i + iY-i

-1 r+zY~v

rlY-r -I +1 /-T

'g (t) — <sr (o) __ ^ 4 * (*) — 4- (°)

COURS d’analyse. I 3 5

zsr ( 6 ) > 4 '( g )> et P ar sl ^ te fit étant des quantités réelles. Supposons d’ailleurs que Y surpasse y 0 , et que les fonctions &(x+yY ~ 7 ), $' (x+yV^~\) restent finies et continues par rapport aux variables a* et y entre les limites a*„, X; y ot Y. Comme on aura, en vertu de la formule (p),

'sr (e) -+- yd7 («) — -y/—i ] — $'[a — t -+- [b h- i z) -j/^7]

= (a -Ht — $' (a — e ,

il est clair que les valeurs numériques des quantités 'sr / (g), .^/(e) resteront toujours très-petites aussi bien que celles des deux quantités ou, fi dont chacune peut être présentée sous la forme 'sr'(ôg) ou 0 désignant

un nombre inférieur à l’unité. Cela posé, on trouvera

lim J ^ &■/—,) di= l' im J y (« -+- /3 yZTT) dy — O,

l!m fl. 2 [® (*)-►- («■)] d l —-f Z [ * (O) H- /~) 4- (;0)] h ', '

puis, en faisant f = b Y- 7) = lim.e f(a + b Y~i -ne),

Si l’on avait y 0 =b ou Y=b, l’intégrale relative à z dans la formule (i i) ne devrait plus être prise qu’entre les limites z=o , z=oo , ou bien entre les limites z = — 00 * Z = °» et P ar suite i a valeur de A se réduirait à TTf/rf. Dans la même hypothèse, le premier membre de l’équation (6) serait la valeur principale d’une intégrale indéterminée. Il est encore essentiel d’observer que a-^bY-i représente une racine de l’équation

(12) f{x) z= zfc 00.

Si cette équation admettait plusieurs racines dans lesquelles les parties réelles fussent comprises entre les limites x Q ‘ t X, et les coefficiens de -j/Zf entre les limites yf, Y; alors, en désignant par x ,, x z ...x m ces mêmes racines, et par f,, f z ... f m les véritables valeurs que reçoivent les produits (* — *')ft*h (* — *>)/{*) • • • {x — x m )f{x) f tandis que leurs premiers facteurs s’évanouissent , on trouverait

Ajoutons que chacun des termes f, , f z ,... f m doit être réduit à moitié, toutes les fois que dans la racine correspondante le coefficient de yffl coïncide avec l’une des limites y 9 , Y.

5^6 cours d'analyse.

Lorsque la fonction /(*-t-7l/-i ) s’évanouit, i.° pour at=z±oo, quel que soit y; 2. 0 pour y — 00 , quel que soit x, alors, en prenant : — — OO , Xz=z-hoo , y 0 =zo , Y—zoo , on lire de la formule (6)

Lorsque la fonction f{x) se présente sous la forme «t que ceux

des termes f,, f, >- . • f« qui ne s’évanouissent pas correspondent tous à des racines de l’équation

l’expression A peut évidemment s’écrire comme il suit :

(1 6) A= 27 T ■nÿf] Ÿ-' ' et rà l uation ( 1 4 ) devient

' J — 00 F(x) LF ( x -«3 F ( x x ) F (*„,.) J

Dans le second membre de celle-ci, on doit seulement admettre les racines réelles de réquation {i 5) avec les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de ]/-i est positif, en ayant soin de réduire à moitié tous les termes qui correspondent à des racines réelles. Cela posé, on trouvera /pour F(a')=; i * « = t/“* *

et pour F (x) = i —x 1 , x, =— 1 » x a zzr-p-i,

(.») /lTSr^ = i! f <- 0 -f<.))v^T.

Cette dernière formule donne simplement ia valeur principale de l’intégrale qu’elle renferme.

Exemples. Soit /c un nombre compris entre o et 2. Si l’on pose f /tt ”‘, l’expression imaginaire *//F" conservera

une valeur unique et déterminée, tant que y restera positive [voyei Y Analyse algébrique, chap. VII]; et l’on tirera des formules (18) et (19)

s$=-y:”s?=râ-

z' Tcos(îjWr) T

’ J o 1— x* — liinicJUTr) — 2 tan g(i^) ’

Si, dans la dernière des équations (20) et la dernière des équations (21) , l’on remplace x 1 par £ et p* par 2 a, on reproduira les formules (8) et (9) de la 32/ leçon, qui se trouveront ainsi démontrées, avec la première des équations (14) de la 33.% pour torutes les valeurs de a comprises entre les limites o et 1.