d* sin bx

desquelles on tirera, en posant c—o et azzioo ,

. . r 00 dx r^.dx r

( I2 ) /„ T^ 00 ’ J O c0 si x — =oc,J o

De plus, comme on a, pour des valeurs positives de b [voyez la 3 2. c leçon], fo et par suite

on en conclura, en supposant a et positifs, ainsi que Æ — a,

(j7 ) r~j^* __TM r °° r ^-« c -t 7 , — TV) ?(*-*) .

U3) Jp (i-Hrp . T[b)Jo Z \ —

îm+r 2 « 1

puis en faisant b=i , prenant pour a un nombre de ia forme —

et ayant égard à l’équation T (1) —1, on trouvera [voyez formule (8), 32.® leçon]

(.4) r W r(,-. )=1 JL, t ra)]* = ,,ni) = »-=y:“î-^-‘

Soient maintenant <P {*>y)> xi*'?) deux fonctions propres à vérifier l’équation

j <p (*,.y) JxdïiA..

dy

dx

Si l’on substitue successivement les deux membres de cette équation à fa place de f{x,y) dans la formule (6), on obtiendra la suivante

( 16 ) f t ‘ <p{x,y 0 )]dx-f^ [%( a ■■y)-x{^<f]]dy-

Celle-ci subsiste toutes les fois que les fonctions <p(x,y), %(x,y) restent l’une et l’autre finies et continues par rapport aux variables x et/, entre les limites des intégrations..

IJ2 COURS d’ânalyse.

Concevons à-présent que ion cherche une fonction de u propre à vérifier l’équation

(17) du- <P{x,y)dx + x\x,y)dy, ou, ce qui revient au même, les deux suivantes

On ne pourra évidemment y parvenir que dans le cas où la formule (1 5), dont chaque membre sera équivalent à ’ se trouvera satisfaite.

J’ajoute qu’en supposant cette condition remplie, on résoudra facilement la question proposée. En effet, soient * 0 , y 0 des valeurs particulières de x, y, et G une constante arbitraire. Pour vérifier l’équation (18), il suffira de prendre

(20) nz=zj~** <J> (x,y) dx -H* v,

v désignant une fonction arbitraire de la variable y; et, comme on tire de la formule (20)

il est clair qu’on vérifiera en outre l’équation (ip), si l'on pose

( 21 ) % v =fx 0 Y ° • y) b =£" x[ x ->y) d y e -

Par conséquent la valeur générale de u sera

(22) u—f Xo * f k (w ) d > —f Xo * < f , ( x ^ dx ' + -£fx( x °>y)‘fy’* me -

Lorsque dans les équations précédentes on échange entre elles les variables x, y, on obtient une seconde valeur de u qui s’accorde évidemment avec la première, en vertu de la formule (16).

On intégrerait avec la même facilité la différentielle d’une fonction de trois, quatre... variables indépendantes, et l’on prouverait, par exemple, que, si les conditions

V 2 3) di dy ’ dx di ’ dx dy

se trouvent remplies, la valeur générale de u propre à vérifier l’équation

(24) du—'p{x,y,z)dx+x{ x ’y>i) i, y+-\'( x 'y'Z) il z sera

( 2 5 ) ( x, f> z ) dx x (*•»/• 2) d y "H*• v* * z) d z -+■ e ■

x 9 , y Q > Z° désignant des valeurs particulières des variables x, y, £.

cours d'analyse*

TRENTE-QUATRIÈME EEÇON.

-Comparaison des deux especes d’intégrales simples qui résultent dans certains cas d’une Intégration double .

Concevons que liquation (i 5) de.la le-çon précédente soit vérifiée. Si J’on intègre deux fois cette équation, savoir, une fois par rapport à .v entre les limites x Q ,X, et une fois par rapport à Rentre les limites y 0} Y, on trouvera

(1) f À [<P ( x > Y) —<? {x.yj j dx r=jT 1

Cette dernière formule établit une relation digne de remarque entre les intégrales quelle renferme. Mais elle cesse d’être exacte, lorsque les fonctions <p {x,y), x( x, yï deviennent infinies pour un ou plusieurs systèmes de valeurs de v et de y compris entre les limites v 0 , x = X ; y=y ot y = Y. Imaginons d’abord que ces systèmes se réduisent à un seul, savoir, x—a, >='*• Dans ce cas particulier, les expressions déduites par une intégration double des deux membres de la formule (1 5) [33/ leçon] pourront différer Tune de l’autre. Mais elles redeviendront toujours égales, .si dans le calcul-on a eu soin de remplacer chaque intégrale relative à x par sa valeur principale. Cette observation suffit pour montrer de quelle manière l’équation (1) devra être modifiée. En effet , si l’on désigne par e tin nombre infiniment petit, 011 trouvera, dans l’hypothèse admise,

fl''. [ v (*<r) - ? (x , 7 .)1 dx [9 (*,. v) - tix.si)jx

puis l’on en conclura, en faisant converger e vers la limite zéro,

(3) ' [v {*■ Y )-v ( x >r°)] dx —Y,, % xi ^7) -% K-?)} <h - a ,

la valeur de A étant déterminée par la formule

(4) A = üm * [% (<J 7.) -%f«—« 7) ] tj.

Leçons de AI. Cauchy. g

134 COURS d’analyse.

Dans le cas général, A sera la somme de plusieurs termes semblables au second membre de l'équation (4).

Exemple. Si l’on pose ç(x,y) x( x >?) x ° = ~ 1 ’

Xzzz i , ^o— — i, Yz=i i, les équations (3) et ( 4 ) donneront

f" -î±î—f'±£i. —A, A = lim f '

Il est facile de voir que les fonctions <p(x,y) } y(x f y) vérifieront l’équation

(1 3) de la 33 / leçon, si l’on a <p [x ,y) dx -*-y[x ,y)dy == f(iî)du, et par suite

« désignant une fonction quelconque des variables x, y.

Il est encore facile de s’assurer que les formules (1) et (3) subsistent sous les conditions énoncées, dans le cas même où Tes fonctions <p(x,y), y (x,ÿ) deviennent imaginaires. Concevons, par exemple, que, la fonction f(x) étant algébrique, on pose iï=x On tirera des équations (5)

<p{x,y) = f(x-+-yY ~), xi*'?) = Ÿ~ l > et Ia f° rml, l e ( 3 )

Dans cette dernière, A s’évanouira, si la fonction /(x-f -yV-\) reste finie et continue pour toutes les valeurs de x et de y comprises entre les limites .v==x 0 , x=X, y=y 0 , y—Y. Mais, si, entre ces mêmes limites, la fonction y^-+-fj/r7) devient infinie pour le système de valeurs x—a,y—b, alors la valeur de A sera donnée par l’équation (4); et, si l’an fait, pour abréger,

(7) {x—a—hV-C)f{x\±$\x), y = b+ez, l° = — on trouvera

(8) A = /“ lim J'y Y [/(Æ-f-e-*-7 —f{a — *-+-7/-

Soient maintenant

§[a — i-h [b -+- *lW— 1 ]