TRENTIÈME LEÇON

J;//- ^ Intégrales indéfinies qui renferment des Fonctions exponentielles, logarithmiques ou circulaires.

On nomme fonctions exponentielles, fonctions logarithmiques , celles qui contiennent des exposans variables ou des logarithmes, et fonctions trigonométriques ou. circulaires, celles qui contiennent des lignes trigonométriques ou des arcs de cercle. Il serait fort utile d’intégrer les formules différentielles qui renferment de semblables fonctions. Mais on n’a point de méthodes sûres pour y parvenir, si ce n’est dans un petit nombre de cas particuliers que nous allons passer en revue.

D’abord , si l’on désigne par f une fonction telle que l’intégrale indéfinie f ait une valeur connue, on en déduira les valeurs de

(0 f e * /cos.v .f(sin*)^*, f sin x . f (cos x) dx,

en posant successivement, comme dans la 27/leçon , /(x) = £, e x z=:^ sin x=i, cos*:=:£. On déterminerait de même les trois intégrales

(2) J\ (arc tang x) -~~p .> f^rcûnx)^—, /['(arccosAf)-^^,

en posant, dans la première, arctang* —£, et dans les deux dernières, arc sin * = £ ou arc cos * — £.

Observons encore que, si l’on désigne par f(a), f (u, v), f (u, v, v...); des fonctions algébriques des variables u, v, w . . . , il suffira de faire e* — z, pour rendre algébrique l’expression différentielle renfermée sous le signe f dans l’intégrale

( 3 ) /{(e’)dx,

et cosx=zz ou sin* = 2, pour produire le même effet sur les deux intégrales

(4) /f (sin*, cos*) A, fi (sin*, sim*, sin 3 * ...cos*, cos 2 *, COS 3 *..

Leçons de M. Cauchy. „ f

i,8 cours d’analyse^

<!ont la seconde n’a pas plus de généralité que la première, attendu qu’on peut y remplacer les sinus et Cosinus des arcs 2X1 3 x, 4 x • • * par leurs valeurs en sin x et cos x, tirées des équations de la forme cos/;x^'/^Tsin/;v= (cosx-t-y’—isinx)*, co&nXrV— isînnx (cos.v-V / — isin.v) Ajoutons que , si, dans la première des intégrales(4), on égale sin.v, non pas à 1, mais à ±2^, cette intégrale prendra la forme très-simple

(j) Jî[±v. (i-z) t ]

On aura, par exemple, en désignant par /a-, » deux quantités constantes,

(d) / sin ^ ,v. cos ' .v. =±4- / ( 1 — j) "T

Remarquons enfin, qu’en supposant connues les valeurs des intégrales (3) et (4), on en déduira facilement celles des suivantes

(8) /f (sinix.cosAv)aîv,/f^sinix.sinaix.sinjiv.., vasbx,casïix/cos}ix..)dx puis qu’il suffira de diviser par a , ou par b , tes fonctions obtenues, apres y avoir remplacé x par ax, ou par bx.

Soient maintenant P, z deux fonctions de *, dont la première reste algébrique, et dont la seconde ait une dérivée algébrique z • Si, en posant /Pàx — Q, fQl'dx = R, /Rz'dx = S , xm obtient pour Q, /?, S ...» des fonctions connues de la variable x, on déterminera sans peine, à l’aide de plusieurs intégrations par parties,

{9) fPz k dx>

n étant un nombre entier. En effet, on trouvera successivement

fPl'Jx^Qf-n/Xlz-Z^X'

&c.. . . , et par suite,

(10) fPz a Jx = Qf-«Rz 9 -' +n[n-i) —+ &

Lorsque la fonction z se réduit à un seul terme, elle se présente nécessairement sous l’une des deux formes [voyez la 28.® leçon ]

/4/[f(.v)], A arc tang f (x),

A désignant une quantité constante, et f(x) une fonction algébrique de x.

