TRENTE-DEUXIÈME LEÇON

Sur le passage des Intégrales indéfinies aux Intégrales définies .

Intégrer l'équation (0 dy =f(x) dx ,

ou l’expression différentielle f(x)dx, à partir de x — x„ » c’est trouver une fonction continue de x, qui ait la double propriété de donner pour différentielle f[x)dx, et de s’évanouir pour x=x c . Cette fonction, devant

être comprise dans la formule générale / ftx)dx = f*f (x) dx -h G , se

réduira nécessairement à l'intégrale J* x f[x)dx, si la fonction f [x) est

elle-même continue par rapport à x-, entre les deux limites de cette intégrale. Concevons maintenant que, les deux fonctions <p (x) et^(x) étant continues entre ces limites, la valeur générale de y, tirée de l’équation

(1) , soit présentée sous la forme Ç> (x) -f -f ^{x)dx. La fonction cherchée

sera évidemment égaie à Ç> (x) — <p (x 0 ) X (x) dx. En partant

de cette remarque, on verra sans peine ce que deviennent les formules établies dans les leçons précédentes, lorsqu’on assujettit les deux membres de chacune d’elles à s’évanouir pour une valeur donnée de x. Ainsi, par exemple, on reconnaîtra facilement que les équations (p) et (12) de la 2 7.* leçon , savoir, f f [x) dx — f f (<;) di , et f udv -=uv — J v du ou fuv'dx = uv—f vu dx entraînent les suivantes

(2) fif(x)Jx=fil( z )d z , et (Ÿ) J~y uv <tx=uv—vu Jx,

1u 0 et v Q désignant les valeurs de £, u et v correspondantes à x^z:a* 0 . Si dans les formules (2) et (3) on pose xzzzX, on trouvera, en appelant Z, U, V les valeurs correspondantes de £, u, v,

( 4 ) fi f[x)dx=fi[{ Z )d Z , et (5) fi uv âx-UV-u.v.-fi vu dx. Les équations (4) et (5) sont celles que l’on doit substituer aux formules

Leçms de M. Cauchy. f {

I 26 COURS d’analyse.

(?) et (12) de la 2j. e leçon, lorsqu’il s’agit d’appliquer l’intégration par substitution ou par parties à l’évaluation ou à la réduction des intégrales définies; tandis que les intégrales de cette espèce, déduites de l’intégration immédiate ou par décomposition, sont données par la formule (18) de la 2.6s leçon, ou par la formule (2) de la 23.®. Ces principes étant admis, les méthodes exposées dans les leçons précédentes pourront servir à déterminer un grand nombre d’intégrales définies , parmi lesquelles je vais citer quelques-unes des plus remarquables.

Si l’on désigne par m un nombre entier, par a, / 3 , f/,, v des quantités positives, par et, A , B , C . . . des quantités quelconques, enfin par e un nombre infiniment petit, on tirera des formules établies dans les -27- e et 28. e leçons

~ ax dx = - OO dx

fo ' e ' xdx ='’f„°°‘‘ Xdx =°°’£

C 1 (A-\rBx+Cx l ...)dx=A-\-~ f 1 — -4-- 4 - / °° = -

J o 2 J J 0 x — 1 2 3 m J o i-hjr a

/ OO dx t 7 7 x dx 7/i\ /* T xdx /~ a dx t

-OO -a 1 a ’ J j x z -\-a~ V y J 9 J j x 1 -+- a 1 ’J o y/[a z — x 1 ) 2 9

/ CO dx t /* TT (*— a.) dx / fJL \ /» T (x — ec)d.

