TRENTE-UNIÈME LEÇON

Sur la détermination et la réduction des Intégrales indéfinies, dans lesquelles la fonction sous le signe f est le produit de deux facteurs égaux à certaines puissances du sinus et du cosinus de la variable.

Soient /a. , v deux quantités constantes , et considérons l’intégrale ( i ) f sin ^ x . cos 1 x dx.

Si l’on pose sin'x'

ou sin,v:=r±£ 2 , cette intégrale deviendra

Donc elle pourra être facilement déterminée [voyez la 2p. e leçon], lorsque les valeurs numériques des deux exposans^> ~r et de leur somme~ >

se réduiront à trois nombres rationnels dont l’un sera un nombre entier. C’est ce qui arrivera nécessairement toutes les fois que les quantités /x, ï auront des valeurs numériques entières.

Dans tous les cas, ôn pourra du moins ramener la détermination de l’intégrale (i) ou (2) à celle de plusieurs autres intégrales de même espèce, mais dans lesquelles les exposans de sin x et cosx, ou de £ et 1 — Z> ne seront plus les mêmes. Pour y parvenir, il suffira d’employer de nouveau la formule (5) de la 2c?. e leçon, savoir,

(3) f uv .dl [v) — uv — fuv.dl(u),

en supposant les fonctions u, v proportionnelles à certaines puissances

de deux des trois quantités £, 1 —Z » ou, ce qui rev ^ ent au même, de deux des trois suivantes,

sin x , cos x ,

— tangx =

Concevons, pour fixer les idées, que l’on veuille réduire l’intégrale (1). On commencera par substituer dans cette intégrale la valeur de dx tirée de l’une des équations

Levons île M. Cauchy. ~

122 COURS d’analyse.

( 5 ) dlsinx— , dl cos.v= — uax,t * <//tang.v=—<//cot* = ——■— »

SIn * cos x 0 sin x cos x

puis, Ion conclura de la formule (3), i.° en supposant# proportionnel a une puissance de sinx, et v à une puissance de cosx,

/sin**cos ’ xdx=f— sin*~ l xcos’ +I x dlcosx = f — ——- cos’^'x J/cos’^'x

J J f-hi

sin*—*x cos’+’x r sin* -1 x cos’-* -1 x ,, .

=--- -+- / - # / sin x-,

-" Ix cos’ +I * . 1 r-~*-> xcos ’+> x d x;

( 6 ) /sin*x cos’x */x= — -

-^/sir

2. 0 en supposant # proportionnel à une puissance de cosx, et v à une puissance de sin x-,

sin^H-»x cos’—*x k—1 . „ ,, ,

C dx;

- /sin"

2 x cos'

(7) /sin^x cos’x dx = -