TRENTE-SIXIEME LEÇON

Transformation de Fonctions quelconques de x ou de a- 4 -h en Fonctions entières de x ou de h auxquelles s’ajoutent des Intégrales défitiies'. Expressions équivalentes à ces mêmes Intégrales.

Si clans l’équation (23) de la leçon précédente, on remplace f(z) par sa valeur F (n) \z )> tirée de la formule (21), on trouvera, sous les mêmes conditions ,

(,) («.H- M..+ T) FH Wo

puis, en posant v 0 ~o,

Si l’on fait dans celle-ci F(x) —f{x -+-/') , et qu'ensuite on échange entre elles les deux lettres x et h, on obtiendra I équation

( 3 ) /(,+/,)=/(»)+ ;/■ M-+- rS" S'"-" W -/o 4 '£$7) /W ^

dans laquelle le dernier terme du second membre peut être présenté sous plusieurs formes différentes, puisquon a [en vertu des formules (1 4) et (ip) de la 35.® leçon] f k -h-fj k

L’équation (3) suppose que les fonctions/^(•».'-

restent continues entre les limites z = °> Z — ^ lm pourrait la déduire

immédiatement de la formule (i), en prenant x=zx 0 -l-h, puis, remplaçant a* o par .v, et F par f Seulement le dernier terme du second membre serait alors la troisième des intégrales comprises dans la formule ( 4 ).

Au reste, on peut démontrer directement l’équation^), à laide de

Leçons de M. Cauchy. Mm

* 4 2 COURS d’analyse.

plusieurs intégrations par parties, en opérant à peu près comme l’a fait M. de Prony, dans un mémoire publié en 1805. En effet, si, dans la formule (13) de la leçon précédente, on remplace d’abord je par .v„ et ensuite x 6 par on en tirera

(5) f o f( x + h — i)di.

On aura donc, en conséquence,

Dailleurs, en intégrant par parties plusieurs fois de suite, on trouve

(7) jT/'(**/+

= 7 f'(x+h—z) /"(x-i-A — z) -+- J '/"'(X + /I-J) dz

puis, en supposant que chaque intégration soit effectuée entre les limites Z=o, z=h A et que les fonctions f(x -+-1) •. *f (n) (* -4- £)»

restent continues entre ces mêmes limites,

( 8 )/o V * j£■L. f n (x+ ^ dl

Cela posé, on déduira évidemment de la formule ( 6 ), une équation qui s accordera, en vertu de la formule (4), avec i équation (3). La même méthode pourrait encore servir à établir directement l’équation (2).

Non-seulement les intégrales renfermées dans les seconds membres des formules (2) et (3) peuvent être remplacées par plusieurs autres semblables à celles que comprend la formule (4). Mais on doit encore conclure de [équation (13) [23^ leçon] qu’elles sont équivalentes à deux produits de la forme

0 désignant un nombre inconnu qui peut varier d’un produit à l’autre» en restant toujours inférieur à l’unité. On aura par suite

(l i) F[x) = F(o)-t- * F' (o) -h ~F” (o) -*-• ■ j F{n - ,] ,(o)-^ FM (Gx ).

(l 2 ) f{x+tt) =/(*) + y /'(*) 4 - ~f" (*) / ( "“° F'H* ^ 6h )•

Il est essentiel d’observer que la fonction F(x), avec ses dérivées successives , doit rester continue, dans la formule (11), entre les limites o, x; et la fonction f[x -f- %), avec ses dérivées successives, dans la formule

(12) , entre les limites %=o, z = /i.

Soit maintenant u=f(x, y, £..,) une fonction de plusieurs variables indépendantes x ,y, £ ... , et faisons

( 1 3 ) F {<*,)= f(x-b-ctdx, y~\-didy t £-hct</£, ...).

On tirera de la formule (11), en y remplaçant x par ce, puis ayant égard aux principes établis dans la 14- c leçon,

( . OL CL 1 CL CL n

14) f(x^culx,y^-cLdj/,7-+-cLd7y-.)~u-i--du-k - d*u...-\ -;- -d n ~'u-i - FM(Qa\

Si la quantité ce devient infiniment petite, il en sera de même de la différence

F (tt/> ( 0 œ) — F (n) (o) ou F w (ü<L) — d n u, et, en désignant par /3 cette différence, on trouvera

(ij) f(x-\-ctdx,y-{-udy,z-+-adz..) = w-H - du~\- —— d*u...

i.2..(#-iÿ 1.2.3..»'

Quand les variables indépendantes se réduisent à une seule variable .v, alors, en posant y —/(x), on obtient la formule

(16) /(*-♦-«</*) ==y-t- *dy-*- ^i-y -t-.. .-H ,. 2 “. V’>-*■ £).

Concevons à présent que, pour une valeur particulière. * 0 attribuée à la variable x, la fonction /(x) et ses dérivées successives jusqu’à celle de l’ordre ti — 1 s’évanouissent. Dans ce cas, on tirera de la formule (12)

puis, en substituant à la quantité finie h une quantité infiniment petite

COURS d’analyse.

désignée par t,

Lorsque, parmi les fonctions f(x),f'(x) ... f (n ~ l) [x), la première est ia seule qui ne s’évanouisse pas pour *=: *0 , i’équation (18) doit être évidemment remplacée par la suivante :

(ip) /(*o-M) -f(x 0 ) = ~7 f"(x 0 H-ôi).

Si, dans la même hypothèse, on écrit * au lieu de x Q , et si i'oii pose f{x)—.y t Ax=zi z^z du h, i’équation (ip) prendra la forme

(ao)

(ô désignant aussi bien que et une quantité infiniment petite. On pourrait encore déduire la formule (20) de i’équation (16), en observant que Ja valeur attribuée à * fait évanouir ies différentielles dy, d l y ... d n ~ l y, en même temps que ies fonctions dérivées/' (x ), /"(*). . ,f ( "~°(x).

L’équation (20) fournit ies moyens de résoudre ie 4 - e problème de la 6 S leçon, dans plusieurs cas où la méthode que nous avions proposée est insuffisante. En effet, supposons que, y et £ désignant deux fonctions de la variable x, ia valeur particulière x- 0 attribuée à cette variable, réduise à ia forme non-seulement infraction J==-y> mais encore ies suivantes -V> --r* Alors, en faisant Ax~ctdx, et dé-

signant par fi, y, deux quantités infiniment petites, on aura, pour

f = «*■ % = ,im =

. SIIl

Exemple . On aura, pour x = o, —

(sin l x ) 2(cos 8 x — sin a x)

cosx d -“(i — co*x)

COURS d’analyse. I 4 5