( A — By /-7 A-\-By/~i \

! j — , A l (Üt\ C '

jA- — By/ — t ^ A+By/ — 1 |

>—a—$/, 1 *—a+Æ/Hrl

--i/*t 1 - J -J-j. fi JJ J /

\x-ct— P>y~i X-CL+P>yz ri

De plus, si l’on représente généralement par —une fraction rationnelle dont le dénominateur ne puisse s’évanouir pour aucune valeur réelle de x, par x z , &c.. . . les racines imaginaires de l’équation F (x) — o, dans lesquelles le coefficient de j/—i est positif, et par

A,—B, V-\ , — 1 , &c... les valeurs de la fraction - F ^ c °f'

respondant.es à ces racines, on obtiendra la formule

Le second membre de cette formule cessera de renfermer le facteur arbitraire /fyj ? et l’on aura en conséquence

+ oo f(*)

COURS d’analyse.

dx — 27 T ( 5 , -t-ZJj-t-..;

toutes les fois que la somme /f, -hA z -h 8 cc.. . s’évanouira. Or, cette condition sera remplie, si le degré de F (a-) surpasse au moins de deux unités le degré de f (a:). On arrive au même résultat, en partant de la remarque qui termine la 2$. e leçon.

Si le degré de la fonction F(x) surpassait d’une unité seulement celui

de f (a-) , l’intégrale ^ x deviendrait indéterminée, et sa va¬

leur générale, donnée par l’équation (6), renfermerait la constante arbitraire — • Mais, en réduisant cette constante arbitraire à l’unité, on

retrouverait l’équation (7), qui, dans ce cas, fournirait seulement la valeur principale de l’intégrale en question. Ajoutons que cette valeur principale resterait la même, si, outre les racines imaginaires x, x \, &c. , l’équation F (x) = o admettait des racines réelles. La raison en est

que toutes les intégrales de la forme ~ ~z^ a ont des valeurs principales nulles.

Exemples . Soient m et n deux nombres entiers, m étant </;. Si l’on

fait-zz: a, on trouvera

/ OO X im dx 2 T . . , .1 TT TT

-= — sin^T-f-sin 3 ait sin ( 2 n— iIût =— : -—— -—

-00 I-H* 2 " 28 L J nsiaa-r » s inLül±i 2 l y

On en conclut, en posant z=x zn ,

( 8 ) r^^L=znr°°^=nr°=fZ± = ^,

' ' J o 1 -h 1 J o 1-ï-X J —CO i-h* sin a tt

De même, en réduisant chaque intégrale indéterminée à sa valeur principale, on trouvera

r CO x zm dx 2 T r. . . . , , 7

/ --= — sin 2<Z7r-i-sin4d7r-fc-.. .H-sin(2/!— 2 )< 2 x = -

J - ca i—* 2,1 L J *

«tatigax

a tang -

J o 1 — l J o 1—.v*" J— 00 «—■**" tang a 7 r*

On déduira encore des formules établies dans les 2p. e et 30* leçons

/ "* 00 x m ~ ' dx m -1 P'OQ x m ~ 1 dx __ (ffl-t),..3.2.l f' CO dx __ I.».^..(w- l )x 1 .2.^..f8-w-i)

O (i+*) a ~ H-mJ o [i+x) n (n-m)..{n-})[n-i) J o (1-+-*)" "™ i .2.3.... (*-.) *

/ ' CO dy 2»—3 r OO dy 1 . 3 . ;.. . (28—3) /' OO dy 1 . 3 . ;... (28— 3) x

„°° f o œ z"*^Jz= °° ï ‘-‘Hcoét+smy'-,®^ - . ,

f o °° Z -'-«co cos[(»H-.)arcta.gi] ) ^ <W^= -±j; ,

f °° î "f-* t sin tz^Z— sin[(n-f-l)arctang‘], f C °«-'îsin<j^=i,

Enfin, on tirera des formules établies dans la 3 i . e leçon, 1.° en supposant // pair,

f* * ^ sin" xdx = M-T—(” ') * — /* * T cos" Ç ** tang n xdx = -h...q= - ± i qp - ,

Jo 2.4.6...;/ 2 Jo Jo «- 1 ff '3 3 4 .