Exemples . Si l’on suppose la fonction P réduite à l’unité, et la fonction 1 à lune des suivantes /(*), arc sin .v, arc cos a*, &c.,

on tirera de la formule (10)

( 11 ) f{lx) n dx =£

(12) /(arc sin *)"</* =

, . \ yi ( n/fe »(«—«)* }

( arc sin x) { x-i-:--: rr-7 — n— ">

v ' ( arcsm* (arcsinx)* (arcsmx)* J

(ij) /(arc cosx) n dx z=z

(arc cos x) |x arc cos x (arc cos x ) 1 ( arc cos x ) 1 / *

(i 4 ) /[/[«-MPHifrfjris:

r // . /-n«i., . n{n—i)x rt[n-\){n-z)y/P^l . î . ^ jc^

[./(*+VTïr)] j *** ïï^H^+r)! 7 '*•••• S•

Si l’on supposait P=x"~', et z =l[x), on trouverait

Lorsqu’on substitue les formules qui précèdent deviennent

( arc sin x) " j x-h ■

(arc cos x)* j x-

(17) fz"cQs Z Jz=Z n { sin z[i—••] -+- cos z[£ — " ( ” ^ ( " ' ) J-t-C,

(18) —/^” sinj^ = j” | cos 2 [ t —-*-••] — sin z [ ^ - -K .]}-t- C,

7 n e n f u nln — i) 0 . n[n— .i. 1 1

M { ,---H -T^-Scc..^ --| + ft

On pourrait établir directement ces dernières formules, à laide de plusieurs intégrations par parties que Ton effectuerait de manière à diminuer sans cesse l’exposant //, pour le faire enfin disparaître. Ainsi, par exemple, la formule (20) se déduit des équations

[ii )h n e°T-Ji=££-2fc'

COURS d’analyse.

Une remarque semblable s’applique à toutes les intégrales que ion déduirait de l’intégrale (io) supposée connue, en substituant z à x. L'intégration par parties peut encore servir à fixer les valeurs de

(22) fi” e a ^ cos /z n e al sin

a, b, désignant des quantités constantes, et n un nombre entier. Ainsi, par exemple, on obtiendra les valeurs générales des deux intégrales fe** cos bz^Z» f e aL s'm bz ^Z* en ajoutant des constantes arbitraires aux valeurs de ces mêmes intégrales tirées des équations

f e dl cosbidi = -— f e“i s j n b^d^, f e al sin b% d^ = -—j / e“ l cos b^d^.

Au reste, la détermination des intégrales (22) peut être simplifiée par le moyen des considérations suivantes.

Comme on a [voyez la fin de la cinquième leçon] d [cos x -\r- }/ —1 sin x) = (cos.y-H Y —1 sin x)dx j/— t , on en conclut

(23) d[e ai (cosbz-*-Y^ïsmbz)~\ = (a-+-bY^î) e a ^ (cosÆg-t- V ^7 sin bz)d£,

( 24 ) /£^(cosij-t-/r7 s\nbz)dz= + e,

C admettant des valeurs imaginaires. Cela posé, il est clair que les formules (2 1), et la formule (20) qui en est une suite nécessaire, subsisteront encore, si l’on y remplace l’exponentielle e at par le produit e ai [cosbz H- -]/—\ sin bz), et le diviseur a par a-\-b Y —1. On aura donc

V a + byf-t \ (a+bÿ-Ji — («+V-7)v!

Si l’on ramène le second membre de cette dernière équation à la forme « et v désignant des quantités réelles, ces quantités seront précisément les valeurs des intégrales (22). Les deux formules qui détermineront ces valeurs, comprendront, comme cas particuliers, les équations (1 6), (17), (18) et (20). De plus, elles entraîneront l’équation (ip)/ et se réduiront, si l’on suppose « —o, aux deux suivantes

{16)fe* 1 cos b z j z = sin b Z J Z =f

COURS d’analyse.