’un d’eux étant positif, l’autre est déjà compris entre les limites o et — 1. Au contraire, on devra employer les formules (10) et (t 1), ou du moins l’une d entre elles, si les exposans [x, v sont tous deux négatifs. Enfin,

si, l’un des deux exposans étant positif, l’autre est inférieur à ■1 , on

fera servir la formule (6) ou la formule (7) à la réduction simultanée des

I 1 6 COURS d’analyse,

valeurs numériques de ces deux exposans, jusqu’à ce que l'un deux se change en une quantité comprise entre les limites o et —i.

Lorsque les exposans /ul, v ont des valeurs numériques entières, alors, en opérant comme on vient de le dire, on finit par les réduire 1 un et l’autre à l’une des deux quantités o et — i. Cette réduction étant effectuée , l’intégrale ( 2. ) se trouve nécessairement remplacée par l’une des quatre suivantes

j / ix = x ^ e J^b^^ ax ^'^ e ’f^T, = £■'!(«.*+b.)‘+C.

12 ) r dx — 1 Ca\[ ax ~^ b \ = 1 1 ( ax ~*~ Y-hC.

( J {ax-+-bj(cL l x-+-b l ) ab—a x bj \a t x-+-b x ) ^{ab^ajb) \ a J x-+-b 1 J En général, toutes les fois que la formule (ax-+-b)^ ) v dx sera

intégrable, les méthodes de réduction ci-dessus indiquées permettront de substituer à l’intégrale (2) d’autres intégrales plus simples dont il sera facile d’obtenir les valeurs.

Si l’on veut appliquer les mêmes méthodes à la réduction de l’intégrale (1), il faudra supposer dans la formule (5) les quantités 11 et v proportionnelles à certaines puissances, non plus des quantités (4)» niais des suivantes

. , .j ax b a y* b

(13) ax-\-b — a y 1 -f- b , x=y , — -=——-

Exemple. Concevons qu’il s’agisse de réduire l’intégrale

11 désignant un nombre entier supérieur à l’unité. On supposera u et v proportionnels à des puissances de y % et de -£-\ et, comme on aura

-±-)dy=-

2 dy

on tirera de la formule (5)

/(i-t-r)-- 1 / >(■-*-/)— ».-h\ = y Ç. il .

2(n —1) J 2 .[n — 1) V • 2(n— 1 2fi-2j