JU.-+-I /4-HI

3 *° en supposant # proportionnel à une puissance de tangx, et v à une puissance de cos x-,

J sin' 1 * cos' x dx —f— sin' 1 1 x cos’ +t x dl cosx =/

'^coft^/(

sin'*— 'x cos’+’x .. sin*— 1 x cos’-^x ,,

h J - - —;—d/tang* x-.

{8) / sin^x cos’x- dx = *

ytt-H K

f sin' 1 2 x cos’ x- dx ;

4 *° en supposant # proportionnel à une puissance de cotx-, et v à une puissance de sin x ,

(9) fsin M x cos’x dx =-—- -+- -—~ f sin* x- cos’“ 2 x dx ;

^-+-F /i-hF J

5* en supposant u proportionnel à une puissance de cosx, et v à une puissance de tangx,

/sin*xcos'x dx =/sin fl+t x cos ,+t x dl tangx- = tan g u+ ’- v ^ tang“ 4 ' .v

sin^+'xcos’+'x r sin*+*x cos’+'x

-ÎTï-/-^- dlcos

’x dx ;

(10) fs\n'xcos’xdx = s ^ lxcos ’ + ' x + ^+ 2 f s In^xcos

6 . en supposant u proportionnel à une puissance de sinx, et v à une puissance de cot a* ,

COURS d’analyse.

/ \ r . , J sinM-xxcos’-Hx AC.-4 -k-4-2

(irj / sin^xcos xrfx =-1- —

/sirT* cos’"*" 2 x dx.

A i ai Je des formules (6), (7), (8), (9), (10), (11), on pourra toujours transformer l’intégrale (1) en une autre intégrale de même espèce, mais dans laquelle chacune des quantités sin x , cos x, porte un exposant compris entre les limites — 1, h- i. En effet, pour atteindre ce but, if suffira d’employer une ou plusieurs fois de suite les formules (8) et (9), ou du moins l’une d’entre elles, si les exposans f* et v sont positifs,

ou si, l’un d’eux étant positif, l’autre est compris entre les limites o,r.

On devra au contraire employer les formules (10) et (11), si les exposans f* et v sont tous deux négatifs, ou si, l’un d’eux étant négatif, l’autre est compris entre les limites o et 1. Enfin, si, l’un des deux exposans étant positif, mais supérieur à l’unité, l’autre est négatif, mais inferieur a 1 , on fera servir la formule (6)' ou la formule (7) à la réduction simultanée des valeurs numériques de ces deux exposans , jusqu’à ce que l’un d’eux se trouve remplacé par une quantité comprise entre les limites — 1 et 1.

Dans le cas particulier où l’on suppose jm-hv—o, les équations ( 6 ) et (7) deviennent

( 12 )fta.ng^xdx— -J2:, * —/iang''- 2 xdx,fcot’xdx=—^}^ —fcot’-'-xdx.

Lorsque les exposans f* et v ont des valeurs numériques entières , alors, en opérant comme il a été dit ci-dessus, on finit par réduire chacun d’eux à l’une des trois quantités -t-i, o, —1, et l’intégrale (1) se trouve nécessairement remplacée par l’une des neuf suivantes

/ dx—x-\-e, fsïuxdxzz :— cosx - h £, / cos xdx — sïnx-\-G f fsinxcosxdx=\ûn x x-\-C /“r-ito+e,/™* 4 --— r Jx

■co sxdx r

= {lsJ dx

sia x

cos x sin*

/ dx r {Jx / -dx r d[x-^{-x\ .

^Tx-J sin^cosf ang aH ~ 'J co sx~~J sin — ï* tan g*(;-»-;) H- G .

Si l’on applique ces principes à la détermination des intégrales

fsin n xdx , fcos'xdx, f* — * . dx, f dx, C C

J cos * J ™ * ' J cos", » J -^7».

n étant un nombre entier, on trouvera, i.° en supposant n pair„

21 tang 2 x H- C f

/*»*« * --^1 éa-k+ — sin-'x-t-.-v- M 4 >-»>fr') .j,, } ■■?-(«-»)(►■) f

/cos-xA = + S ' cosx

/tangWx- - tang "* ■ i . tan g”: 5 l.

- . cot" - ’* cot"“ 3 * cot" î x

/cot X rfx =— --1-

&c.. • . ± tang x * H- <? ,

: cot x qr x -4- <? ,

/“ » sin * ( n— 1 ^ ^ ,-3 2.4 • • • (#—” 4 ) 2 .) J

/sec n x r= - sec x -H- sec* 3 x - 4 - .. .h ---i- L sec x > -+- C ,

r n J COSXf »!— 2 „ , 2 . 4 ... (b—4)(b— 2 ) 1

fcosec x dx = -cosec" x -4 -cosec " -3 x -+-... h- 2 -— 2 Ü-i C osec *}-+-(?,