TRENTE-TROISIÈME LEÇON

Différenciation et intégration sous le signe f Intégration des formules différentielles qui renferment plusieurs variables indépendantes .

Soient x, y deux variables indépendantes, f(x,y) une fonction de ces deux variables, et x 0 ,X deux valeurs particulières de x\ On trouvera, en posant Ay=<t</y, et employant les notations adoptées dans la i 3. c leçon,

f, X f d * X f{*>y -I- *y) dx —£ X f{x,y) dx —g x A, f{x,y)dx,

puis, en divisant par ctdy, et faisant converger et vers la limite zéro r

~d?fx 0 dx ' On aura de même

w -if.: 4 *'-

II suit de ces formules que, pour différencier par rapport à y les intégrales J~ x * f{ x »y) d*>J~ Xo A*,y)dx, il suffit de différencier sous le signe f la fonction f (x, y). Il en résulte encore que les équations

(3 ) > *. = * 00 ,f */(*■?) J* - H*, y), f.f(*,y ) dx=S(x, y ) e,

entraînent toujours les suivantes

(4) r XJ Jp^dx=^,r xd IpAjx= d JM,rVM dx= iÉhyi+ e

W JxO dy dy J Xa dy dy J dy d y 6 ’

Jx o dy n dy J Xo dy dy n J dy ■ jy ~*~ C '

Exemples. En différenciant n fois de suite par rapport à la quantité a chacune des intégrales

/ dx rco dx r r <x> , r co

Æ’/o 7TaiJ‘ dx ’ J o ‘ d *> J. on trouvera

f'UX : ynd !L ± ^ b arclan fo) ^ e f co dx ± , d-fg ;

J (**■+*)•+« dû" ’J o ( X »-+-a).+l 2 t/tf" -

fx-'~' d x=± d :±ï''*"^r r~.

dt M. Cauchy,

COURS d’analyse.

I%“) / r = n Ou-1 I ) T [y,

Concevons maintenant que la fonction f (à*, y) soit continue par rapport aux deux variables x et y, toutes les fois que x reste compris entre les limites x 0 , X, et y entre les limites y ot Y. Il est aisé de voir que, pour de semblables valeurs de x et de y, la seconde des équations (3) entraînera la suivante

d y=fYf> x J^^ dxdy -

En effet, on tirera de la formule (2) ~gyj~ x X ^ f{x,y)dydx=zj' ’f[x>y)dx,

puis, en multipliant les deux membres par dy, et les intégrant par rapport à y, à partir de y=m o , on retrouvera la formule (6). On aura par suite

(7) f*f,’.?*■*& *=/,.%. Xf{ *’ y> dxdy £. X. i dx ={] r f J/***#>

Il résulte des formules (6) et (7) que, pour intégrer par rapport h y, et à partir dey—y ot les expressions f/f [x, y) dx, f(x, y) d x, multi¬

pliées par la différentielle dy, il suffit d'intégrer sous le signe f, et à partir de y= y ot la fonction f[x,y) multipliée par cette même différentielle» Souvent l’intégration sous le signe /, fait connaître les valeurs de certaines intégrales définies, quoique l’on 11’ait aucun moyen d’évaluer les intégrales indéfinies correspondantes. Ainsi, quoique l’on ne sache

pas déterminer en fonction de à: l’intégrale indéfinie J' J—^LJLüL

[/**, v étant deux quantités positives], néanmoins, comme on a généralement, pour des valeurs positives de

(8) f ' x^~ x dx ~ ~y

on en conclut > en multipliant les deux membres par dpi , puis intégrant par rapport à pi, à partir de fx — v,

Parmi les formules de ce genre, on doit remarquer encore celles que nous allons établir.

COURS d'analyse.) 131

Si ion désigné par a, b, c des quantités positives , une intégration sous le signe f, relative à ia quantité a, effectuée à partir de a — c, et appliquée aux intégrales définies

( 10 ) Ç °°e~**dxzz-y

v 'JO a 1 J o a'+i 1 Jo >

produira les formules

- sin bx dx = arc tang - — arc tang ,