TRENTE-CINQUIÈME LEÇON

Différentielle d’une Intégrale définie far rapport à une variable comprise dans la fonction sous le signe f, et dans les limites de l’intégration. Intégrales des divers ordres pour les fonctions dune seule variable.

Soit

une intégrale définie relative à £. Si, dans cette intégrale, on fait varier séparément, et indépendamment l'une de l’autre, les trois quantités Z, 2 0 , x , on trouvera, en vertu des formules (5) [i6. e leçon], et de la formule (2) [33/ leçon ],

( 2 ) dz ~ f( Xy Z) > d^~ ~y~.j c°i > dx Jip dx Par suite, si les deux quantités £ 0 , Z, deviennent fonctions de la variable x, 011 aura, en considérant^ comme une fonction de cette seule variable,

Dans le cas particulier où £ 0 se réduit à une constante, et f[x } Z) à zéro, on a simplement

( 4 ) J 7fi y {XlZ )d z =f^^d Z :

Exemple. Soient i 0 z=.x 0 [* 0 désignant une valeur particulière et constante de x], Z = x, et f(x,i) = [x — i on obtiendra la

formule

( 5 ) -z) M f (z) Jz= m fJ Az)Jz>

de laquelle on conclura

(6) (x- Z ) m -f{ Z )J Z dx— ï/’{*- Z ) m f{ Z )d Z ,

Leçons de AI. Cauchy. fl

COURS d’analyse.

( 7 ) ff x \x-z) m -'f(i)J z d x =;f*{ x - z yf {z )d z +e,

£ étant une constante arbitraire. Si m se réduit à f unité, ia formule (6) donnera

( 8 ) d z Jx = f x ‘ (■'— *z-

Il est maintenant facile de résoudre ia question suivante.

Problème. Trouver la valeur générale de y propre à vérifier l'équation

Solution. Comme on peut mettre l'équation (p) sous ia forme

on en conclura, en intégrant les deux membres par rapport à v,

= // W ^ =-/VW,'* ■+ ^ ;

ou, ce qui revient au même,

En intégrant de nouveau, et plusieurs fois de suite, par rapport à ia variable x, entre les limites x 0 , x, ayant égard aux formules (6) et (8), puis, ajoutant au résultat de chaque intégration une nouvelle constante arbitraire, on trouvera successivement

J Ko 1.2.3 ..(#-2)*' ^ T.i„.(n-z) i.a...(*-4)

et enfin

J *o i-2. 3 ..(«-i) v * l.2..(fl-l) I.2..(«-2) i.2..(n-3)

c,e„e > ...C'„e n étant les diverses constantes arbitraires. Il importe

d'observer que l’intégrale définie comprise dans le second membre de i équation (ta), peut être aisément transformée à l’aide de fa formule (17) [zz.‘ leçon]. En effet, si dans cette formule on remplace a par z , et X par ..y, on en tirera

et par suite

Si l’on prenait, pour plus de simplicité, x»~o, la valeur de y, donnée par l’équation (12), se réduirait à

( 1 5 ) / —fo d Z-*- C è TXl.-j) + -' + * eX + e . »

et la formule (14) deviendrait

( lé ) fo X ^^/^ d Z=f/77^/^ d z.

Lorsqu’on se sert d’intégrales indéfinies , et que l’on se contente d’indiquer les intégrations successives, les valeurs des fonctions

d n -'jy d n -*y d n -'y 0r

dx'-' ’ ~dlr ZI ~> dx n -> ’ &C . jy>

tirées de l’équation (p), se présentent sous la forme

fm*. x)dx.dx.dx, &c.... fj :/:••/■ ■ - - - ~

Ces dernières expressions sont ce que nous appellerons des intégrales du premier, du second, du troisième ... ordre, et enfin de Vordre n, relaent a la vat table x, Pout abrc^et , nous les désignerons dorénavant par les notations

( 17 ) ffj'fwdx','.. .

auxquelles nous substituerons les suivantes

quand nous supposerons chaque intégration relative à a effectuée entre les limites x„, x. Cela posé, on aura évidemment

1 4 ° COURS d’analyse.

nirî \‘~f .|.

ou, ce qui revient au même,

( 2 ?^fxlfxl TZ^ô t x "~Jx’ x’"'/(«) l ï*|.

On peut vérifier directement ia formule (20), à laide de plusieurs intégrations par parties.

Soit maintenant F(x) une valeur particulière y propre à vérifier l’équation (9), en sorte qu’on ait

Si la fonction F(x), et ses dérivées successives, jusqu’à celle de l’ordre ti , restent continues entre les limites x 0 , a*, alors, en posant y — y, dans les formules (10), (n) et (12), on trouvera

(22) <? = /'>-*) (x.), e, = fM(x 0 ), Cz = F(- 3)(x 0 ), ... e„ x z=F'{x 0 ), C n =F(x 9 ),

et la formule (12) donnera

De cette dernière, combinée avec l’équation (19), on déduit la

W) FJ’ ■ - f{x)Jx '= l ^f F-V.)... -

qui renferme, comme cas particulier , ia formule (17) de la 26 . 6 leçon. Lorsqu’on suppose ^ Q z=zo, l’équation (24) se réduit à

(25) f‘f‘ .../WA’=F(*)-F(o) - 7 F' (0)- il F '(o)... F->(o).

Exemple . Soit / r (*) = on aura y (*) zzr F (n) (x) zzz e x , et par conséquent

(26) C r...e’Jx'=e‘-i- x -^... îZL = r’Sl= 3 tL el j,

V ’jojo * I l.a*’. 1.2.3. .(/*-!> Jo ^2.3 ../j-j) ^

COURS d’analyse.

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